湖南省長沙市維新中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析

湖南省長沙市維新中學(xué)2021-2022學(xué)年高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)y=e|lnx|﹣|x﹣1|的圖象大致是(

)A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)；函數(shù)的圖象與圖象變化．【分析】根據(jù)函數(shù)y=e|lnx|﹣|x﹣1|知必過點(diǎn)（1，1），再對函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)觀察其導(dǎo)數(shù)的符號進(jìn)而知原函數(shù)的單調(diào)性，得到答案．【解答】解：由y=e|lnx|﹣|x﹣1|可知：函數(shù)過點(diǎn)（1，1），當(dāng)0＜x＜1時(shí)，y=e﹣lnx﹣1+x=+x﹣1，y′=﹣+1＜0．∴y=e﹣lnx﹣1+x為減函數(shù)；若當(dāng)x＞1時(shí)，y=elnx﹣x+1=1，故選D．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系．2.已知具有線性相關(guān)的變量，設(shè)其樣本點(diǎn)為，回歸直線方程為，若，（為原點(diǎn)），則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B因?yàn)椋?，因此，選B.3.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，面積最大的側(cè)面的面積為（）

A．B． C．D．1參考答案：B【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱錐A﹣BCDE的高為1，四邊形BCDE是邊長為1的正方形，分別計(jì)算側(cè)面積，即可得出結(jié)論．【解答】解：由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖所示，平面AED⊥平面BCDE，四棱錐A﹣BCDE的高為1，四邊形BCDE是邊長為1的正方形，則S△AED==，S△ABC=S△ADE==，S△ACD==，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查三視圖與幾何體的關(guān)系，幾何體的側(cè)面積的求法，考查計(jì)算能力．4.已知函數(shù)則函數(shù)在[-1,1]上的單調(diào)增區(qū)間為A.

B.

C.

D.參考答案：A5.定義已知，，，則A．

B．

C．

D．不能確定參考答案：C略6.若三棱錐S﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SA⊥平面ABC，SA=2，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，則球O的表面積為(

) A．64π B．16π C．12π D．4π參考答案：A考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的側(cè)面積和表面積；棱柱、棱錐、棱臺的體積．專題：計(jì)算題；空間位置關(guān)系與距離．分析：由三棱錐S﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，知BC，∠ABC=90°，可得△ABC截球O所得的圓O′的半徑，利用SA⊥平面ABC，SA=2，此能求出球O的半徑，從而能求出球O的表面積．解答： 解：如圖，三棱錐S﹣ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，∵AB=1，AC=2，∠BAC=60°，∴BC=，∴∠ABC=90°．∴△ABC截球O所得的圓O′的半徑r=1，∵SA⊥平面ABC，SA=2∴球O的半徑R=4，∴球O的表面積S=4πR2=64π．故選：A．點(diǎn)評：本題考查球的表面積的求法，合理地作出圖形，數(shù)形結(jié)合求出球半徑，是解題的關(guān)鍵．7.若函數(shù)的圖象在處的切線與圓相切，則的最大值是（

）A.4

B.

C.2

D.參考答案：D略8.，，則與的大小關(guān)系為

（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D，因?yàn)?，，所以，，所以，所以，選D.9.等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，已知，,則（

）（A）38

（B）20

（C）10

（D）9參考答案：C略10.已知函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其圖象與直線y=﹣1相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為π，若f（x）＞1對?x∈（﹣，）恒成立，則φ的取值范圍是（）A． B． C． D．參考答案：D【考點(diǎn)】H2：正弦函數(shù)的圖象．【分析】由題意可得函數(shù)的周期為=π，求得ω=2．再根據(jù)當(dāng)x∈（﹣，）時(shí)，sin（2x+φ）＞0恒成立，2kπ＜2?（﹣）+φ＜2?+φ＜2kπ+π，由此求得φ的取值范圍．【解答】解：函數(shù)f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其圖象與直線y=﹣1相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為π，故函數(shù)的周期為=π，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+φ）+1．若f（x）＞1對?x∈（﹣，）恒成立，即當(dāng)x∈（﹣，）時(shí)，sin（2x+φ）＞0恒成立，故有2kπ＜2?（﹣）+φ＜2?+φ＜2kπ+π，求得2kπ+φ＜2kπ+，k∈Z，結(jié)合所給的選項(xiàng)，故選：D．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.函數(shù)f(x)=sin(ωx+)(ω＞0)與g（x）=sin（2x+θ）對稱軸完全相同，將f（x）圖象向右平移個(gè)單位得到h（x），則h（x）的解析式是

．參考答案：h（x）=﹣cos2x．【分析】由題意，函數(shù)與g（x）=sin（2x+θ）對稱軸完全相同，可知周期相同，可得ω=2．可得f（x）的解析式，再利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論．【解答】解：由題意，函數(shù)與g（x）=sin（2x+θ）對稱軸完全相同，∴ω=2．∴f（x）的解析式為：f（x）=sin（2x+）．f（x）圖象向右平移個(gè)單位得到sin（2x﹣+）=﹣cos2x，∴h（x）=﹣cos2x，故答案為：h（x）=﹣cos2x．【點(diǎn)評】本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．12.已知函數(shù)圖象與直線的交點(diǎn)中，距離最近兩點(diǎn)間的距離為，那么此函數(shù)的周期是_______.參考答案：13.設(shè)，其中成公比為的等比數(shù)列，成公差為1的等差數(shù)列，則的最小值是

.參考答案：略14.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)______;參考答案：215.若變量x,y滿足約束條件則x+y的最大值為___6___參考答案：616.某幾何體是由一個(gè)正方體去掉一個(gè)四棱柱所得，其三視圖如圖所示．如果網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，那么該幾何體的體積為__________．參考答案：40【分析】畫出三視圖對應(yīng)的幾何體，應(yīng)用割補(bǔ)法求幾何體的體積.【詳解】在正方體中還原該幾何體，如圖所示幾何體的體積V=43-（2+4）×2×4=40

17.已知函數(shù)，對于任意且，均存在唯一的實(shí)數(shù)t，使得，且，若關(guān)于x的方程有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則a的取值范圍是

．參考答案：(－6,－3).三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）已知函數(shù)（1）求的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若函數(shù)上是單調(diào)減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.參考答案：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

1

當(dāng)時(shí)，，的增區(qū)間為，此時(shí)無極值；2

當(dāng)時(shí)，令，得或（舍去）0

極大值

的增區(qū)間為，減區(qū)間為有極大值為，無極小值；

................

4分3

當(dāng)時(shí)，令，得（舍去）或0

極大值

的增區(qū)間為，減區(qū)間為有極大值為，無極小值；.............

6分（2）由（1）可知：①當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，依題意，得，得；③當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，依題意，得，得綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍是.

.............

12分法二：①當(dāng)時(shí)，，在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意；②當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上為減函數(shù)，只需在區(qū)間上恒成立.恒成立，

19.已知等比數(shù)列{an}的公比q=3，前3項(xiàng)和S3=．（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，0＜φ＜π）在處取得最大值，且最大值為a3，求函數(shù)f（x）的解析式．參考答案：【考點(diǎn)】等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【分析】（Ⅰ）根據(jù)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和的公式及q=3化簡S3=，得到關(guān)于首項(xiàng)的方程，求出方程的解得到首項(xiàng)的值，然后根據(jù)首項(xiàng)和公比即可寫出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）由（Ⅰ）求出的通項(xiàng)公式求出a3的值，即可得到A的值，然后把代入正弦函數(shù)中得到函數(shù)值等于1，根據(jù)φ的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出φ的值，把φ的值代入即可確定出f（x）的解析式．【解答】解：（Ⅰ）由q=3，S3=得：=，解得a1=，所以an=×3n﹣1=3n﹣2；（Ⅱ）由（Ⅰ）可知an=3n﹣2，所以a3=3，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）的最大值為3，所以A=3；又因?yàn)楫?dāng)x=時(shí)，f（x）取得最大值，所以sin（2×+φ）=1，由0＜φ＜π，得到φ=．則函數(shù)f（x）的解析式為f（x）=3sin（2x+）．20.如圖，是圓的直徑，點(diǎn)在圓上，延長到使，過作圓的切線交于.若，，求的長.

參考答案：

是圓的直徑且，

，

連，為圓的切線，，記是圓的交點(diǎn)，連，

，

，21.（2017?長春三模）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系．曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，直線l：（為參數(shù)）．（1）求曲線C1的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程；（2）若曲線C2的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），曲線P（x0，y0）上點(diǎn)P的極坐標(biāo)為，Q為曲線C2上的動點(diǎn)，求PQ的中點(diǎn)M到直線l距離的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】參數(shù)方程化成普通方程；簡單曲線的極坐標(biāo)方程．【分析】（1）利用三種方程的轉(zhuǎn)化方法，求曲線C1的直角坐標(biāo)方程及直線l的普通方程；（2），直角坐標(biāo)為（2，2），，利用點(diǎn)到直線l的距離公式能求出點(diǎn)M到直線l的最大距離．【解答】解：（1）由曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ=4cosθ，得直角坐標(biāo)方程，直線l：，消去參數(shù)，可得普通方程l：x+2y﹣3=0．（2），直角坐標(biāo)為（2，2），，M到l的距離d==，從而最大值為．（10分）【點(diǎn)評】本小題主要考查極坐標(biāo)系與參數(shù)方程的相關(guān)知識，具體涉及到極坐標(biāo)方程與平面直角坐標(biāo)方程的互化，參數(shù)方程的運(yùn)用．22.已知函數(shù)f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范圍．參考答案：【分析】（1）先求導(dǎo)，再分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性即可判斷，（2）根據(jù)（1）的結(jié)論，分別求出函數(shù)的最小值，即可求出a的范圍．【解答】解：（1）f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x=e2x﹣exa﹣a2x，∴f′（x）=2e2x﹣aex﹣a2=（2ex+a）（ex﹣a），①當(dāng)a=0時(shí)，f′（x）＞0恒成立，∴f（x）在R上單調(diào)遞增，②當(dāng)a＞0時(shí)，ex﹣a＞0，令f′（x）=0，解得x=lna，當(dāng)x＜lna時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞lna時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，③當(dāng)a＜0時(shí)，2ex+a＞0，令f′（x）=0，解得x=ln（﹣），當(dāng)x＜ln（﹣）時(shí)，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，當(dāng)x＞ln（﹣）時(shí)，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，綜上所述，當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在R上單調(diào)遞增，當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）在（﹣∞，lna）上單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增，當(dāng)a＜