以“不變”應“萬變”

以“不變”應“萬變”本文選取2008年廣東省東莞市的一道中考題作為案例進行反思，、聯(lián)想、拓展。以中考題作為案例引導學生自主探究，一方面反思問題的解題方法，思路是否具有規(guī)律性，能否遷移處理類似的問題；另一方面反思問題的圖形結(jié)構(gòu)能否改變，命題的條件能否弱化或加強，結(jié)論能否拓展，引申與推廣，這樣不但可以深化學生對問題的理解，優(yōu)化思維過程，完善認知結(jié)構(gòu)，而且可以提高學生自主探究，分析解決問題的創(chuàng)新思維能力。例1，如圖，點O是線段AD的中點，分別以AO和DO為邊在線段AD的同側(cè)作等邊三角形OAB和等邊三角形OCD，連結(jié)AC和BD相交于點E，求∠AEB的大小，并探究AC，BD的數(shù)量關系?二、試題及其解析解題1、由題意可知△

AOB與△OCD為全等的等邊三角形，∴BO=AO=OD=CO，∠BOD=180°-60°=120°=∠AOC,∴△

BOD≌

△AOC(SAS),∴AC=BD,∠ACO=∠BDO.∴∠AEB=∠BDO+∠CAO=∠ACO+∠CAO=∠COD=60°;°解題2、在證明AC=BD時與解法1相同,但求∠AEB的度數(shù)時,解法1是通過三角形外角的性質(zhì)作為依據(jù)來求,于是不妨把角度轉(zhuǎn)移到∠AEB所在的三角形內(nèi)部即利用三角形內(nèi)角和的性質(zhì)來解決。解；∵△AOC≌△DOB(已證)∴∠DBO=∠CAO又∵∠AEB=180°-∠DBO-∠OBA-∠CAB∴∠AEB=180°-∠CAO-∠OBA-∠CAB變式1：如圖△OCD固定不動，保持△OAB的形狀大小不變，將△OAB繞著點O旋轉(zhuǎn)（△OAB和△OCD不能重疊）求；∠AEB的大小，并探究AC，BD的數(shù)量關系？三、反思條件，拓展命題解；將△OAB繞著點O旋轉(zhuǎn)的過程中，形狀、大小均不改變，即BO=AO=OD=CO，∠BOD=60°+∠BOC=∠AOC，∴△BOD≌△AOC，∴AC=BD，∠DBO=∠CAO，∴∠AEB=180°-∠DBO-∠ABO-∠BAE=180°-∠ABO-∠BAO=60°變式2：若將例1中的條件“點O是線段AD的中點”改變，即點O是線段AD上的一個動點。如圖；O為線段AD上一動點且不與A,D重合在AD的同側(cè)分別作正△ABO和正△CDO,則以下結(jié)論恒成立的有(1)AC=BD,(2)∠AEB=60°,(3)PB=QA,(4)PQ∥AD恒成立的有____________.解:由△ACO≌△BDO,得AC=BD,∠AEB=60°,∴(1),(2)都正確,同時可得∠PBO=∠QAO∵∠BOA=∠BOP,AO=BO∴PB=OA,OP=OQ,∴△OPQ為正三角形即∠OPQ=∠POD=60°∴PQ∥DO變式3：等邊三角形是特殊的等腰三角形，因此，我們可以進行類比聯(lián)想，若將在同側(cè)所作的等邊三角形推廣為一般等腰三角形，情況又會怎樣呢？如圖，B、C、E在同一直線上，點A、D在直線CE的同側(cè)，AB=AC，CE=ED，∠BAC=∠CED=90°，求∠AFB的度數(shù)？解：由已知可得：△ABC和△ECD均為等腰直角三角形∴=且∠BCD=45°+∠ACD=∠ACE∴△ACE∽△BCD即∠EAC=∠DBC∴∠AFB=∠DBC+∠AEC=∠EAC+∠AEC=∠ACB==45°變式4若∠BAC=80°,其他條件都不變,由上例可推出∠AFB==50°若∠BAC=a,其他條件都不變,由上例可推出∠AFB==90°-變式5(將2個等腰三角形的頂角重合放在一條直線上)如圖1，在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，且點B、A、D在一條直線上，連結(jié)BE、CD、M、N分別為BE、CD的中點。（1）求證：①BE=CD②△AMN是等腰三角形圖11）①仿例1的證明方法，容易得到BE=CD②因為△ABE≌△ACD，且BE、CD為兩全等三角形中的對應邊，又因為AM、AN分別為BE、CD邊上的中線，所以AM=AN，即△AMN等腰三角形；（2）在圖1的基礎上，將②△ADE繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn)180°，其他條件不變，得到圖2所示的圖形請直接寫出（1）問中的結(jié)論是否仍然成立；（3）在（2）的條件下，請在圖2中延長ED交線段BC于點P，求證：△PBD∽△AMN圖1圖2解析（2）(在）問中的兩個結(jié)論仍然成立；（3）在圖2中正確的畫出線段PD，容易得證△ABM≌△CAN，∴∠CAN=∠BAM，

∴∠BAC=∠MAN，又∵∠BAC=∠DAE，

∴∠MAN=∠DAE=∠BAC?！唷鰽MN、△ADE和△ABC都是頂角相等的等腰三角形；∴∠PBD=∠AMN，∠PDB=∠ADE=∠ANM，∴△PBD∽△AMN在AD同側(cè)分別作正方形(矩形),依此條件可得到2008浙江省義務數(shù)學中考題.直擊中考反思解法:總結(jié)解題的思維規(guī)律探究幾何圖形所具有性質(zhì)的“變”