四川省遂寧市大英中學(xué)蓬萊分校2022高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析

四川省遂寧市大英中學(xué)蓬萊分校2022高二數(shù)學(xué)文聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.給出下列三個(gè)結(jié)論：（1）若命題p為真命題，命題?q為真命題，則命題“p∧q”為真命題；（2）命題“若xy=0，則x=0或y=0”的否命題為“若xy≠0，則x≠0或y≠0”；（3）命題“?x∈R，2x＞0”的否定是“?x∈R，2x≤0”．則以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）A．3個(gè)

B．2個(gè) C．1個(gè)

D．0個(gè)參考答案：C略2.2位男生和3位女生共5位同學(xué)站成一排．若男生甲不站兩端，3位女生中有且只有兩位女生相鄰，則不同排法的種數(shù)為（

）A．36

B.42

C.48

D.60參考答案：A略3.已知命題p：?x∈R，lnx+x﹣2=0，命題q：?x∈R，2x≥x2，則下列命題中為真命題的是（）A．p∧q B．￢p∧q C．p∧￢q D．￢p∧￢q參考答案：C【考點(diǎn)】復(fù)合命題的真假．【分析】先判定命題p是真命題，得￢p是假命題；再判定命題q是假命題，得￢q是真命題；從而判定各選項(xiàng)是否正確．【解答】解：對(duì)于命題p：∵y=lnx與y=2﹣x在坐標(biāo)系中有交點(diǎn)，如圖所示；即?x0∈R，使lnx0=2﹣x0，∴命題p正確，￢p是假命題；對(duì)于命題q：當(dāng)x=3時(shí)，23＜32，∴命題q錯(cuò)誤，￢q是真命題；∴p∧q是假命題，￢p∧q是假命題；p∧￢q是真命題，￢p∧￢q是假命題；綜上，為真命題的是C．故選：C．4.某市有高中生30000人，其中女生4000人，為調(diào)查學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，采用分層抽樣的方法抽取一個(gè)容量為150的樣本，則樣本中女生的數(shù)量為（

）A.30

B.25

C.20

D.15參考答案：C略5.已知焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程為y=±x，則該雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．或參考答案：C【考點(diǎn)】雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】利用雙曲線的漸近線方程轉(zhuǎn)化求解離心率即可．【解答】解：焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的漸近線方程為y=±x，可得：=，，可得e=．故選：C．6.在“唱響內(nèi)江”選拔賽中，甲、乙兩位歌手的5次得分情況如莖葉圖所示，記甲、乙兩人的平均得分分別、，則下列判斷正確的是(

) A．＜，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定 B．＜，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定 C．＞，甲比乙成績(jī)穩(wěn)定 D．＞，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定參考答案：A考點(diǎn)：莖葉圖；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：根據(jù)平均數(shù)的公式進(jìn)行求解，結(jié)合數(shù)據(jù)分布情況判斷穩(wěn)定性解答： 解：由莖葉圖可知=（77+76+88+90+94）=，=（75+86+88+88+93）==86，則＜，乙的成績(jī)主要集中在88附近，乙比甲成績(jī)穩(wěn)定，故選：A點(diǎn)評(píng)：本題主要考查莖葉圖的應(yīng)用，根據(jù)平均數(shù)和數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性是解決本題的關(guān)鍵．7.已知數(shù)列中，，，則此數(shù)列的前10項(xiàng)和（

）A．140

B．120

C．80

D．60參考答案：B是公差為的等差數(shù)列，，故選B.

8.已知點(diǎn)P在拋物線y2=4x上，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q（2，﹣1）的距離與點(diǎn)P到拋物線焦點(diǎn)距離之和取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）A．（，﹣1） B．（，1） C．（，﹣1） D．（，1）參考答案：A【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【分析】先根據(jù)拋物線方程求出焦點(diǎn)坐標(biāo)，再由拋物線的性質(zhì)知：當(dāng)P，Q和焦點(diǎn)三點(diǎn)共線且點(diǎn)P在中間的時(shí)候距離之和最小，進(jìn)而先求出縱坐標(biāo)的值，代入到拋物線中可求得橫坐標(biāo)的值從而得到答案．【解答】解：∵y2=4x∴p=2，焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）過(guò)M作準(zhǔn)線的垂線于M，由PF=PM，依題意可知當(dāng)P，Q和M三點(diǎn)共線且點(diǎn)P在中間的時(shí)候，距離之和最小如圖，故P的縱坐標(biāo)為﹣1，然后代入拋物線方程求得x=，故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查拋物線的基本性質(zhì)，考查拋物線的定義，屬基礎(chǔ)題．9.將A、B、C、D、E排成一列，要求A、B、C在排列中順序?yàn)椤癆、B、C”或“C、B、A”(可以不相鄰)，這樣的排列數(shù)有多少種()A．12

B．20

C．40

D．60參考答案：C略10.若集合，，則集合等于（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若空間中兩點(diǎn)分別為A(1,0,1)，B(2,1,－1)，則|AB|的值為_(kāi)_________．參考答案：，．12.4個(gè)實(shí)習(xí)老師分配到高中三個(gè)年級(jí)實(shí)習(xí)，則每個(gè)年級(jí)至少有1個(gè)實(shí)習(xí)老師的概率為_(kāi)________參考答案：略13.給出平面區(qū)域（如圖），若使目標(biāo)函數(shù)：z＝ax＋y（a＞0）取得最大值的最優(yōu)解有無(wú)數(shù)多個(gè)，則a的值為_(kāi)____________．參考答案：略14.已知雙曲線的兩條漸近線均和圓相切，且雙曲線的右焦點(diǎn)為圓的圓心，則該雙曲線的方程為_(kāi)_________．參考答案：－＝1試題分析：圓C：x2＋y2－6x＋5＝0,是以（3,0）為圓心，2為半徑的圓，可知雙曲線中的c=2，雙曲線的漸進(jìn)性方程為：根據(jù)題意點(diǎn)（3,0）到漸近線的距離為2，運(yùn)用點(diǎn)到直線的距離公式可得故雙曲線方程為－＝1.15.設(shè)y2=4px（p＞0）上橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為10，則拋物線的解析式

．參考答案：y2=16x【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)．【專題】方程思想；定義法；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．【分析】求得拋物線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的方程，運(yùn)用拋物線的定義可得橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為10，即有橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為10，解方程可得p=4，進(jìn)而得到拋物線的方程．【解答】解：y2=4px（p＞0）的焦點(diǎn)為（p，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣p，由拋物線的定義可得，橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為10，即有橫坐標(biāo)為6的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為10，即6+p=10，解得p=4，則拋物線的方程為y2=16x，故答案為：y2=16x．【點(diǎn)評(píng)】本題考查拋物線的解析式的求法，注意運(yùn)用拋物線的定義，考查運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．16.設(shè)，則關(guān)于的方程有實(shí)根的概率是（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：A略17.已知隨機(jī)變量,,則的值分別為_(kāi)_________參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知橢圓C的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率等于，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線的焦點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）點(diǎn)P(2，3)，Q（2，-3）在橢圓上，A，B是橢圓上位于直線PQ兩惻的動(dòng)點(diǎn)，①若直線AB的斜率為，求四邊形APBQ面積的最大值；②當(dāng)A、B運(yùn)動(dòng)時(shí)，滿足于∠APQ=∠BPQ，試問(wèn)直線AB的斜率是否為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.參考答案：1）;2）（1）;(2)直線的斜率是一個(gè)定值.【分析】(1)根據(jù)拋物線焦點(diǎn)，求得b，再由離心率和橢圓中a、b、c的關(guān)系求得a、c的值，進(jìn)而得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。(2)設(shè)出A、B的坐標(biāo)，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理求得x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4；由直線x=2與橢圓交于P,Q兩點(diǎn)可求得P,Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)，則四邊形APBQ的面積S=S△APQ+S△BPQ，即可得到面積的最大值；設(shè)出直線方程，聯(lián)立橢圓方程，化簡(jiǎn)得到關(guān)于x的一元二次方程，利用韋達(dá)定理得到AB斜率的表達(dá)形式，即可得到斜率為定值?！驹斀狻?1)設(shè)橢圓C的方程為=1(a>b>0),由題意可得它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線x2=4y的焦點(diǎn)(0,),∴b=.再根據(jù)離心率,求得a=2,∴橢圓C的方程為=1.(2)①設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),AB的方程為y=x+t,代入橢圓C的方程化簡(jiǎn)可得x2+2tx+2t2-4=0,由Δ=4t2-4(2t2-4)>0,求得-2<t<2.由根與系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2=-2t,x1x2=2t2-4.在=1中,令x=2求得P(2,1),Q(2,-1),∴四邊形APBQ的面積S=S△APQ+S△BPQ=·PQ·|x1-x2|=×2×|x1-x2|=|x1-x2|=,故當(dāng)t=0時(shí),四邊形APBQ的面積S取得最大值為4.②當(dāng)∠APQ=∠BPQ時(shí),PA,PB的斜率之和等于零,設(shè)PA的斜率為k,則PB的斜率為-k,PA的方程為y-1=k(x-2),把它代入橢圓C的方程化簡(jiǎn)可得(1+4k2)x2+8k(1-2k)x+4(1-2k)2-8=0,∴x2+2=.同理可得直線PB的方程為y-1=-k(x-2),x2+2=,∴x1+x2=,x1-x2=.∴AB的斜率k====.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，四邊形面積的最值問(wèn)題，直線斜率的定值問(wèn)題，綜合性強(qiáng)，是高考的常考點(diǎn)和難點(diǎn)，屬于難題。19.（本小題滿分13分）已知。（1）若不等式對(duì)任意實(shí)數(shù)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若，解不等式。參考答案：（1）原不等式等價(jià)于對(duì)任意的實(shí)數(shù)恒成立，設(shè)當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得；當(dāng)時(shí)，，得；綜上（2），即因?yàn)椋?，因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，，解集為｛x|｝；當(dāng)時(shí)，，解集為；當(dāng)時(shí)，，解集為｛x|｝20.（本小題滿分10分）如圖，已知直線以及上一點(diǎn),直線，求圓心在上且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程．參考答案：設(shè)圓心為，半徑為，依題意，.設(shè)直線的斜率=-1，過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率，因，故，∴，解得..所求圓的方程為21.已知函數(shù)（，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.（Ⅰ）證明：對(duì)任意，都有成立；（Ⅱ）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）證明過(guò)程見(jiàn)詳解；（Ⅱ）.【分析】（Ⅰ）先求出，然后直接構(gòu)造與不等式對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的最值，從而證明不等式；（Ⅱ）先寫(xiě)出不等式，根據(jù)參數(shù)的取值情況，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)最值與0的關(guān)系，構(gòu)建參數(shù)的不等式求解即可得出結(jié)果.【詳解】（Ⅰ）因?yàn)?，所以，記，則，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增；所以，即恒成立，也就是恒成立.（Ⅱ）令，則，而，由（Ⅰ）知：恒成立，故；①當(dāng)時(shí)，，又，所以恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；所以，即恒成立.②當(dāng)時(shí)，由可得：，即,而，所以，故，當(dāng)時(shí)，，.則，函數(shù)單調(diào)遞減，所以，顯然不能恒成立.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，通常需要對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的方法研究函數(shù)的單調(diào)性等，屬于?？碱}型.22.已知函數(shù)，函數(shù)．當(dāng)時(shí)，．（Ⅰ）證明：當(dāng)時(shí)，；（Ⅱ）設(shè)，當(dāng)時(shí)，的最大