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高考數(shù)學(xué)小題提速練(一)一、選擇題(本題共12小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.已知集合A={xlx2—4x—5W0},B={xlxlW2},則AA([RB)=()B.(2,5]AB.(2,5]C.[—1,2]D.[—1,2)解析:選B.由題得A=[—1,5],B=[~2,2],則[RB=(—2)U(2,+w),所以AA([RB)=(2,5],故選B.2.如果復(fù)數(shù)?2.如果復(fù)數(shù)?m2+i1+mi是純虛數(shù),那么實(shí)數(shù)m等于(A.—1BA.—1B.0C.0或1D.0或—1通解:m2+i.1通解:m2+i.1+mim2+i)1+mi)(1—mi)(1—mi)m2+m+(1—m3)i,因?yàn)榇藦?fù)數(shù)為純虛數(shù),所以1+m2m2+m=0,1—m3¥0,解得m=—1或0,故m2+m2+i優(yōu)解:設(shè)1+mi=bi(bWR且b^O),則有bi(1+mi)=m2+i,即一mb+bi=m2+i,所以—mb=m2,解得m=—1或0,故選D.b=1,2x+y—6三0,3.設(shè)x,y滿足約束條件x+2y—6W0,則目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最大值是()、y±0.A.3B.4C.6D.8通解:選C.作出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,作直線x+y=0,平移該直線,當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A(6,0)時(shí),Z取得最大值,即乞皿玄乂二6,故選C.優(yōu)解:目標(biāo)函數(shù)z=x+y的最值在可行域的三個(gè)頂點(diǎn)處取得,易知三條直線的交點(diǎn)分別為(3,0),(6,0),(2,2).當(dāng)x=3,y=0時(shí),z=3;當(dāng)x=6,y=0時(shí),z=6;當(dāng)x=2,y=2時(shí),z=4.所以z=6,故選C.max4.已知某批零件的長度誤差{(單位:毫米)服從正態(tài)分布N(0,32),從中隨機(jī)取一件,其長度誤差落在區(qū)間(3,6)內(nèi)的概率為(附:正態(tài)分布N@,。2)中,P?—o<dV“+o)=0.6827,P3—2oVd<"+2o)=0.9545)()A.0.0456B.0.1359C.0.2718DC.0.2718解析:選B.因?yàn)镻(-3<^<3)=0.6827,P(-6<^<6)=0.9545,所以P(3<^<6)=1(0.9545-0.6827)=0.1359,故選B.5.設(shè)a=6^3,b=G)2,c=ln:,貝9()A.cVaVbB.cVbVaC.aVbVcD.bVaVc通解:選B.因?yàn)閍=£)3>£)2>b=g)2>0,c=lnn<ln1=0,所以c<b<a,故選B.優(yōu)解:因?yàn)閍3=2>b3=\:'27=于,所以a>b>0.又c=lri|<ln1=0,所以c<b<a,故選B.下列函數(shù)中,在其定義域內(nèi)是增函數(shù)而且是奇函數(shù)的是()A.y=2xB.y=2|x|C.y=2x—2—xD.y=2x+2—x解析:選C.因?yàn)閥=2x為增函數(shù),y=2-x為減函數(shù),所以y=2x-2-x為增函數(shù),又y=2x-2-x為奇函數(shù),所以選C.某一簡單幾何體的三視圖如圖所示,該幾何體的外接球的表面積是()A.13nB.16nC.25nD.27n解析:選C.由三視圖知該幾何體是一個(gè)底面為正方形的長方體,由正視圖知該長方體
的底面正方形的對(duì)角線長為4.所以底面邊長為2-:!2,由俯視圖知該長方體的高為3,設(shè)該幾何體的外接球的半徑為R,則2R=勺(2'⑵2十(2、''2)2+32=5,解得R=|,所以該幾何體的外接球的表面25積S=4nR2=4n^4=25n,故選C.已知函數(shù)y=sin(2x+y)在x={處取得最大值,則函數(shù)y=cos(2x+y)的圖象()關(guān)于點(diǎn)專,0)對(duì)稱關(guān)于點(diǎn)(3,0)對(duì)稱關(guān)于直線x=6對(duì)稱關(guān)于直線x=3對(duì)稱nnn解析:選A.由題意可得3十0=2十2航,k^Z,即0=g+2kn,k^Z,所以y=cos(2x+/,n,\l,n\,n,In,n\n0)=cos(2x+6+2knj=cos(2x+6J,k^Z.當(dāng)x=&時(shí),cos^2x6+6J=cos2=0,所以函數(shù)y=cos(2x+y=cos(2x+y)的圖象關(guān)于點(diǎn)n6,時(shí),(nnAcos(2x3十刀=cos56n所以函數(shù)y=cos(2時(shí),(nnAcos(2x3十刀=cos56n所以函數(shù)y=cos(2x+y)的圖象不關(guān)于點(diǎn)nn不關(guān)于直線x=3對(duì)稱,故B、D錯(cuò)誤.故選A.n在如圖所示的圓形圖案中有12片樹葉,構(gòu)成樹葉的圓弧均相同且所對(duì)的圓心角為亍,
若在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自樹葉(即圖中陰影部分)的概率是(的概率為點(diǎn)=4_6''弓,故選B.A.2-32nB.A.2-32nB.4-D.解析:選B.設(shè)圓的半徑為r,根據(jù)扇形面積公式和三角形面積公式得陰影部分的面積S=4nr2—6\'3r2,圓的面積S=nr2,所以此點(diǎn)取自樹葉(即圖中陰影部分)sn10.給出四個(gè)函數(shù),分別滿足①(x+y)=fx)+fy),②g(x+y)=g(x)?g(y),③h(x?y)=h(x)+h(y),A.B.①甲①乙②乙②丙,③甲,④?、躮(+h(y),A.B.①甲①乙②乙②丙,③甲,④?、躮(x?y)=m(x)?m(y).又給出四個(gè)函數(shù)的圖象,那么正確的匹配方案可以是()①丙,①丁解析:選D.①fx)=x,這個(gè)函數(shù)可使f(x+y)=f(x)+f(y)成立,..了(x+y)=x+y,x+y=f(x)+f(y),?\fx+y)=fx)+fy),故①對(duì)應(yīng)丁.②尋找一類函數(shù)g(x),使得g(x+y)=g(x)?g(y),指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0,a^l)具有這種性質(zhì),令g(x)=ax,g(y)=ay,則g(x+y)=ax±=ax?ay=g(x)?g(y),故②對(duì)應(yīng)甲.③尋找一類函數(shù)h(x),使得h(x?y)=h(x)+h(y),對(duì)數(shù)函數(shù)具有這種性質(zhì),令h(x)=logax,h(y)=logay,則h(x?y)=loga(xy)=logax+logay=h(x)+h(y),故③對(duì)應(yīng)乙.④令m(x)=x2,這個(gè)函數(shù)可使m(xy)=m(x)?m(y)成立,Vm(x)=x2,.°.m(x?y)=(xy)2=x2y2=m(x)?m(y),故④對(duì)應(yīng)丙.故選D.C.D.②甲,②甲③乙,④?、垡?,④丙11.已知拋物線y=4x2,AB為過焦點(diǎn)F的弦,過A,B分別作拋物線的切線,兩切線交于點(diǎn)M設(shè)A(xA,yA),B(xB,yB),M(xM,yM),貝9:①若AB的斜率為1,則IABI=4;②IABI.=2;劭”=—1;④若AB的minM斜率為1,則xM=1;⑤xA?xB=—4.以上結(jié)論正確的個(gè)數(shù)是()MABA.1B.2C.3D.4y=x+1,解析:選B.由題意得,焦點(diǎn)F(0,1),對(duì)于①,匚為y=x+1,聯(lián)立,得|1消AB卜=4%2,去x,得y2—6y+1=0,得yA+yB=6,UlABI=yA+yB+p=8,故①錯(cuò)誤;對(duì)于②,IABImin=2p=4,故②錯(cuò)誤;因?yàn)閥=2則lAM:y—yA=沁—XA),即lAM:y=1xAX—yA,同理lBM:_11Jy=2XAX_yA,心+xx?八y=2xBx—yB,聯(lián)立,得i解得M^A2B,~7A4~BJ.設(shè)lAB為y=kx+l,聯(lián)立,得ly=2XBX—yB,y=kx+1,<_1消去y,得x2—4kx—4=0,xA+xB=4k,xA?xB=—4,所以yM=—1,③和⑤均y=4x2,正確;對(duì)于④,AB的斜率為1時(shí),xM=2,故④錯(cuò)誤,故選B.12.已知函數(shù)f(x)=x2的圖象在點(diǎn)(x0,工2)處的切線為l,若l也與函數(shù)y=lnx,x^(0,1)的圖象相切,則x0必滿足()A.0<x0<1B.1<x0<1c¥<xo<\;0D.\9<x0<V3解析:選D.由題意,得f(x)=2x,所以f7(x0)=2x0,f(x0)=x2,所以切線l的方程為y=2x0(x—x0)+x0=2x0x—x2.因?yàn)閘也與函數(shù)y=lnx(0VxV1)的圖象相切,設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,lnx1),易知yf=1,則切線l的方程為y—lnx1=X"(x—x1),即y=*x+lnx1—1,則有E,又0十1,所以円所以1+叫円,…+坷?令g(x)=x212x2—1、1—Inx12x2—1—ln(2x)—1,xW(1,+<?),則g(x)=2x——=>0,所以g(x)在(1,+(?)上單調(diào)遞增,xx又g(1)=—ln2V0,g(\:Q)=1—ln2\'2<0,gG;'3)=2—ln2<3>0,所以存在x0G^',2,l3),使得g(x0)=0,故邁<x0<jE,選D.二、填空題(本題共4小題,每小題5分,共20分.)13.設(shè)向量a,b滿足:lal=1,lbl=2,a丄(a—b),則a與b的夾角是.解析:因?yàn)閍丄(a—b),所以a?(a—b)=0,故lal2—lallblcos〈a,b〉=0,解得cos〈a,b〉=2,故a與b的夾角為60°.答案:60°14.秦九韶是我國南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家,普州(現(xiàn)四川省安岳縣)人,他在所著的《數(shù)書九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法,至今仍是比較先進(jìn)的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例,若輸入n,x的值分別為3,2,則輸出v的值為
解:該程序框圖的執(zhí)行過程如下:v=l,i=2;v=lx2+2=4,i=l;v=4x2+l=9,i=0;v=9x2+0=18,i=_1,此時(shí)輸出v=18.答案:l815.過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A,B兩點(diǎn),若IAFI=3,則IBFI=解析:解法一:由題意知,拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0),IAFI=3,由拋物線的定義知,點(diǎn)A到準(zhǔn)線x=_1的距離為3,所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2.如圖,不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限,將x=2代入y2=4x,得y2=8,所以點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為2\:2,即A(2,2“邁),所以直線AFx=2,x=2,嚴(yán)邁,所以點(diǎn)B的物線的定義知x+1=2+3cos3=3,解得cosAyA),B(xB,yB),則由拋o=3.又ibfi=xb+1=1_ibficosm=2_33IBFI,所以IBFIp.CDBDAD2+CD2—CDBDAD2+CD2—AC2x2+52—(5冷?)2xADxCD=2xxx52一.因?yàn)閆CDB+ZADC=n所以
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