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文檔簡介
1.3導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1.函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)1.掌握函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.2.能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,會求不超過三次的多項式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和其他函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(梳)eq\x(理)1.一般地,可導(dǎo)函數(shù)f(x)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)f′(x)有如下關(guān)系:導(dǎo)函數(shù)的符號不等式的解集函數(shù)的單調(diào)性單調(diào)區(qū)間f′(x)>0(a,b)單調(diào)遞增遞增區(qū)間f′(x)<0(a,b)單調(diào)遞減遞減區(qū)間f′(x)=0—常函數(shù)—想一想:(1)在區(qū)間(a,b)內(nèi),如果f′(x)>0,則f(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增,反過來也成立嗎?解析:不一定成立.例如,f(x)=x3在R上為增函數(shù),但f′(0)=0,即f′(x)>0是f(x)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增的充分不必要條件.(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,需要先確定什么?解析:函數(shù)的定義域.函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是函數(shù)定義域的子集.2.函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)值大小的關(guān)系一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x),在區(qū)間(a,b)內(nèi),(1)如果|f′(x)|越大,函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)變化得越快,函數(shù)的圖象就比較“陡峭”(向上或向下);(2)如果|f′(x)|越小,函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)變化得越慢,函數(shù)的圖象就比較“平緩”(向上或向下).eq\x(自)eq\x(測)eq\x(自)eq\x(評)1.函數(shù)f(x)=(x-3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是(D)A.(-∞,2)B.(0,3)C.(1,4)D.(2,+∞)解析:f′(x)=(x-3)′ex+(x-3)(ex)′=(x-2)ex,令f′(x)>0,解得x>2.2.函數(shù)f(x)=x3-3x2+1的單調(diào)遞減區(qū)間為(D)A.(2,+∞)B.(-∞,2)C.(-∞,0)D.(0,2)解析:f′(x)=3x2-6x=3x(x-2),令f′(x)<0,得0<x<2,所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,2).故選D.3.已知函數(shù)f(x)=eq\r(x)+lnx,則有(A)A.f(2)<f(e)<f(3)B.f(e)<f(2)<f(3)C.f(3)<f(e)<f(2)D.f(e)<f(3)<f(2)解析:在(0,+∞)內(nèi),f′(x)=eq\f(1,2\r(x))+eq\f(1,x)>0,所以f(x)在(0,+∞)內(nèi)是增函數(shù),所以有f(2)<f(e)<f(3).eq\x(基)eq\x(礎(chǔ))eq\x(鞏)eq\x(固)1.函數(shù)y=4x2+eq\f(1,x)的單調(diào)增區(qū)間是(C)A.(0,+∞)B.(-∞,1)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2),+∞))D.(1,+∞)2.若在區(qū)間(a,b)內(nèi)有f′(x)>0,且f(a)≥0,則在(a,b)內(nèi)有(A)A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)=0D.f(x)≥03.下列區(qū)間中,使函數(shù)y=x·cosx-sinx為增函數(shù)的區(qū)間是(B)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2),\f(3π,2)))B.(π,2π)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2),\f(5π,2)))D.(2π,3π)解析:f′(x)=cosx-xsinx-cosx=-x·sinx,當(dāng)x∈(π,2π)時,f′(x)>0.故選B.4.函數(shù)f(x)=sinx-2x的遞減區(qū)間是________.解析:因為f′(x)=cosx-2<0,所以f(x)在R上為減函數(shù).答案:(-∞,+∞)eq\x(能)eq\x(力)eq\x(提)eq\x(升)5.(2023·新課標(biāo)全國Ⅱ卷)若函數(shù)f(x)=kx-lnx在區(qū)間(1,+∞)單調(diào)遞增,則k的取值范圍是(D)A.(-∞,-2]B.(-∞,-1]C.[2,+∞)D.[1,+∞)解析:f′(x)=k-eq\f(1,x),由已知得f′(x)≥0在x∈(1,+∞)恒成立,故k≥eq\f(1,x),因為x>1,所以0<eq\f(1,x)<1,故k的取值范圍是[1,+∞).6.設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù),y=f′(x)的圖象如下圖所示,則y=f(x)的圖象最有可能是(C)解析:由f′(x)的圖象可知,x<0或x>2時,f′(x)>0;0<x<2時,f′(x)<0,所以,函數(shù)f(x)在(-∞,0)和(2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在(0,2)內(nèi)單調(diào)遞減.7.若函數(shù)y=a(x3-x)的單調(diào)減區(qū)間為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),3),\f(\r(3),3))),則a的取值范圍是________.解析:由f′(x)=a(3x2-1)=3aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x-\f(\r(3),3)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x+\f(\r(3),3)))<0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(-\f(\r(3),3),\f(\r(3),3))),知a>0.答案:(0,+∞)8.(2023·武漢調(diào)研)若函數(shù)y=-eq\f(4,3)x3+ax有三個單調(diào)區(qū)間,則a的取值范圍是________.解析:∵y′=-4x2+a,且y有三個單調(diào)區(qū)間,∴方程y′=-4x2+a=0有兩個不等的實根,∴Δ=02-4×(-4)×a>0,∴a>0.答案:(0,+∞)9.已知函數(shù)f(x)=kx3-3(k+1)x2-k2+1(k>0).若f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,4),單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,0)與(4,+∞),求k的值.解析:f′(x)=3kx2-6(k+1)x,由題知x=0或x=4為方程f′(x)=0的兩根,∴0+4=4=eq\f(6(k+1),3k).∴k=1.10.已知a≥0,函數(shù)f(x)=(x2-2ax)ex.設(shè)f(x)在區(qū)間[-1,1]上是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.解析:f′(x)=(2x-2a)ex+(x2-2ax)ex=ex[x2+2(1-a)x-2a].令f′(x)=0,即x2+2(1-a)x-2a=0.解得x1=a-1-eq\r(1+a2),x2=a-1+eq\r(1+a2),其中x1<x2.當(dāng)x變化時,f′(x),f(x)的變化情況見下表:x(-∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f′(x)+0-0+f(x)↗↘↗∵a≥0
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