2020高考壓軸題平面向量的等和線、等差線、等積線、等商線等

平面向量基本定理系數(shù)的等值線法適用題型在平而向量基本怎理的表達(dá)式中，若需研究兩系數(shù)的和差積商、線性表達(dá)武及平方和時，可以用等值線法。二、基本理論（一）平面向量共線定理已知蕩=久頁十“農(nóng),若久十“則兄,召?三點共線：反之亦然（二）等和線平而內(nèi)一組慕底鬲，而及任一向輦帀，OP=AOA+/uOBiA^eR）,若點P在直線肋上或在平行于#〃的直線上，則人（怎值）,反之也成立，我們把直線以及與直線平行的直線成為等和線。（1）當(dāng)?shù)群途€恰為直線.4月時，k=\；（2）當(dāng)?shù)群途€在0點和直線月B之間時，Ag（OJ）：（3）當(dāng)直線肋在。點和等和線之間時，"（1?+?。?）當(dāng)?shù)群途€過O點時.X-=0；（5）若兩等和線關(guān)于O點對稱?則足值&互為相反數(shù)：（6）定值*的變化與等和線到。點的距離成正比；（三）等差找平而內(nèi)一組基底鬲.05及任一向量麗.莎=2石+“亦U，“wR）?C為線段月R的中點，若點P在直線OC上或在平彳亍于OC的直線上，則4"凰定值）仮之也成L我們把直線OC以及與直線OC平行的直線稱為等差線。（I）當(dāng)?shù)刃呔€恰為直線OQ時，A=0：（2＞當(dāng)?shù)炔罹€過/點時，k=\；⑶當(dāng)?shù)炔罹€在宜線OC與點川之間時,仁（0」）;（4）當(dāng)?shù)炔罹€與陽延長線相交時.丘丘（1?+力）：（5＞若兩等差線關(guān)于直線OC對稱，則兩定值k互為相反數(shù):

（四）等積線平面內(nèi)一組慕底3105及任一向屋麗，麗=乂55+以麗若點尸在以直線OA.OB為漸近線的雙曲線上，則?為定值*,反之也成立.我們把以直線.OAQB為漸近線的雙曲線稱為等積線（1>當(dāng)雙曲線有一支在厶1OB內(nèi)時.斤>0：（2）當(dāng)雙曲線的兩支都不在"QB內(nèi)時.A-<0；（3>特別的.若oi=（a,feX^=k-*）?點尸在雙曲線X1V2I_-A_=l（a>0.h>0）時，k=_：crb-4（五）等商線平面內(nèi)一組基底鬲，亦及任一向量帀.OP平面內(nèi)一組基底鬲，亦及任一向量帀.OP=AOA十"亦（入“eR）.若點P在過O點（不與04重合）的直線上.則-=A（^值），反之也成立。我們把過點O的直線（除外》稱為等商線。（1）當(dāng)?shù)壬叹€過中點時，k=\x（2）當(dāng)?shù)壬叹€與線段（除端點）相交時.AG（l.+oo）；（3）當(dāng)?shù)壬叹€與線段3C（除端點）相交時,Jte（OJ）：（4）當(dāng)?shù)壬叹€即為OB時，*=0；（5）與等商線與線段/f延長線相交時.廠1）：（6）當(dāng)?shù)壬叹€與線段延長線相交時.辰（70）：（7）當(dāng)?shù)壬叹€與直線MB平行時，*=-1；（六）等平方和線平而內(nèi)一組基底鬲，亦及任一向量QP?亦二加萬+“亦以“wQ,且|^|=p|.若點P在以SOB角平分線対半長軸的橢圓上?則才+/為逕值I反之也成立，找們把以以厶OR角乎分線対半長軸的橢圓稱為等平方和線■4411■>特別的.若尿關(guān)亦+"）?點P在雙橢圓汩斧">0宀0）三、解題步驟1、確定等值線為1的線；2、平移｛旋轉(zhuǎn)或伸縮）該線.結(jié)合動點的可行域.分析何處取得最大值和雖小值：3、從氏度比或者點的位置兩個角度，計算最大值和最小值：U!、幾點補(bǔ)充U!、幾點補(bǔ)充1、平而向量共線沱理的表達(dá)式中的三個向量的起點務(wù)必一致+若不一致.本著少數(shù)服從多數(shù)的原則，優(yōu)先平務(wù)固定的向量；2、若需要研究的是兩系數(shù)的線性關(guān)系，則需要通過變換基底向量，使得需要研究的代數(shù)式為基底的系數(shù)和或差；五、典型例題例1給宦兩個長度為丨的平面向^OA^OB「豈啲蘭為120。，如圖所示.點C在以O(shè)為圜心的圓弧喬上變動.若龍r鬲T函.其中-V.,re/?#則-V+y的最大值是_?例2在正六邊形ABCDEF中，P是三角形CUE：內(nèi)（包括邊界）的動點，設(shè)AP-xAH+yAF■則x+y的取值范M答室：[3.4]

例3如圖.在平行四邊形ABCD中.M、N為CD邊的三等分點.S為AM與BN的交點，P為邊AB邊上一動點，Q為△SMN內(nèi)一點（含邊界），若PQ=xAM+則X+y的取值范圍是.答案:［討例4梯形ABCD中.ED丄AB.AD=DC=Z=3.P為三角形BCD內(nèi)一點（包答案三括邊界）.^AP=xAB^yAD＞則x+y的取值范國答案三ABAB例5設(shè)必分別是你7的邊叢必上的點.込和.込評.若DE=；^IB+九7?（心人為實數(shù)），則人+人的值為.（注：此題為13江蘇髙考題第8題，但點E為三等分的條件其實沒有必要，可舍）答案,丄2例6任正方形ABCD中，E為眈中點.P為以也為直徑的半圓弧上任意一點,設(shè)疋二.r75+j^P,則2x+y的最小值為.66例7在正方形ABCD中.E為.4B中點.尸為以力為圓心"為半徑的圓弧上的任意一點，設(shè)走k的任意一點，設(shè)走k旋十yAP?則x+$的最小值為例8已知網(wǎng)卜阿=1,OP=xOM+yON（x,y為實數(shù)）.若△PMN是以M為直角頂點的直角三角形，則x-y?Z值的穽仟為?答案：{1}例9己知橢圓E:盒+詁啲上頂點為兒直線尸_4交橢圓于”（竝C?的