常用統(tǒng)計(jì)技術(shù)

常用統(tǒng)計(jì)技術(shù)第一頁，共五十二頁，2022年，8月28日一、方差分析幾個(gè)概念因子：在試驗(yàn)中改變狀態(tài)的因素稱為因子，常用大寫英文字母A、B、C等表示。水平：因子在試驗(yàn)中所處的狀態(tài)稱為因子的水平。用代表因子的字母加下標(biāo)表示，記為A1，A2，…。第二頁，共五十二頁，2022年，8月28日方差分析類型：?jiǎn)我蜃臃讲罘治龆嘁蜃臃讲罘治鲇薪换プ饔玫亩嘁蜃臃讲罘治龅谌?，共五十二頁?022年，8月28日單因子方差分析假設(shè)檢驗(yàn)： H0：μ1=μ2=…=μr H1：μ1、μ2、…、μr不全相等

（至少有兩個(gè)不相等）第四頁，共五十二頁，2022年，8月28日方差分析作的三個(gè)基本假定在水平Ai下，指標(biāo)服從正態(tài)分布N(μ,α2)；在不同水平下，各方差相等；各數(shù)據(jù)yij相互獨(dú)立。第五頁，共五十二頁，2022年，8月28日分析步驟列出單因子試驗(yàn)數(shù)據(jù)表，yij表示在第i個(gè)水平，第j次試驗(yàn)指標(biāo)值在表中計(jì)算因子A的每一水平下數(shù)據(jù)的和T1、T2、…TR及總和T計(jì)算各類數(shù)據(jù)的平方和第六頁，共五十二頁，2022年，8月28日依次計(jì)算ST、SA、Se第七頁，共五十二頁，2022年，8月28日依次計(jì)算fT、fA、fe fT=n-1=rm-1 fA=r-a fe=n-r=fT-fAMSA=SA/fA

MSe=Se/fe填寫方差分析表第八頁，共五十二頁，2022年，8月28日F檢驗(yàn)：F比

=MSA/MSe

當(dāng)F比

>F1-α(fA,fe)，認(rèn)為因子A是顯著的

當(dāng)F比

<F1-α(fA,fe)，認(rèn)為因子A是不顯著的第九頁，共五十二頁，2022年，8月28日對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析結(jié)論： a、F比

=31.21>F0.95(2,9)=4.26

因子A是顯著的，表明不同工廠的零件

強(qiáng)度有顯著差異 b、當(dāng)因子A是顯著時(shí)，可找出最佳水平 c、可估計(jì)誤差方差及標(biāo)準(zhǔn)差第十頁，共五十二頁，2022年，8月28日例，與相似如果沒有給出原始數(shù)據(jù)yij，僅給出各水平下的試驗(yàn)次數(shù)、數(shù)據(jù)的均值與標(biāo)準(zhǔn)差，那么可將前面的公式稍作變化后作方差分析第十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日對(duì)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析：第十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日第十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日重復(fù)數(shù)不等情況下的單因子方差分析對(duì)的數(shù)據(jù)進(jìn)行分析第十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日二回歸分析散布圖：為研究?jī)蓚€(gè)變量間存在什么關(guān)系，把每一對(duì)（xi，yi）（i=1、2、…、n）看成直角坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)，在圖中標(biāo)出n個(gè)點(diǎn)，稱此圖為散布圖例，表，圖第十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日相關(guān)系數(shù)：用一個(gè)統(tǒng)計(jì)量來表示兩個(gè)變量間關(guān)系的密切程度，這個(gè)量成為相關(guān)系數(shù)r不同r值的示意圖：圖第十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日性質(zhì)：|r|≤1r=±1時(shí)，表示n個(gè)點(diǎn)在一條直線上，這時(shí)兩個(gè)變量間完全線性相關(guān)。r>0，兩個(gè)變量間具有線性正相關(guān)r<0，兩個(gè)變量間具有線性負(fù)相關(guān)r=0表示兩個(gè)變量間沒有線性相關(guān)關(guān)系，但并不排斥兩者間有其它函數(shù)關(guān)系。第十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日相關(guān)系數(shù)的檢驗(yàn)根據(jù)r的絕對(duì)值的大小可判斷兩個(gè)變量間線性相關(guān)的程度對(duì)于給定的α，當(dāng)|r|>r1-α/2(n-2)，可認(rèn)為兩個(gè)變量間存在一定的線性相關(guān)關(guān)系r1-α/2(n-2)的臨界值可從表中查到第十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日例計(jì)算相關(guān)系數(shù)r，并判斷其線性相關(guān)關(guān)系第十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日一元線性回歸方程當(dāng)兩個(gè)變量間存在線性相關(guān)關(guān)系時(shí)，常希望建立兩者間的定量關(guān)系表達(dá)式，這便是兩個(gè)變量間的一元線性回歸方程第二十頁，共五十二頁，2022年，8月28日一元線性回歸方程的求法例求回歸方程由回歸方程畫出的回歸直線一定通過（0，a）和（）兩點(diǎn)。第二十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日回歸方程的顯著性檢驗(yàn)檢驗(yàn)兩個(gè)變量間是否存在線性相關(guān)關(guān)系的問題便是對(duì)回歸方程的顯著性檢驗(yàn)問題第二十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日相關(guān)系數(shù)檢驗(yàn)法：當(dāng)|r|>r1-α/2(n-2)時(shí)，便認(rèn)為兩個(gè)變量間存在線性相關(guān)關(guān)系，所求得的回歸方程是有意義的方差分析檢驗(yàn)法：是單因子方差分析

第二十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日例的單因子方差分析利用回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)：給定了自變量x后，對(duì)因變量y做出推斷第二十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日例中指定x0=0.16，預(yù)測(cè)y0的區(qū)間可化為一元線性回歸的曲線回歸確定曲線回歸方程形式，方法有兩種：一是根據(jù)專業(yè)知識(shí)二是根據(jù)數(shù)據(jù)所畫的散布圖，將它與一些標(biāo)準(zhǔn)的函數(shù)圖像進(jìn)行比較后加以選擇第二十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日例散布圖常見的函數(shù)圖像圖第二十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日曲線回歸方程中參數(shù)的估計(jì)，我們采用線性化的方法，即通過變化將它化為一元線性回歸方程的形式，用線性回歸方法來獲得參數(shù)的估計(jì)例第二十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日曲線回歸方程的比較，比較準(zhǔn)則兩個(gè)：一是要求相關(guān)系數(shù)R大二是要求剩余標(biāo)準(zhǔn)差S小第二十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日三試驗(yàn)設(shè)計(jì)試驗(yàn)設(shè)計(jì)的基本概念與正交性試驗(yàn)設(shè)計(jì)全面搭配試驗(yàn)三個(gè)因子，每個(gè)因子三個(gè)水平第二十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日優(yōu)點(diǎn)：信息量大，可選最佳條件缺點(diǎn)：試驗(yàn)次數(shù)太多，估計(jì)不出試驗(yàn)誤差第三十頁，共五十二頁，2022年，8月28日單因子條件試驗(yàn)法（因子輪換法）

取A2B3C2為最佳條件

優(yōu)點(diǎn)：試驗(yàn)次數(shù)少

缺點(diǎn)：各因子水平間搭配不全面，信息量不夠；試驗(yàn)誤差未知，當(dāng)試驗(yàn)誤差大時(shí)，有時(shí)會(huì)選錯(cuò)最佳條件第三十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日正交試驗(yàn)法

用正交表安排試驗(yàn)，并利用正交表的特點(diǎn)進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，找出最好或滿意的試驗(yàn)條件。用單因子條件試驗(yàn)法的相同試驗(yàn)次數(shù)，各因子水平間全面搭配，信息量豐富，能估計(jì)出試驗(yàn)誤差第三十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日正交表 a、常用正交表Ln（qp）“L”表示正交表“n”是表的行數(shù)，在試驗(yàn)中表示試驗(yàn)的條件數(shù)“p”是列數(shù)，在試驗(yàn)中表示可以安排因子的最多個(gè)數(shù)“q”是表的主體只有三個(gè)不同數(shù)字，在試驗(yàn)中表示每一因子可以取的水平數(shù)第三十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日常用的正交表有兩大類 (1)一類正交表的行數(shù)n，列數(shù)p，水平數(shù)q間有如下關(guān)系：n=qk,k=2,3,4,…,p=(n-1)/(q-1)如：L4(23)，L8(27)，L16(215)，L32(231)等，可以考察因子間的交互作用。第三十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日 (2)另一類正交表的行數(shù)，列數(shù)，水平數(shù)之間不滿足上述的兩個(gè)關(guān)系如：L12(211)，L18(37)，L20(219)，L36(313)等這類正交表不能用來考察因子間的交互作用第三十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日正交表具有正交性，這是指它有如下兩個(gè)特點(diǎn)：(1)每列中不同的數(shù)字重復(fù)次數(shù)相同。在表L9(34)中，每列有3個(gè)不同數(shù)字：1,2,3，每一個(gè)出現(xiàn)3次。第三十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日 (2)將任意兩列的同行數(shù)字看成一個(gè)數(shù)對(duì)，那么一切可能數(shù)對(duì)重復(fù)次數(shù)相同。在表L9(34)中，任意兩列有9種可能的數(shù)對(duì)：(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3), (3,1),(3,2),(3,3)每一對(duì)出現(xiàn)一次。第三十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日無交互作用的正交設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)分析

試驗(yàn)設(shè)計(jì)，以為例

(1)明確試驗(yàn)?zāi)康?/p>

(2)明確試驗(yàn)指標(biāo) (3)確定因子與水平 (4)選用合適的正交表,進(jìn)行表頭設(shè)計(jì),列出試驗(yàn)計(jì)劃第三十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日進(jìn)行試驗(yàn)和記錄試驗(yàn)結(jié)果試驗(yàn)的次序最好要隨機(jī)化試驗(yàn)結(jié)果記錄在對(duì)應(yīng)的試驗(yàn)條件后面第三十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日數(shù)據(jù)分析數(shù)據(jù)的直觀分析尋找最好的試驗(yàn)條件

直觀分析計(jì)算表，見表各因子對(duì)指標(biāo)影響程度大小的分析用極差來判斷影響大小 B因子影響最大，其次是A因子，C因子影響最小第四十頁，共五十二頁，2022年，8月28日各因子不同水平對(duì)指標(biāo)的影響圖CBA2202051901751609001100130010

1112708090RARBRC第四十一頁，共五十二頁，2022年，8月28日數(shù)據(jù)的方差分析（多因子方差分析）數(shù)據(jù)的方差分析計(jì)算見表

SA=S1

SB=S2

SC=S3

Se=S4

ST=S1+S2+S3+S4第四十二頁，共五十二頁，2022年，8月28日對(duì)滿足式要求的一類正交表則有：ST=S1+S2+…+Sp最后的方差分析表見表，由于 FA>F0.90(2,2)，F(xiàn)B>F0.95(2,2)

因子A影響顯著，因子B影響高度顯著，因子C影響不顯著第四十三頁，共五十二頁，2022年，8月28日 F比<F0.90

影響不顯著 F0.95>F比>F0.90

影響顯著 F0.99>F比>F0.95

影響高度顯著 F比>F0.99

顯著性特大第四十四頁，共五十二頁，2022年，8月28日最佳條件的選擇對(duì)顯著因子應(yīng)該取最好的水平；對(duì)不顯著因子的水平可以任意選取，在實(shí)際中通常從降低成本、操作方便等角度加以選擇。上面的例子中對(duì)因子A與B應(yīng)該選擇A2B2，因子C可以任選，譬如為節(jié)約材料可選擇C1。第四十五頁，共五十二頁，2022年，8月28日因子的貢獻(xiàn)率當(dāng)試驗(yàn)指標(biāo)不服從正態(tài)分布時(shí),進(jìn)行方差分析的依據(jù)就不夠充足,此時(shí)可通過比較各因子的“貢獻(xiàn)率”來衡量因子作用的大小。由于S因中除因子的效應(yīng)外，還包含誤差，從而稱S因-f因MSe為因子的純離差平方和，將因子的純離差平方和與ST的比稱為因子的貢獻(xiàn)率。第四十六頁，共五十二頁，2022年，8月28日驗(yàn)證試驗(yàn)驗(yàn)證的最佳條件不一定在試驗(yàn)中出現(xiàn)，為此通常需要進(jìn)行驗(yàn)證試驗(yàn)。即使選擇的最佳條件在試驗(yàn)中出現(xiàn)，也需要通過驗(yàn)證看其是否穩(wěn)定第四十七頁，共五十二頁，2022年，8月28日有交互作用的正交設(shè)計(jì)與數(shù)據(jù)分析試驗(yàn)設(shè)計(jì)明確試驗(yàn)?zāi)康?/p>

明確試驗(yàn)指標(biāo)確定試驗(yàn)中所考慮的因子與水平，并確定可能存在并要考察的交互作用選用合適的正交表，進(jìn)行表頭設(shè)計(jì)進(jìn)行試驗(yàn)，并記錄試驗(yàn)結(jié)果第四十八頁，共五十二頁，2022年，8月28日數(shù)據(jù)分析多因子有交互作用的方差分析計(jì)算表見，方差分析表見第四十九頁，共五十二頁，2022年，8月28日最佳條件的選擇對(duì)顯著因子可通過比較兩個(gè)水平下的數(shù)據(jù)均值得到最佳水平，因子C取C2為好對(duì)顯著的交互作用，先要計(jì)算兩個(gè)因子不同搭配下的數(shù)據(jù)均值，再通過比較得出哪種水平組合較好不顯著因子，其水平可任取第五十頁，共五十