第四章控制系統(tǒng)的頻率特性

第四章控制系統(tǒng)的頻率特性Frequency-responseanalysis4.1頻率特性的基本概念4.２頻率特性表示法4.３控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻響4.４系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)指標(biāo)和頻率響應(yīng)指標(biāo)之間的關(guān)系例1：如圖所示的機(jī)械系統(tǒng)，K為彈簧剛度系數(shù)，C是阻尼系數(shù)，當(dāng)輸入力為正弦信號(hào)f(t)=Fsinwt時(shí)，求其位移x(t)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。解：列寫力平衡方程

其傳遞函數(shù)為：

拉氏變換：

輸出位移上式中第一項(xiàng)為穩(wěn)態(tài)分量，第二項(xiàng)為瞬態(tài)分量，當(dāng)時(shí)間t趨向于無窮大時(shí)為零。系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出為：f(t)KcX(t)從上式的推導(dǎo)可看出，頻率響應(yīng)是時(shí)間響應(yīng)的一種特例。4．1頻率特性1．頻率響應(yīng)：指控制系統(tǒng)對(duì)正弦輸入信號(hào)的穩(wěn)態(tài)正弦輸出響應(yīng)。對(duì)于線性定常系統(tǒng)，任何輸入信號(hào)的輸出響應(yīng)都是由瞬態(tài)響應(yīng)和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)兩部分組成，同樣正弦輸入也不例外。但在正弦輸入信號(hào)作用下其輸出的瞬態(tài)部分不是正弦信號(hào)，而穩(wěn)態(tài)部分是與原輸入的正弦信號(hào)頻率相同的正弦波形，其幅值和相位都與輸入有所不同。一、頻率響應(yīng)的基本概念

二頻率特性及其求解方法1．頻率特性：指線性系統(tǒng)或環(huán)節(jié)在正弦函數(shù)作用下，穩(wěn)態(tài)輸出與輸入幅值比和相位差隨輸入頻率的變化關(guān)系。用G(jw)表示

G(jw)稱為系統(tǒng)的頻率特性，其模

稱為系統(tǒng)的幅頻特性，相位差

稱為相頻特性.（3）通過實(shí)驗(yàn)測(cè)得

令傳遞函數(shù)中的s=jw，則得到頻率表達(dá)式G(jw)，將其分解為實(shí)部和虛部，即：2．頻率特性求解方法（1）根據(jù)已知系統(tǒng)的微分方程，輸入用正弦函數(shù)代入，求其穩(wěn)態(tài)解，取輸出和輸入的復(fù)數(shù)比（2）根據(jù)傳遞函數(shù)來求取例2.某閉環(huán)系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，當(dāng)輸入為時(shí)，試求系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出。

解：正弦輸入信號(hào)系統(tǒng)輸出與輸入頻率相同，其輸出幅值與相位取決于系統(tǒng)幅頻特性與相頻特性

系統(tǒng)輸出幅值為：

輸出相位：

系統(tǒng)輸出響應(yīng)為：4．2頻率特性的表示法頻率法是一種直觀的圖解法，表示形式為：

奈魁斯特圖（Nyquist）或稱幅相頻率特性，它通過極坐標(biāo)來表示頻率特性G(jw)中的幅值和相位間的關(guān)系。２．伯德圖(Bode)，又稱對(duì)數(shù)頻率特性圖，它由半對(duì)數(shù)坐標(biāo)系上表示的幅頻特性和相位特性圖組成。３．尼柯爾斯圖（Nichols），又稱對(duì)數(shù)幅相頻率特性圖，它在對(duì)數(shù)坐標(biāo)系中表示G(jw)的幅值和相角間的關(guān)系。一.幅相頻率特性圖（Nyquist）

典型環(huán)節(jié)的幅相頻率特性曲線1．比例環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)

頻率特性

UKjV2．積分環(huán)節(jié)

傳遞函數(shù)

頻率特性

當(dāng)w=0A(w)=∞當(dāng)w→∞A(w)=0

UwjV傳遞函數(shù)

頻率特性

3．微分環(huán)節(jié)

當(dāng)w=0A(w)=0當(dāng)w→∞A(w)=∞

UwjV傳遞函數(shù)

頻率特性

4．慣性環(huán)節(jié)

當(dāng)w=0A(w)=1

w=1/T

w→∞A(w)=0

UwjV(0.5,j0)傳遞函數(shù)

頻率特性

5.一階微分

當(dāng)w=0A(w)=1

w→∞A(w)=∞UwjV(1,j0)G(jw)傳遞函數(shù)

頻率特性

6.振蕩環(huán)節(jié)

UwjVξ=0.8ξ=0.5ξ=0.3(1,j0)當(dāng)w=0A(w)=1

w→∞A(w)=0w=1/T

當(dāng)小到一定程度時(shí)其振幅會(huì)有峰值出現(xiàn)，稱這個(gè)峰值為諧振峰值Mr，所對(duì)應(yīng)的頻率為諧振頻率wr。

諧振峰值出現(xiàn)的條件（）傳遞函數(shù)

頻率特性

7.二階微分

當(dāng)w=0A(w)=1

w=1/T

w→∞A(w)=∞

UwjVξ1ξ3ξ2(1,j0)ξ1<ξ2<ξ3

傳遞函數(shù)

頻率特性

8.延時(shí)環(huán)節(jié)

UwjV(1,j0)例3.已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)為，試畫其奈氏曲線圖

解：將傳遞函數(shù)化為頻率特性

當(dāng)w=0A(w)=1

w→∞

UwjV(1,j0)τ<Tτ>T要畫準(zhǔn)確的奈氏曲線需計(jì)算不同頻率下的幅值和相位，或?qū)嵅亢吞摬浚玫较鄳?yīng)的各點(diǎn)，將各點(diǎn)順次連接得到奈氏曲線。若系統(tǒng)傳遞函數(shù)是由多個(gè)環(huán)節(jié)組成，幅頻特性曲線其幅值是各環(huán)節(jié)幅值的乘積，相角是各環(huán)節(jié)相位相加。奈魁斯特曲線不能表示系統(tǒng)各環(huán)節(jié)的單獨(dú)作用，而且計(jì)算工作量較大，因此對(duì)頻率特性中的幅頻特性取對(duì)數(shù)，各環(huán)節(jié)的幅值相乘變?yōu)橄嗉?，曲線可用直線代替，這樣繪出的圖形簡(jiǎn)單、方便、直觀地表示各環(huán)節(jié)的作用。二．對(duì)數(shù)頻率特性圖（Bode）（一）概念：對(duì)數(shù)幅頻特性圖：將幅頻特性A(w)取常用對(duì)數(shù)后再乘以20記為：L(w)=20lgA(w),單位(dB)

對(duì)數(shù)幅頻特性坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)采用對(duì)數(shù)分度，但標(biāo)注時(shí)只標(biāo)w，縱軸采用線性分度。橫軸上頻率滿足的關(guān)系：若在橫軸上任取兩點(diǎn)，使兩點(diǎn)間的頻率滿足w2/w1=10，則w1與w2間距離為1=lg(w2/w1)=lg10

一個(gè)10倍頻程：不論坐標(biāo)軸的起點(diǎn)是多少，只要角頻率w變化10倍，在橫軸上線段長(zhǎng)度均為1個(gè)單位（dec）（二）典型環(huán)節(jié)的Bode圖

1．比例環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)的特點(diǎn)：不改變曲線的形狀，只改變L(w)的大小。wL(w)/dBw20lgKφ(w)°2.積分環(huán)節(jié)

wL(w)/dBw20φ(w)°0.11-90°-20dB/dec3．微分環(huán)節(jié)

wL(w)/dBw-20φ(w)°0.1190°20dB/dec4．慣性環(huán)節(jié)

當(dāng)wT<<1(低頻)L(w)=0

wT>>1（高頻）L(w)≈-20lgTww=1/T

當(dāng)w2/w1=10時(shí)（頻率變化10倍，幅值變化多少）

wT=1/T時(shí)曲線誤差最大為-3dB，稱wT為轉(zhuǎn)折頻率。慣性環(huán)節(jié)具有低通濾波的作用。

wL(w)/dBwφ(w)°01/T-90°-20dB/dec-45°1/T5．一階微分

wL(w)/dBwφ(w)°01/T90°20dB/dec45°1/T6．振蕩環(huán)節(jié)wL(w)/dBwφ(w)°01/T-180°-40dB/dec-90°1/T當(dāng)wT<<1(低頻)L(w)=0

wT>>1（高頻）L(w)≈-20lg(Tw)2=-40lgTwW=1/T=Wn時(shí),L(w)≈0當(dāng)w2/w1=10時(shí)（頻率變化10倍，幅值變化多少）

7.二階微分

wL(w)/dBwφ(w)°01/T180°40dB/dec90°1/T8.延時(shí)環(huán)節(jié)wL(w)/dBwφ(w)°（三）繪制伯德圖的步驟（1）將傳遞函數(shù)G(s)化為由典型環(huán)節(jié)組成的形式；

（2）令s=jw，求得頻率特性G(jw)；（3）找出各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率，并作各環(huán)節(jié)的漸近線；（4）將各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅值相加得到系統(tǒng)幅頻特性曲線；（5）作各環(huán)節(jié)相位曲線，然后相加得到系統(tǒng)相頻曲線；（6）如要得到精確曲線，對(duì)各漸近線進(jìn)行修正。例4作傳遞函數(shù)為的Bode圖。

解：將傳遞函數(shù)化為典型環(huán)節(jié)wL(w)/dBwφ(w)°0-90°-20dB/dec-45°0.41210401000.4-20102020dB/dec[-20][-20][0]45°φ2φ3φ1φL1(w)=20lg3=9.5dBj0.5w+1w1=1/T=2

各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率1/(j2.5w+1)w2=1/T=0.4

1/(j0.025w+1)w3=1/T=40

例5作傳遞函數(shù)為

的Bode圖

解：化為標(biāo)準(zhǔn)傳遞函數(shù)wwφ(w)°0.1-90°-20dB/dec-225°132104017.5[-60][-20][-80]φ-270°-180°L(w)/dB[-60]60L1(w)=20lg7.5=17.5(1/3jw+1)w1=1/T=3

(1/jw)過（1，j0）點(diǎn)

1/(0.5jw+1)w2=1/T=2

1/(0.5(jw)2+0.5jw+1)

比例環(huán)節(jié)的幅值和各轉(zhuǎn)折頻率Bode圖的特點(diǎn)：最低頻段的斜率取決于積分環(huán)節(jié)的數(shù)目v，斜率為-20dB/dec。最低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性可近似為：

L(w)=20lgK-20vlgw

當(dāng)w=1rad/s時(shí)，L(w)=20lgK，即最低頻段的對(duì)數(shù)幅頻特性或其延長(zhǎng)線在w=1rad/s時(shí)的數(shù)值等于20lgK。如果各環(huán)節(jié)的對(duì)數(shù)幅頻特性用漸近線表示，則對(duì)數(shù)幅頻特性為一系列折線，折線的轉(zhuǎn)折點(diǎn)為各環(huán)節(jié)的轉(zhuǎn)折頻率。對(duì)數(shù)幅頻特性的漸近線每經(jīng)過一個(gè)轉(zhuǎn)折點(diǎn)，其斜率發(fā)生變化，斜率變化量由當(dāng)前轉(zhuǎn)折頻率對(duì)應(yīng)的環(huán)節(jié)決定。慣性環(huán)節(jié)，斜率下降-20dB/dec；振蕩環(huán)節(jié)，下降-40dB/dec；一階微分環(huán)節(jié)，上升20dB/dec；二階微分環(huán)節(jié)，上升40dB/dec

。4.3控制系統(tǒng)的閉環(huán)頻率響應(yīng)一．由開環(huán)頻率特性估計(jì)閉環(huán)頻率特性開環(huán)頻率特性是指開環(huán)傳遞函數(shù)用s=jw代入所得的頻率特性。設(shè)開環(huán)頻率特性為G(jw)H(jw)，而閉環(huán)頻率特性為設(shè)系統(tǒng)為單位反饋控制系統(tǒng)，則有H(jw)=1，系統(tǒng)頻率特性為

G(s)H(s)—+X0(s)Xi(s)在低頻段時(shí)，則有：

在高頻段時(shí)，則有：

在單位反饋系統(tǒng)中（最小相位），如果輸入是低頻信號(hào)，則輸出與輸入近似認(rèn)為相同；而在高頻時(shí)，閉環(huán)頻率特性與開環(huán)頻率特性相似。二．頻率特性的性能指標(biāo)1．帶寬頻率wb和帶寬wBw

wL(w)/dB0w

rw

bwBW-3dB20lgMr

帶寬頻率（wb）：指閉環(huán)對(duì)數(shù)幅值L(w)下降到-3dB時(shí)對(duì)應(yīng)的頻率，也稱閉環(huán)截止頻率。系統(tǒng)帶寬（wBw）：指閉環(huán)系統(tǒng)的對(duì)數(shù)幅值不低于-3dB時(shí)所對(duì)應(yīng)的頻率范圍（）。

關(guān)于幾點(diǎn)帶寬的說明系統(tǒng)帶寬表示超過此范圍后，輸出急劇衰減，形成系統(tǒng)響應(yīng)的截止?fàn)顟B(tài)。對(duì)于低通濾波器，希望帶寬小，即只允許頻率較低的輸入信號(hào)通過，頻率高的輸入信號(hào)被濾掉。對(duì)于隨動(dòng)系統(tǒng)，系統(tǒng)的帶寬表征系統(tǒng)允許工作的最高頻率。帶寬大，則系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能好。對(duì)于系統(tǒng)響應(yīng)的快速性來說，帶寬越寬，系統(tǒng)響應(yīng)的快速性越好，過渡過程的上升時(shí)間越短。2．諧振峰值Mr和諧振頻率Wr諧振峰值Mr

：閉環(huán)頻率特性幅值的最大值只與阻尼比有關(guān)。標(biāo)志系統(tǒng)相對(duì)穩(wěn)定性的一個(gè)指標(biāo)。諧振頻率wr：系統(tǒng)發(fā)生諧振峰值處的頻率稱為諧振頻率。

表征了系統(tǒng)的響應(yīng)速度，wr越大，系統(tǒng)帶寬越寬，響應(yīng)速度越快。三．最小相位系統(tǒng)1．最小相位系統(tǒng)：在復(fù)平面[s]右半部分無零點(diǎn)或極點(diǎn)（所有極點(diǎn)和零點(diǎn)均在[s]平面的左半平面）的傳遞函數(shù)稱為最小相位傳遞函數(shù)，該傳遞函數(shù)所描述的系統(tǒng)稱為最小相位系統(tǒng)。2．非最小相位系統(tǒng)：控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)中存在零、極點(diǎn)位于復(fù)平面[s]的右半部分，這樣的系統(tǒng)稱為非最小相位系統(tǒng)

σ-1/T1jw-1/T2σ1/T1jw-1/T2wL(w)/dBwφ(w)°0-180°-20dB/dec-90°w2w1-2020[0]φ2φ1[-20]四．由頻率特性確定系統(tǒng)傳遞函數(shù)

建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型方法有：（1）采用數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)（2）由實(shí)驗(yàn)方法

1．系統(tǒng)類型和增益K的確定設(shè)系統(tǒng)頻率特性為：

為串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的數(shù)目

當(dāng)根據(jù)來確定系統(tǒng)的類型

（1）當(dāng)時(shí)，稱為零型系統(tǒng)

G(jw)=k

L(w)=20lg|G(jw)|=20lgkwL(w)/dB0[-20]0型系統(tǒng)20lgk（２）當(dāng)時(shí)，稱為Ⅰ型系統(tǒng)

G(jw)=k/jwL(w)=20lg|G(jw)|=20lgk-20lgw頻率特性低頻段為-20dB/dec，漸近線或