高中數(shù)學人教A版2第二章推理與證明單元測試【市一等獎】

推理與證明章末測試題（時間：120分鐘滿分：150分）學號：______班級：______姓名：______得分：______一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1．用三段論推理命題：“任何實數(shù)的平方大于0，因為是實數(shù)，所以＞0”，你認為這個推理（）A．大前題錯誤B．小前題錯誤C．推理形式錯誤D．是正確的2．若a，b，c是不全相等的實數(shù)，求證：a2+b2+c2＞ab+bc+ca．證明過程如下：因為a，b，c∈R，所以a2+b2＞2ab，b2+c2＞2bc，c2+a2＞2ca，又因為a，b，c不全相等，所以以上三式至少有一個“”不成立,所以將以上三式相加得2（a2+b2+c2）＞2（ab+bc+ca），所以a2+b2+c2＞ab+bc+ca．此證法是（）Ａ．分析法 Ｂ．綜合法 Ｃ．分析法與綜合法并用 Ｄ．反證法3．已知x1>0，x1≠1且xn＋1＝eq\f(xn·(x\o\al(2,n)＋3),3x\o\al(2,n)＋1)（n＝1,2，…），試證：“數(shù)列{xn}對任意的正整數(shù)n，都滿足xn>xn＋1，”當此題用反證法否定結(jié)論時應為（）A.對任意的正整數(shù)n，有xn＝xn＋1B.存在正整數(shù)n，使xn≥xn－1，且xn≥xn＋1C.存在正整數(shù)n，使xn≤xn＋1D.存在正整數(shù)n，使（xn－xn－1）（xn－xn＋1）≥04.因為a,b∈R+,a+b≥2,……大前提,……小前提所以x+≥2.……結(jié)論以上推理過程中的錯誤為（）A．大前提B．小前提C．結(jié)論D．無錯誤5．某同學證明不等式eq\r(7)－1＞eq\r(11)－eq\r(5)的過程如下：要證eq\r(7)－1＞eq\r(11)－eq\r(5)，只需證eq\r(7)＋eq\r(5)＞eq\r(11)＋1，即證7＋2eq\r(7×5)＋5＞11＋2eq\r(11)＋1，即證eq\r(35)＞eq\r(11)，即證35＞11.因為35＞11成立，所以原不等式成立．這位同學使用的證明方法是（）A．綜合法B．分析法C．綜合法，分析法結(jié)合使用D．其他證法6．類比下列平面內(nèi)的結(jié)論，在空間中仍能成立的是（）①平行于同一直線的兩條直線平行；②垂直于同一直線的兩條直線平行；③如果一條直線與兩條平行線中的一條垂直，則必與另一條垂直；④如果一條直線與兩條平行線中的一條相交，則必與另一條相交．A．①②④B．①③C．②④D．①③④7.用反證法證明“如果a>b，那么＞”假設的內(nèi)容應是（）A.=B.＜C.=且＜D.=或＜8．如圖1所示是一患黑白相間排列的珠子，按這種規(guī)律往下排列，那么第36顆珠子的顏色是（）圖1圖1A．白色 B．黑色C．白色可能性大 D．黑色可能性大9．用數(shù)學歸納法證明等式1+2+3+…+（n+3）=（n∈N*）時，第一步驗證n=1時，左邊應取的項是（）A．1 B． C． D．10．已知f（x）=x3+x，a，b，c∈R，且a+b＞0，a+c＞0，b+c＞0，則f（a）+f（b）+f（c）的值一定（）A.大于零B.等于零C.小于零D.正負都有可能11．已知,把數(shù)列{an}的各項排列成如下的三角形狀,a1a2a5………………記A（m，n）表示第m行的第n個數(shù),則A（10,12）=（）A.（）93 B.（）92 C.（）94 D.（）11212．利用數(shù)學歸納法證明：不等式1+++…+＜n（n≥2，n∈N+）的過程中，由n=k變到n=k+1時，左邊增加了（）A.1項B.項C.項D.項二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上.）13．在平面上，若兩個正三角形的邊長的比為1：2，則它們的面積比為1：4，類似地，在空間，若兩個正四面體的棱長的比為1：2，則它們的體積比為．14．將下面用分析法證明eq\f(a2＋b2,2)≥ab的步驟補充完整：要證eq\f(a2＋b2,2)≥ab，只需證a2＋b2≥2ab，也就是證____________，即證______________，由于______________顯然成立，因此原不等式成立．15．用數(shù)學歸納法證明不等式1+++…+＞成立，起始值至少應取.16．觀察下列等式：13=12，13+23=32，13+23+33=62，13+23+33+43=102，…所以根據(jù)上述規(guī)律，第n個等式為.三、解答題（本大題共6小題，共70分.解答題應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（10分）已知a＞0，，求證：18．（12分）求證n3+（n+1）3+（n+2）3能被9整除.19．（12分）已知橢圓具有如下性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是橢圓上的任意一點，當直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，則kPM與kPN之積是與點P位置無關(guān)的定值．試寫出雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a>0，b>0）具有的類似的性質(zhì)，并加以證明.AA1B1BC1CMNP20．（12分）如圖，點為斜三棱柱的側(cè)棱上一點，交于點，交于點AA1B1BC1CMNP（1）求證：；（2）在任意中有余弦定理：.拓展到空間，類比三角形的余弦定理，寫出斜三棱柱的三個側(cè)面面積與其中兩個側(cè)面所成的二面角之間的關(guān)系式，并予以證明.21．（12分）已知A，B是橢圓C：2x2+3y2=9上兩點，點M的坐標為（1，0）.⑴當A，B兩點關(guān)于x軸對稱，且△MAB為等邊三角形時，求AB的長；⑵當A，B兩點不關(guān)于x軸對稱時，證明：△MAB不可能為等邊三角形.22.（12分）在數(shù)列{an}中，an＝（－1）n＋1·n2，觀察下列規(guī)律：1＝1；1－4＝－3＝－（1＋2）；1－4＋9＝6＝1＋2＋3；1－4＋9－16＝－10＝－（1＋2＋3＋4）；……試寫出數(shù)列{an}的前n項和公式，并用數(shù)學歸納法證明．（擬題高英軍）推理與證明章末測試題選擇題2.B5.B9.D提示：1.0的平方等于0.3．根據(jù)全稱命題的否定，是特稱命題，即“數(shù)列{xn}對任意的正整數(shù)n，都滿足xn>xn＋1”的否定為“存在正整數(shù)n，使xn≤xn＋1”，故選4.根據(jù)基本不等式可知，大前提正確，而小前提，沒有條件x∈R+，故小前提錯誤，故選B.5．選B.根據(jù)分析法的思維特點可判定出來.6．對于②，在空間垂直于同一直線的兩條直線可能相交或異面，對于④，在空間一條直線與兩條平行線中的一條相交，則它與另一條可能異面，故選B.7.＞的反面為=或＜.8．由圖可知，三白二黑周而復始相繼排列．因為36÷5＝7余1，所以第36顆珠子的顏色與第一顆珠子的顏色相同，即為白色．9．由于當n=1時，等式右邊結(jié)果為10.故選D.10．f（x）為奇函數(shù)，增函數(shù)，a＞-b，c＞-a，b＞-c得f（a）＞f（-b）=-f（b），f（c）＞f（-a）=-f（a），f（b）＞f（-c）=-f（c），得f（a）+f（b）+f（c）大于零.11．由A（m，n）表示第m行的第n個數(shù)可知，A（10，12）表示第10行的第12個數(shù)，根據(jù)圖形可知：①每一行的最后一個項的項數(shù)為行數(shù)的平方，所以第10行的最后一個項的項數(shù)為102=100，即為a100；

②每一行都有2n-1個項，所以第10行有2×10-1=19項，得到第10行第一個項為100-19+1=82，所以第12項的項數(shù)為82+12-1=93；所以A（10，12）=a93=（）93，故選A．12.用數(shù)學歸納法證明等式1+++…+＜f（n）（n≥2，n∈N*）的過程中，假設n=k時不等式成立，左邊=1+++…+，

則當n=k+1時，左邊=1+++…++++…+，

所以由n=k遞推到n=k+1時不等式左邊增加了：++…+，

共（2k+1-1）-2k+1=2k項，故選D．填空題13．1：814．a(chǎn)2＋b2－2ab≥0（a－b）2≥0（a－b）2≥015．816．13+23+33+43+…+n3=[]2提示：15．根據(jù)題設，得＞，解得n＞7，故起始值至少應取8.16．由題知13=12；13+23=（）2；13+23+33=（）2；13+23+33+43=（）2；…所以13+23+33+43+…+n3=[]2.三、解答題17．證明：由已知及a＞0，可知b＞0，要證，可證＞1即證1+a-b-ab＞1，只需證a-b-ab＞0，即＞1，即，這是已知條件，顯然成立，所以原不等式得證.18．證明：①當n=1時，13+（1+1）3+（1+2）3=36能被9整除，結(jié)論成立.②假設n=k（k≥1，且k∈N*）時成立，即k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除；當n=k+1時，（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3=k3+（k+1）3+（k+2）3+9k2+27k+27=k3+（k+1）3+（k+2）3+9（k2+3k+3）能被9整除所以n=k+1時結(jié)論也成立.由①②可知原命題成立.19．解：雙曲線的類似的性質(zhì)為：若M，N是雙曲線=1上關(guān)于原點對稱的兩個點，點P是雙曲線上的任意一點，當直線PM，PN的斜率都存在，并記為kPM，kPN時，kPM與kPN之積是與點P位置無關(guān)的定值．下面給出證明：

設點M的坐標為（m，n），則點N的坐標為（-m，-n），且-＝1又設點P的坐標為（x，y），由kPM=，kPN=得kPM?kPN=?=，①

將y2=x2-b2，n2=m2-b2代入①式，得kPM?kPN=（定值）20.（1）證明：因為所以；（2）解：在斜三棱柱中，有，其中為平面與平面所組成的二面角.因為，所以上述的二面角為，在中，T，由于，所以有.21．解：⑴設A（x0，y0），B（x0，-y0），因為△MAB為等邊三角形，所以|y0|=|x0-1|，又點A（x0，y0）在橢圓上，所以，消去y0，得3x-2x0-8=0，解得x0=2或x0=-，當x0=2時，|AB|=；當x0=-時，|AB|=.⑵根據(jù)題意可知，直線AB斜率存在.設直線AB：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），AB中點為N（x0，y0），聯(lián)立，消去y得（2+3k2）x2+6kmx+3m2-9=0由△＞0得2m2-9k2-6＜所以x1+x2=-,y1+y2=k（x1+x2）+2m=,所以N（-，），又M（1，0），假設△MAB為等邊三角形，則有MN⊥AB，所以kMN×k=-1，即×k=-1，化簡得3k