2021-2022學年山西省朔州市懷仁縣第七中學高三數學文期末試題含解析

2021-2022學年山西省朔州市懷仁縣第七中學高三數學文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.右圖中，為某次考試三個評閱人對同一道題的獨立評分，為該題的最終得分，當時，等于

A．10

B．9

C．8

D．7參考答案：A2.如圖，在正四棱錐中，分別是的中點，動點在線段上運動時，下列四個結論：①；②；③；④．中恒成立的為（

）（A）①③

（B）③④

（C）①②

（D）②③④參考答案：A3.已知集合，則（

）A．(－3,3)

B．[－3,3]

C．(0,3]

D．[0,3)參考答案：C4.已知向量=（x﹣1，2），=（4，y），若⊥，則9x+3y的最小值為（）A．2 B． C．6 D．9參考答案：C【考點】基本不等式；數量積判斷兩個平面向量的垂直關系．【專題】平面向量及應用．【分析】由于⊥?=0，即可得出x，y的關系，再利用基本不等式即可得出9x+3y的最小值．【解答】解：∵⊥，∴（x﹣1，2）?（4，y）=0，化為4（x﹣1）+2y=0，即2x+y=2．∴9x+3y≥===6，當且僅當2x=y=1時取等號．故選C．【點評】本題考查了⊥?=0、基本不等式的性質，屬于基礎題．5.對于非零向量是“”的（

）A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C.充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：A當時，向量為相反向量，所以；反之，當時，向量不一定為相反向量．所以是“”的充分不必要條件．選A．

6.復數z滿足（z﹣i）（2﹣i）=5，則z所對應的點在（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：A【考點】復數代數形式的乘除運算．【分析】由（z﹣i）（2﹣i）=5，得，然后利用復數代數形式的乘除運算化簡復數z，求出z所對應的點的坐標，則答案可求．【解答】解：由（z﹣i）（2﹣i）=5，得=，則z所對應的點的坐標為：（2，2），位于第一象限．故選：A．【點評】本題考查了復數代數形式的乘除運算，考查了復數的代數表示法及其幾何意義，是基礎題．7.已知函數的圖象與函數（且）的圖象關于直線對稱，記．若在區(qū)間上是增函數，則實數的取值范圍是

A．

B．C．

D．參考答案：D略8.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC為銳角三角形，且滿足，，則等式成立的是（

）A. B. C. D.參考答案：B【分析】利用同角三角函數的基本關系式、二倍角公式和兩角和的正弦公式化簡已知條件，再用正弦定理進行轉化，由此得出正確選項.【詳解】依題意得,,，即，由正弦定理得，故選B.【點睛】本小題主要考查同角三角函數的基本關系式、二倍角公式和兩角和的正弦公式，考查三角形內角和定理以及正弦定理邊角互化，屬于基礎題.9.已知菱形ABCD邊長為1，，則（

）A. B. C. D.參考答案：A【分析】以為基底向量表示后利用向量數量積的運算律可求的值.【詳解】，故故選：A.【點睛】向量的數量積的計算，有四種途徑：（1）利用定義求解，此時需要知道向量的模和向量的夾角；（2）利用坐標來求，把數量積的計算歸結坐標的運算，必要時需建立直角坐標系；（3）利用基底向量來計算，也就是用基底向量來表示未知的向量，從而未知向量數量積的計算可歸結為基底向量的數量積的計算；（4）靠邊靠角，也就是利用向量的線性運算，把未知向量的數量積轉化到題設中的角或邊對應的向量．10.“m<0”是“函數存在零點"的（

） A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分又不必要條件參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知中的內角為，重心為，若，則

.參考答案：略12.設數列{an}的前n項和為Sn，已知數列{Sn}是首項和公比都是3的等比數列，則{an}的通項公式an=．參考答案：【考點】等比數列的前n項和．【專題】計算題．【分析】由等比數列的通項公式可得Sn=3n，再由a1=s1=3，n≥2時，an=Sn﹣sn﹣1，求出{an}的通項公式．【解答】解：∵數列{Sn}是首項和公比都是3的等比數列，∴Sn=3n．故a1=s1=3，n≥2時，an=Sn﹣sn﹣1=3n﹣3n﹣1=2?3n﹣1，故an=．【點評】本題主要考查等比數列的通項公式，等比數列的前n項和公式，數列的前n項的和Sn與第n項an的關系，屬于中檔題．13.已知數列滿足，若則的所有可能的取值為

．參考答案：4,7,10略14.“a＝2”是“直線ax＋2y＝0與直線x＋y＝1平行”的________條件．參考答案：充要15.函數(，),有下列命題：①的圖象關于y軸對稱；②的最小值是2；③在上是減函數，在上是增函數；④沒有最大值．其中正確命題的序號是

.(請?zhí)钌纤?/p>

有正確命題的序號）參考答案：①④16.已知點P是雙曲線：右支上一點，C的左、右頂點分別為A、B，C的右焦點為F，記，，當，且時，雙曲線C的離心率e=

．參考答案：2由已知得，，則又，則有或（舍）．17.已知圓C的圓心與點P(-2,1)關于直線y=x+1對稱,直線3x+4y-11=0與圓C相交于A,B兩點,且|AB|=6,則圓C的方程為___________.參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數f（x）=ax3﹣bex（a∈R，b∈R），且f（x）在x=0處的切線與x﹣y+3=0垂直．（1）若函數f（x）在[，1]存在單調遞增區(qū)間，求實數a的取值范圍；（2）若f′（x）有兩個極值點x1，x2，且x1＜x2，求a的取值范圍；（3）在第二問的前提下，證明：﹣＜f′（x1）＜﹣1．參考答案：【考點】利用導數研究函數的極值；利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）求出函數的導數，問題轉化為在上有解，令，故只需，根據函數的單調性求出a的范圍即可；（2）令h（x）=f'（x），則h（x）=ax2﹣ex，問題轉化為方程有兩個根，設φ（x）=，根據函數的單調性求出a的范圍即可；（3）求出f′（x1）=（﹣1），x1∈（0，1），令r（t）=et（﹣1），（0＜t＜1），根據函數的單調性證明即可．【解答】解：因為f'（x）=ax2﹣bex，所以f'（0）=﹣b=﹣1，所以b=1…（1）由前可知，f'（x）=ax2﹣ex根據題意：f'（x）＞0在上有解，即ax2﹣ex＞0在上有解…即在上有解，令，故只需所以，所以，當時，g'（x）＜0，所以g（x）在上單調遞減，所以g（x）min=g（1）=e，所以

a＞e…（2）令h（x）=f'（x），則h（x）=ax2﹣ex，所以h'（x）=2ax﹣ex由題可知，h'（x）=0有兩個根x1，x2，即2ax﹣ex=0有兩個根x1，x2，又x=0顯然不是該方程的根，所以方程有兩個根，…設φ（x）=，則φ′（x）=，當x＜0時，φ'（x）＜0，φ（x）單調遞減；當0＜x＜1時，φ′（x）＜0，φ（x）單調遞減；當x＞1時，φ′（x）＞0，φ（x）單調遞增．故要使方程2a=有兩個根，只需2a＞φ（1）=e，即a＞，所以a的取值范圍是（，+∞），（3）由（2）得：0＜x1＜1＜x2…且由h'（x1）=0，得2ax1﹣=0，所以a=，x1∈（0，1）…所以f′（x1）=h（x1）=a﹣=（﹣1），x1∈（0，1），令r（t）=et（﹣1），（0＜t＜1），則r′（t）=et（）＜0，r（t）在（0，1）上單調遞減，所以r（1）＜r（t）＜r（0），即﹣＜f′（x1）＜﹣1．…19.在極坐標系中，已知曲線C：ρcos（θ+）=1，過極點O作射線與曲線C交于點Q，在射線OQ上取一點P，使|OP|?|OQ|=．（1）求點P的軌跡C1的極坐標方程；（2）以極點O為直角坐標系的原點，極軸為x軸的正半軸，建立直角坐標系xOy，若直線l：y=﹣x與（1）中的曲線C1相交于點E（異于點O），與曲線C2：（t為參數）相交于點F，求|EF|的值．參考答案：【考點】簡單曲線的極坐標方程；參數方程化成普通方程．【分析】（1）設P（ρ，θ），Q（ρ′，θ），則ρ?ρ′=，又曲線C：ρ′cos（θ+）=1，代入化簡即可得出．（2）由曲線C2的參數方程消去參數t化為普通方程：x+y=，利用互化公式可得極坐標方程．由直線l：y=﹣x可得：極坐標方程：（ρ∈R）．分別與曲線C2及其曲線C1的極坐標方程聯(lián)立解出即可得出．【解答】解；（1）設P（ρ，θ），Q（ρ′，θ），則ρ?ρ′=，又曲線C：ρ′cos（θ+）=1，∴×（cosθ+sinθ）=1，∴ρ=cosθ+sinθ．即為點P的軌跡C1的極坐標方程．（2）曲線C2：（t為參數），消去參數t化為普通方程：x+y=，可得極坐標方程：ρ（cosθ+sinθ）=．由直線l：y=﹣x可得：極坐標方程：或．把代入曲線C2可得：ρ2==（+1）．把代入曲線C1可得：ρ1=+sin=．∴|EF|=ρ2﹣ρ1=1．20.（本小題滿分12分）在邊長為的正方形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點，M、N分別為AB、CF的中點，現(xiàn)沿AE、AF、EF折疊，使B、C、D三點重合于B，構成一個三棱錐(如圖所示)．（Ⅰ）在三棱錐上標注出、點，并判別MN與平面AEF的位置關系，并給出證明；（Ⅱ）是線段上一點，且,問是否存在點使得,若存在，求出的值;若不存在，請說明理由；（Ⅲ）求多面體E-AFNM的體積．參考答案：（Ⅰ）因翻折后B、C、D重合，所以MN應是的一條中位線，如圖所示.則

………………2分證明如下：．…4分 （Ⅱ）存在點使得，此時因為面EBF又是線段上一點，且,∴當點與點B重合時，此時

………………8分（Ⅲ）因為且，∴，

………9分又

……………12分21.已知在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：（a＞b＞0）離心率為，其短軸長為2．（1）求橢圓C的標準方程；（2）如圖，A為橢圓C的左頂點，P，Q為橢圓C上兩動點，直線PO交AQ于E，直線QO交AP于D，直線OP與直線OQ的斜率分別為k1，k2，且k1k2＝，（λ，μ為非零實數），求λ2+μ2的值．參考答案：（1）；（2）1【分析】（1）由題意可得b＝1，運用離心率公式和a，b，c的關系，可得a，b，進而得到橢圓方程；（2）求得A的坐標，設P（x1，y1），D（x0，y0），運用向量共線坐標表示，結合條件求得P的坐標，代入橢圓方程，可得λ2＝，同理得μ2＝，即可得λ2+μ2的值．【詳解】（1）因為短軸長2b＝2，所以b＝1，又離心率e＝，且a2﹣b2＝c2，解得a＝，c＝1，則橢圓C的方程為+y2＝1；（2）由（1）可得點A（﹣，0），設P（x1，y1），D（x0，y0），則y1＝k1x1，y0＝k2x0，由可得x0+＝λ（x﹣x0），y0＝λ（y1﹣y0），即有x0＝，k1x1＝y(tǒng)1＝y(tǒng)0＝k2x0＝k2（x1﹣），兩邊同乘以k1，可得k12x1＝k1k2（x1﹣）＝﹣（x1﹣），解得x1＝，將P（x1，y1）代入橢圓方程可得λ2＝，由可得μ2＝，可得λ2+μ2＝1．【點睛】本題考查橢圓方程的求法，注意運用離心率公式和基本量的關系，考查直線方程和向量共線的坐標表示，以及化簡整理的運算能力，屬于中檔題．22.已知函數f（x）=xex﹣aex﹣1，且f′（1）=e．（1）求a的值及f（x）的單調區(qū)間；（2）若關于x的方程f（x）=kx2﹣2（k＞2）存在兩個不相等的正實數根x1，x2，證明：|x1﹣x2|＞ln（）．參考答案：【考點】6B：利用導數研究函數的單調性．【分析】（1）f′（x）=ex+xex﹣aex﹣1，由f′（1）=e．解得a=e．可得f′（x）=xex．分別解出f′（x）＞0，f′（x）＜0，函即可得出函數f（x）的單調區(qū)間．（2）方程f（x）=kx2﹣2（k＞2），即（x﹣1）ex﹣（kx2﹣2）=0，令g（x）=（x﹣1）ex﹣（kx2﹣2），令g′（x）=0，解得x=0或ln（2k）．k＞2，可得ln（2k）＞1．不妨設x1＜x2．可得：0＜x1＜1＜ln（2k）＜x2．即可證明．【解答】（1）解：f′（x）=ex+xex﹣aex﹣1，∴f′（1）=e+e﹣a=e．解得a=e．∴f′（x）=ex+xex﹣eex﹣1=xex．∴x＞0時，f′（x）＞0，函數f（x）單調遞增；x＜0時，f′（x）＜0，函數f（x）單調遞減．即函數f（x）單調遞增區(qū)間為（0，+