第六章 應力狀態(tài)分析

工程力學第六章應力狀態(tài)分析強度理論1第六章應力狀態(tài)分析和強度理論§6-1應力狀態(tài)概述§6-2二向應力狀態(tài)分析§6-3應力圓及三向應力狀態(tài)簡介§6-4廣義虎克定律與應變能密度§6-5強度理論2§6-1應力狀態(tài)概述低碳鋼鑄鐵1、問題的提出

塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？?3脆性材料扭轉(zhuǎn)時為什么沿45o螺旋面斷開？低碳鋼鑄鐵?4τABP5

一般性結(jié)論1）受力構(gòu)件上應力隨點的位置變化而變化；2）即使在同一點,應力也是隨截面的方位變化而變化。過一點所有方位面上應力的集合，稱之為這一點的應力狀態(tài)。應力哪一個面上？

哪一點？哪一點？

哪個方位面？指明62、研究方法yxz單元體上沒有切應力的面稱為主平面；主平面上的正應力稱為主應力，分別用表示，并且只有主應力的單元體稱為主應力單元。各邊邊長,,dxdydz單元體73、應力狀態(tài)分類應力狀態(tài)：1）單向應力狀態(tài)(一個主應力不等于零)2）平面（二向）應力狀態(tài)（兩個主應力不等于零）3）空間（三向）應力狀態(tài)（三個主應力都不等于零）復雜應力狀態(tài)一般來說，過受力構(gòu)件的任意一點都可找到三個互相垂直的主平面，因而每點都有三個相互垂直的主應力

112211312231854321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面例6-1、畫出如圖所示梁S截面各點的應力狀態(tài)單元體。9S平面5432154321123210alF例6-2、畫出如圖所示梁危險截面危險點的應力狀態(tài)單元體

xzy4321zy4321FSMZTS1112z3xzy4321zy4321FSMZT12例6－3、分析薄壁圓筒受內(nèi)壓時的應力狀態(tài)。Dyz薄壁圓筒的橫截面面積(1)沿圓筒軸線作用于筒底的總壓力為FAs'13(2)假想用一直徑平面將圓筒截分為二，并取下半環(huán)為研究對象p"yOFNFNds's"14312231例6－4、分析A點的應力狀態(tài)。15§6-2二向應力狀態(tài)分析在二向應力狀態(tài)下，已知通過一點的某些截面上的應力（互相垂直的截面），確定通過這一點的其它斜截面上的應力，從而確定該點的主平面和主應力。1、斜截面上應力sxsysysxsatyxtxytaxyneff′e′a16正負號規(guī)定拉（+），壓（）對單元體內(nèi)任一點取矩順時針為正，逆時針為負。由x

軸正向逆時針轉(zhuǎn)到斜截面外法線時為正；反之為負。：：：正應力的角標表示作用面的法線方向第一個角標表示作用面的法線方向，第二個角標表示切應力的方向17對隔離體列平衡方程①利用三角函數(shù)公式：且有，化簡得：②18任意斜截面應力公式都是a的函數(shù)。可見，19確定正應力極值：設a＝a0

時，上式值為零，即：2、正應力極值和方位即α＝α0的截面，正應力取極值，切應力為零。20此截面的位置可由下式確定：主應力按代數(shù)值排序：s1

s2

s3

確定了兩個相互垂直的平面，分別為最大和最小正應力所在平面。正應力極值：214、兩個導出公式：3最大剪應力22例6-5、單元體的應力狀態(tài)如圖，求圖示斜截面上的應力和smax、smin、tmax、tmin及主平面和最大剪應力所在平面的方位。解：1）取坐標軸2）已知條件命名3）計算

s30°，t

30°xyn234）計算smax、smin及主平面方位角24100MPax80MPa40MPay12°255）計算tmax、tmin及其所在平面的方位角。26二向應力狀態(tài)分析的方法計算任意斜面上的應力、確定主應力及主平面等。1)畫出應力主單元體（若已知單元體的應力狀態(tài)則省去這一步）；2)取坐標軸，并寫出已知應力；坐標軸應與應力單元體的邊垂直，x軸與y軸可任意指定，可默認水平方向為x軸，垂直方向為y軸。3)利用相關公式，計算出指定斜面的應力，最大、最小正應力（主應力）及其對應的角度，最大、最小剪應力；4)確定主平面的方位；畫出主應力單元體，則剪應力共同指向的平面為最大主應力所對應的平面。27例6－6、求主應力、主平面并畫出主應力單元體；202030解：1）取坐標軸xy已知條件2)計算主應力及其對應的角度28主平面方位角主應力單元體202030xy19°20′29

例6-7、兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示，梁的橫截面尺寸示于圖中。試求出截面C上a,b兩點處的主應力。12015152709zab250KN1.6m2mABC30(1)計算支反力,并畫內(nèi)力圖MC=80kN.mFC左

=200kNaaaa解:(2)取a點的應力單元體FAFBFB=50kNFA

=200kN31(4)求a點主應力aaaaa32(4)橫截面C上b點的主應力b點的單元體如圖所示bbbb點的三個主應力為33例6－8、兩相交于一點處的斜截面上的應力如圖，求該點的主應力。解：取應力單元體sx？34一、應力圓將斜截面應力計算公式改寫為把上面兩式等號兩邊平方，然后相加便可消去，得§6-3應力圓及三向應力狀態(tài)簡介35

因為x，y，xy

皆為已知量，所以上式是一個以，為變量的圓周方程。圓心的坐標：圓的半徑：此圓習慣上稱為應力圓,或稱為莫爾圓應力圓上任一點的橫坐標和縱坐標對應于某一斜截面上的正應力和切應力。36(1)建s–t坐標系,選定比例尺o二、應力圓作法及對應關系1、步驟xyxxyxxyyy37Dxyo(2)以x面上的正應力值和切應力為點的橫坐標和縱坐標，描點DxAyByxD′(4)連接DD′兩點的直線與軸相交于C點(5)以C為圓心,CD為半徑作圓,該圓就是相應于該單元體的應力圓C(3)以y面上的正應力值和切應力為點的橫坐標和縱坐標，描點D′38(1)該圓的圓心C點到坐標原點的距離為

(2)該圓半徑為2、證明393、應力圓與單元體之間的對應關系1）應力圓上的半徑對應著單元體上某一截面；2）半徑旋轉(zhuǎn)方向與截面旋轉(zhuǎn)方向一致，半徑轉(zhuǎn)過的角度是截面轉(zhuǎn)過角度的兩倍。與半徑對應的應力圓上點的橫坐標、縱坐標分別為截面的正應力和切應力。40caA1）應力圓上的半徑對應著單元體上某一截面與半徑對應的應力圓上點的橫坐標、縱坐標分別為截面的正應力和切應力。41CyxaAa'A'q2q2）半徑旋轉(zhuǎn)方向與截面旋轉(zhuǎn)方向一致，半徑轉(zhuǎn)過的角度是截面轉(zhuǎn)過角度的兩倍42三、應力圓的應用1、求單元體上任一截面上的應力

從應力圓的半徑CD按方位角的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動2得到半徑CE.圓周上E點的坐標就依次為斜截面上的正應力

和切應力。DxyoxAyByxD′C20FE2xyaxxyxxyefn432、求主應力數(shù)值和主平面位置(1)主應力數(shù)值A1和B1兩點為與主平面對應的點，其橫坐標為主應力1

，2

12DxyoxAyByxD′C20FE2B1A14420DxyoxAyByxD′C12A1B1（2）主平面方位由CD順時針轉(zhuǎn)20到CA1所以單元體上從x軸順時針轉(zhuǎn)0

（負值）即到1對應的主平面的外法線0

確定后，1

對應的主平面方位即確定453、求最大切應力G1和G2

兩點的縱坐標分別代表最大和最小切應力

20DxyoxAyByxD′C12A1B1G1G2最大、最小切應力等于應力圓的半徑46o例6-9、應力單元體如圖所示,x

=-1MPa,y

=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx

=0.2MPa,(1)繪出相應的應力圓(2)確定此單元體在=30°和=-40°兩斜面上的應力。xyxy解:(1)選好比例尺畫應力圓量取OA=x=-1,AD

=xy=-0.2,定出

D點;ACBOB

=y=-0.4和，BD′=yx=0.2,定出

D′點.(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD′

為直徑繪出的圓即為應力圓。0.547將半徑CD

逆時針轉(zhuǎn)動2=60°到半徑CE,E點的坐標就代表=30°斜截面上的應力。(2)確定=30°斜截面上的應力E60°(3)確定=-40°斜截面上的應力將半徑CD順時針轉(zhuǎn)2=80°到半徑CF,F點的坐標就代表=-40°斜截面上的應力。F80°AD′CBoD

30°40°

40°30°30°=-0.36MPa30°=-0.68MPa40°=-0.26MPa-40°=-0.95MPa48只需知道過一點任意兩個面上的應力，就可畫出應力圓進行應力狀態(tài)分析用圖解法分析一點應力狀態(tài)的方法：1、畫應力圓1）分別以兩個面上的正應力和切應力為橫坐標和縱坐標，在s-t坐標系中描出兩點；2）若兩平面相互垂直，則對應兩點的連線即為直徑，連線與橫坐標的交點為圓心；3）若兩平面不相互垂直，對應兩點的連線不垂直于橫坐標，則該連線的垂直平分線與橫坐標的交點為圓心；4）若兩平面不相互垂直，則根據(jù)兩平面夾角的具體情況確定圓心的位置；492、通過應力圓進行應力狀態(tài)分析1）求斜截面上的應力值根據(jù)斜截面與應力已知平面的夾角a，從代表已知平面的半徑旋轉(zhuǎn)相應的2a角，得到對應于斜截面的半徑，與半徑相應的應力圓上點的坐標就是斜截面上的應力值。2）求主應力及主平面方位角應力圓與橫坐標的交點對應于主平面，這兩個點的橫坐標就是主應力，在橫坐標上從右到左依次為s1，s2，s3；另外，根據(jù)轉(zhuǎn)向?qū)皟杀督顷P系，即可確定主平面方位角。3）求最大、最小切應力最大、最小切應力的絕對值等于應力圓的半徑50例6－10、已知受力構(gòu)件的A點處于平面應力狀態(tài)，過A點兩斜截面上的應力圓如圖，試用應力圓求該點的主應力、主平面和最大剪應力。解：100作應力圓∴從n1順時針轉(zhuǎn)動180即為最大主應力的外法線方向。主平面位置如圖。o從應力圓上量得：D1D2CAB51解：可得應力圓上兩點：CD1與CD2的夾角為1200

，由此可畫出應力圓。由應力圓可計算出：用圖解法解例6－7、兩相交于一點處的斜截面上的應力如圖，試用應力圓求該點的主應力，并畫出主應力單元體。sotD2D1120o30oCAB52yxz53四、三向應力狀態(tài)簡介

對三向應力狀態(tài)的要求三個主應力均已知；三個主應力中至少有一個主應力及其主方向是已知的；定義三向應力狀態(tài)——三個主應力均不為零的應力狀態(tài)54szsxsytxytyx至少有一個主應力及其主方向已知sytxytyxsxsz可先化為平面應力狀態(tài)求出另兩對面上的主應力和主方位，再按三個主應力均已知的情況考慮。sata55tsIIIIIIs3s2s1I平行于s1的方向面－其上之應力與s1無關，于是由s2、s3可作出應力圓I平行于s2的方向面－其上之應力與s2無關，于是由s1、s3可作出應力圓II平行于s3的方向面－其上之應力與s3無關，于是由s1、s2可作出應力圓IIIIIs2s1

s3s3IIIs2s1三個主應力均已知的情況56zpypxpIIIIIIs1s2s3stt't'''t''tmax=s1s2s35720030050otmax例6－11、作圖示單元體的應力圓并在圖中標出最大剪應力。58(1)(2)排序確定(3)平面應力狀態(tài)特點：其中一個主應力等于零的三向應力狀態(tài)59例6-12、單元體的應力如圖所示,作應力圓,并求出主應力和最大切應力值。解:40MPaxyz20MPa20MPa20MPa該單元體有一個已知主應力204020xy20sata60由x，xy

定出D

點由y，yx

定出D′

點以DD′為直徑作應力圓D′ODC13

3=-26MPa該單元體的三個主應力

1=46MPa

2=20MPa根據(jù)上述主應力，作出三個應力圓A1A2261

3=-26MPa該單元體的三個主應力

1=46MPa

2=20MPa解法2：解析法62§6-4廣義虎克定律與應變能密度1、簡單應力狀態(tài)下虎克定律正應力僅引起線應變(正應變)剪應力僅引起自身平面內(nèi)的剪應變應用條件：p，小變形和各向同性材料。xzyAsxsxxzyAtxy632、復雜應力狀態(tài)下的廣義虎克定律+64++65某點在某方向上的線應變與該點三個互相垂直方向的正應力有關。三個互相垂直的平面，各平面內(nèi)的剪應變僅與自身平面內(nèi)的剪應力有關。66若單元體是主單元體(即各面上的應力為主應力），則各方向的應變即為主應變，其大小為：各平面的剪應變?yōu)榱?7

對于平面應力狀態(tài)(假設z

=0，xz=0，yz=0)xyxyyx68例6－13、測得A點處的x=400×10-6，y=-120×10-6。已知：E=200GPa，=0.3，求A點在x和y方向上的正應力。解：取應力單元體平面應力狀態(tài)解得：PCBAxxyyA能否求出任一橫截面任一點上的正應力及切應力、變形、強度校核。解：取應力單元體平面應力狀態(tài)解得：69例6-14、支梁由18號工字鋼制成.其上作用有力F=15kN，已知E=200GPa,=0.3。求：A點沿00，450，900

方向的線應變h/4AAA0.50.50.25FA0°45°90°70解：

zAh/4AAA71AA=50.8A=68.872例6-15、邊長a=0.1m的銅立方塊，無間隙地放入體積較大，變形可略去不計的鋼凹槽中,如圖所示.已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比m=0.34，當受到F=300kN的均布壓力作用時，求該銅塊的主應力及最大切應力.aaaFzyxzxy解：銅塊橫截面上的壓應力變形條件為73解得銅塊的主應力為最大切應力74討論xyz“2”75應變能密度微元應變能dydxdz76由功能原理，得：所以變形比能：77形狀改變比能體積改變比能78§6-6強度理論目的：建立危險點處于復雜應力狀態(tài)下的失效判據(jù)及強度條件拉壓變形時材料的強度失效判據(jù)及強度條件失效判據(jù)強度條件失效形式塑性材料脆性材料斷裂屈服關鍵是找出極限應力（屈服極限或強度極限）如何找出極限應力？通過材料的拉壓實驗79如何建立復雜應力狀態(tài)下的失效判據(jù)及強度條件？1、確定失效形式塑性材料屈服脆性材料斷裂2、假定失效的主要原因強度理論:關于材料強度失效主要原因的假說材料無論處于復雜應力狀態(tài)還是處于簡單應力狀態(tài)，引起同一形式失效的因素是相同的。通過材料的相應應力狀態(tài)下的實驗失效因素的極限值與應力狀態(tài)無關。通過材料的軸向拉伸實驗找出失效因素的極限值3、確定引起失效因素的極限值80斷裂準則(脆性材料)最大拉應力理論---第一強度理論無論材料處于什么應力狀態(tài),只要最大拉應力達到只與材料性質(zhì)有關的某一極限值，材料就發(fā)生斷裂。失效判據(jù)強度條件s1s3s281最大伸長線應變理論---第二強度理論無論材料處于什么應力狀態(tài),只要最大伸長線應變達到只與材料性質(zhì)有關的某一極限值，材料就發(fā)生斷裂。失效判據(jù)強度條件s1s3s282屈服準則(塑性材料)最大切應力準則----第三強度理論無論材料處于什么應力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于最大切應力達到了只與材料性能有關的極限值。強度條件s1s3s2失效判據(jù)83形狀改變比能準則----第四強度理論無論材料處于什么應力狀態(tài),只要發(fā)生屈服,都是由于微元的形狀改變比能達到某一極限值。s1s3s284失效判據(jù)強度條件85把各種強度理論的強度條件寫成統(tǒng)一形式r稱為復雜應力狀態(tài)的相當應力。861、適用范圍(2)塑性材料選用第三或第四強度理論；(3)在三向拉應力相近時，無論是塑性還是脆性都將以斷裂的形式失效，故選用第一或第二強度理論；各種強度理論的適