高中數(shù)學(xué)蘇教版第一章立體幾何初步 章末知識(shí)整合

章末知識(shí)整合一、函數(shù)與方程思想函數(shù)與方程思想是一種重要的數(shù)學(xué)思想．在立體幾何中，若一個(gè)量未知求另一個(gè)量的最值時(shí)，可利用函數(shù)思想去解決．[例1]如圖所示，圓柱OO1內(nèi)有一個(gè)三棱柱ABC-A1B1C1，三棱柱的底面為圓柱底面的內(nèi)接三角形，且AB是圓O的直徑，AA1＝AC＝CB(1)證明：平面A1ACC1⊥平面B1BCC1；(2)設(shè)E，F(xiàn)分別為AC，BC上的動(dòng)點(diǎn)，且CE＝BF＝x(0<x<2)，問(wèn)當(dāng)x為何值時(shí)，三棱錐C-EC1F的體積最大，(1)證明：因?yàn)锽B1⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以BB1⊥AC.因?yàn)锳B是圓O的直徑，所以BC⊥AC，又BC∩BB1＝B，所以AC⊥平面B1BCC1，而AC?平面A1ACC1，所以平面A1ACC1⊥平面B1BCC1.(2)解：因?yàn)镃E＝BF＝x，所以CF＝2－x.VC-EC1F＝VC1-ECF＝eq\f(1,3)S△ECF·CC1＝eq\f(1,3)·eq\f(1,2)x·(2－x)·2＝eq\f(1,3)(2x－x2)＝eq\f(1,3)[－(x－1)2＋1]，又0<x<2，所以當(dāng)x＝1時(shí)，三棱錐C-EC1F的體積最大，最大值為eq\f(1,3).規(guī)律總結(jié)將幾何中的最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)是立體幾何與代數(shù)相結(jié)合的典范，應(yīng)體會(huì)此方法思想的應(yīng)用技巧．[變式訓(xùn)練]1．圓錐的底面半徑為2cm，高為4cm解：如圖所示，為圓柱和圓錐的軸截面，設(shè)所求圓柱的底面半徑為r，母線(xiàn)長(zhǎng)為l，S圓柱側(cè)＝2π·lr.因?yàn)閑q\f(r,2)＝eq\f(4－l,4)，所以l＝4－2r.所以S圓柱側(cè)＝2π·lr＝2π·r·(4－2r)＝－4π(r－1)2＋4π≤4π.所以當(dāng)r＝1時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大且Smax＝4πcm2.二、轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸就是處理問(wèn)題時(shí)，把待解決的問(wèn)題或難解決的問(wèn)題，通過(guò)某種轉(zhuǎn)化過(guò)程，歸結(jié)為一類(lèi)已經(jīng)解決的問(wèn)題，最終使問(wèn)題得到解答的一種數(shù)學(xué)思想．轉(zhuǎn)化與化歸思想是立體幾何中重要且常用的數(shù)學(xué)思想．[例2]如圖所示，正方體ABCD-A1B1C1D1(1)求證：AC⊥平面B1D1DB；(2)求AB1與平面B1D1DB所成的角；(3)求三棱錐B-ACB1的體積．分析：(1)證明AC⊥BB1且AC⊥BD即可．(2)結(jié)合(1)求解，關(guān)鍵是先作出所求的角．(3)利用VB-ACB1＝VC-ABB1求解．(1)證明：因?yàn)锽B1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以BB1⊥AC.又AC⊥BD，BB1∩BD＝B，所以AC⊥平面B1D1DB.(2)解：設(shè)AC與DB的交點(diǎn)為O，連接B1O，由(1)知AC⊥平面B1D1DB，所以B1O就是AB1在平面B1D1DB上的射影．所以∠AB1O就是所求的角．因?yàn)锳B1＝eq\r(2)，AO＝eq\f(\r(2),2)，∠AOB1＝90°，所以∠AB1O＝30°.(3)解：VB-ACB1＝VC-ABB1＝eq\f(1,3)CB·S△ABB1＝eq\f(1,6).規(guī)律總結(jié)(1)空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面三者之間相互轉(zhuǎn)化的關(guān)系如下：線(xiàn)線(xiàn)平行?線(xiàn)面平行?面面平行；線(xiàn)線(xiàn)垂直?線(xiàn)面垂直?面面垂直．有關(guān)線(xiàn)面位置關(guān)系的論證往往就通過(guò)這種聯(lián)系和轉(zhuǎn)化得到解決．(2)通過(guò)添加輔助線(xiàn)或輔助面將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題．(3)空間角的求解．通常將空間的角(異面直線(xiàn)的夾角、直線(xiàn)與平面所成的角、二面角)轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)兩條相交直線(xiàn)的夾角，通過(guò)三角形求解，即立體問(wèn)題平面化．[變式訓(xùn)練]2．已知圓柱的高為5π，底面半徑為2eq\r(3)，軸截面為矩形A1ABB1，在母線(xiàn)AA1上有一點(diǎn)P，且PA＝π，在母線(xiàn)BB1上取一點(diǎn)Q，使B1Q＝2π，則圓柱側(cè)面上P，Q兩點(diǎn)間的最短距離為_(kāi)_______．解析：如圖甲所示，沿圓柱的母線(xiàn)AA1剪開(kāi)得矩形(如圖乙所示)，過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB交BB1于點(diǎn)E，令PA＝a，B1Q＝b，則PE＝AB＝eq\f(1,2)×2πR＝πR＝2eq\r(3)π，QE＝h－a－b＝2π.所以PQ＝eq\r(PE2＋QE2)＝eq\r(（πR）2＋（h－a－b）2)＝4π.答案：4π三、整體思想的應(yīng)用整體思想在代數(shù)式的化簡(jiǎn)與求值、解方程(組)、幾何證明等方面都有廣泛的應(yīng)用，整體代入、疊加疊乘處理、整體運(yùn)算、整體設(shè)元、整體處理、幾何中的補(bǔ)形(體)等都是整體思想在解數(shù)學(xué)問(wèn)題中的具體運(yùn)用．[例3]一個(gè)長(zhǎng)方體的全面積為11，十二條棱長(zhǎng)度之和為24，求這個(gè)長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)．分析：要求長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)，只要求長(zhǎng)方體的一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)即可．解：設(shè)此長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x、y、z，對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為l，則由題意得：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2（xy＋yz＋zx）＝11，,4（x＋y＋z）＝24.))由4(x＋y＋z)＝24得x＋y＋z＝6，從而由長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)性質(zhì)得：l＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\r(（x＋y＋z）2－2（xy＋yz＋zx）)＝eq\r(62－11)＝5.規(guī)律總結(jié)整體思想就是在探究數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，研究問(wèn)題的整體形式、整體結(jié)構(gòu)或?qū)?wèn)題的數(shù)的特征、形的特征、結(jié)構(gòu)特征做出整體性處理．整體思想的含義很廣，根據(jù)問(wèn)題的具體要求，可以對(duì)代數(shù)式做整體變換，或整體代入，也可以對(duì)圖形做整體處理．[變式訓(xùn)練]3.如圖所示，長(zhǎng)方體三個(gè)面的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別是a，b，c，求長(zhǎng)方體對(duì)角線(xiàn)AC′的長(zhǎng)．解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為x，y，z，由題意得：對(duì)角線(xiàn)AC′＝eq\r(x2＋y2＋z2)，而eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋y2＝c2，①,x2＋z2＝b2，②,y2＋z2＝a2.③))由①②③得：x2＋y2＋z2＝eq\f(a2＋b2＋c2,2)，所以對(duì)角線(xiàn)：AC′＝eq\r(x2＋y2＋z2)＝eq\f(1,2)eq\r(2（a2＋b2＋c2）).四、分類(lèi)討論思想的應(yīng)用由于圖形的類(lèi)型或位置不確定引起分類(lèi)討論．[例4]用互相平行且距離為27的兩個(gè)平面截球，兩個(gè)截面圓的半徑分別為r1＝15，r2＝24，試求球的表面積．分析：應(yīng)分兩個(gè)平行截面位于球心的同側(cè)或兩側(cè)進(jìn)行討論．解：設(shè)球的半徑為R，球心O到兩平行截面的距離為OO1＝d1，OO2＝d2.(1)當(dāng)兩個(gè)平行截面位于球心O的兩側(cè)時(shí)，如圖①所示，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R2＝152＋deq\o\al(2,1)，,R2＝242＋deq\o\al(2,2)，,d1＋d2＝27，))解得d1＝20，d2＝7，R＝25.故S球＝4πR2＝2500π.圖①圖②(2)當(dāng)兩個(gè)平行截面位于球心O的同側(cè)時(shí)，如圖②所示，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(R2＝152＋deq\o\al(2,1)，,R2＝242＋deq\o\al(2,2)，,d1－d2＝27，))解得d1＝20，d2＝－7，不符合題意，即這種情況不存在．綜上可知，球的表面積2500π.規(guī)律總結(jié)當(dāng)在已知條件下存在多種可能的情況時(shí)，須分類(lèi)討論每一種可能的情況，綜合得出結(jié)果．本題雖然第(2)種情形不成立，但也必須考慮到．[變式訓(xùn)練]4．一張長(zhǎng)為10cm，寬為5cm的紙，以它為側(cè)面卷成一個(gè)圓柱，解：有兩種情況：(1)以5cm的邊為圓柱的母線(xiàn)，則形成的圓柱的底面周長(zhǎng)為10cm，故底面半徑為r＝eq\f(5,π)cm，因此V圓柱＝πr2h＝π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,π)))eq\s\up12(2)·5＝eq\f(125,π)(cm3)．(2)以10cm的邊為圓柱的母線(xiàn)則