第2章測量誤差及數(shù)據(jù)處理

2章．測量誤差及數(shù)據(jù)處理

2.1測量誤差的分類和測量結(jié)果的表征2.2測量誤差的估計(jì)和處理2.3測量不確定度2.4測量數(shù)據(jù)處理2．1測量誤差的分類和測量結(jié)果的表征2.1.1測量誤差的定義測量的目的:獲得被測量的真值。真值:在一定的時(shí)間和空間環(huán)境條件下，被測量本身所具有的真實(shí)數(shù)值A(chǔ)。測量誤差:所有測量結(jié)果都帶有誤差。2.1.2測量誤差的來源（1）儀器誤差：由于測量儀器及其附件的設(shè)計(jì)、制造、檢定等不完善，以及儀器使用過程中老化、磨損、疲勞等因素而使儀器帶有的誤差。（2）影響誤差：由于各種環(huán)境因素（溫度、濕度、振動(dòng)、電源電壓、電磁場等）與測量要求的條件不一致而引起的誤差。（3）理論誤差和方法誤差：由于測量原理、近似公式、測量方法不合理而造成的誤差。（4）人身誤差：由于測量人員感官的分辨能力、反應(yīng)速度、視覺疲勞、固有習(xí)慣、缺乏責(zé)任心等原因，而在測量中使用操作不當(dāng)、現(xiàn)象判斷出錯(cuò)或數(shù)據(jù)讀取疏失等而引起的誤差。（5）測量對象變化誤差：測量過程中由于測量對象變化而使得測量值不準(zhǔn)確，如引起動(dòng)態(tài)誤差等。2.1.3測量誤差的表示方法測量誤差有絕對誤差和相對誤差兩種表示方法。1.絕對誤差（1）定義：由測量所得到的被測量值與其真值之差，稱為絕對誤差

實(shí)際應(yīng)用中常用實(shí)際值A(chǔ)（高一級(jí)以上的測量儀器或計(jì)量器具測量所得之值）來代替真值。絕對誤差：有大小，又有符號(hào)和量綱2.1.3測量誤差的表示方法（續(xù)）（2）修正值與絕對誤差的絕對值大小相等，但符號(hào)相反的量值，稱為修正值測量儀器的修正值可以通過上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)的檢定給出，修正值可以是數(shù)值表格、曲線或函數(shù)表達(dá)式等形式。被測量的實(shí)際值2.1.3測量誤差的表示方法（續(xù)）2.相對誤差一個(gè)量的準(zhǔn)確程度，不僅與它的絕對誤差的大小，而且與這個(gè)量本身的大小有關(guān)。例：測量足球場的長度和成都市到綿陽市的距離，若絕對誤差都為1米，測量的準(zhǔn)確程度是否相同？（1）相對誤差、實(shí)際相對誤差、示值相對誤差相對誤差：絕對誤差與被測量的真值之比相對誤差是兩個(gè)有相同量綱的量的比值，只有大小和符號(hào)，沒有單位。2.1.3測量誤差的表示方法（續(xù)）實(shí)際相對誤差：用實(shí)際值A(chǔ)代替真值A(chǔ)0

示值相對誤差：用測量值X代替實(shí)際值A(chǔ)2.1.3測量誤差的表示方法（續(xù)）（2）滿度相對誤差（引用相對誤差）用測量儀器在一個(gè)量程范圍內(nèi)出現(xiàn)的最大絕對誤差與該量程值（上限值－下限值）之比來表示的相對誤差，稱為滿度相對誤差（或稱引用相對誤差）儀表各量程內(nèi)絕對誤差的最大值2.1.3測量誤差的表示方法（續(xù)）電工儀表就是按滿度相對誤差之值進(jìn)行分級(jí)的。是儀表在工作條件下不應(yīng)超過的最大滿度相對誤差我國電工儀表共分七級(jí)：0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.5及5.0。如果儀表為S級(jí)，則說明該儀表的最大滿度相對誤差不超過S%在誤差數(shù)值后面注上“FSD”或“滿度值”等方式說明是滿度誤差。在使用這類儀表測量時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)牧砍?，使示值盡可能接近于滿度值，指針最好能偏轉(zhuǎn)在不小于滿度值2/3以上的區(qū)域。測量點(diǎn)的最大相對誤差

2.1.3測量誤差的表示方法（續(xù)）[例1-3]某待測電流約為100mA，現(xiàn)有0.5級(jí)量程為0～400mA和1.5級(jí)量程為0～100mA的兩個(gè)電流表，問用哪一個(gè)電流表測量較好？用1.5級(jí)量程為0～100mA電流表測量100mA時(shí)的最大相對誤差為解：用0.5級(jí)量程為0～400mA電流表測100mA時(shí)，最大相對誤差為2.1.3測量誤差的表示方法（續(xù)）（3）分貝誤差——相對誤差的對數(shù)表示分貝誤差是用對數(shù)形式（分貝數(shù)）表示的一種相對誤差，單位為分貝（dB）。電壓增益的測得值為誤差為用對數(shù)表示為增益測得值的分貝值分貝誤差2.1.3測量誤差的表示方法（續(xù)）2.1測量誤差的分類和測量結(jié)果的表征

2.1.1測量誤差的分類根據(jù)測量誤差的性質(zhì)，測量誤差可分為隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差、粗大誤差三類。1.隨機(jī)誤差定義:在同一測量條件下（指在測量環(huán)境、測量人員、測量技術(shù)和測量儀器都相同的條件下），多次重復(fù)測量同一量值時(shí)（等精度測量），每次測量誤差的絕對值和符號(hào)都以不可預(yù)知的方式變化的誤差，稱為隨機(jī)誤差或偶然誤差，簡稱隨差。隨機(jī)誤差主要由對測量值影響微小但卻互不相關(guān)的大量因素共同造成。這些因素主要是噪聲干擾、電磁場微變、零件的摩擦和配合間隙、熱起伏、空氣擾動(dòng)、大地微震、測量人員感官的無規(guī)律變化等。2.1.1測量誤差的分類（續(xù)）例：對一不變的電壓在相同情況下，多次測量得到1.235V，1.237V，1.234V，1.236V，1.235V，1.237V。單次測量的隨差沒有規(guī)律，但多次測量的總體卻服從統(tǒng)計(jì)規(guī)律。可通過數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來處理,即求算術(shù)平均值隨機(jī)誤差定義：測量結(jié)果與在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值之差2.1.1測量誤差的分類（續(xù)）2.系統(tǒng)誤差定義：在同一測量條件下，多次測量重復(fù)同一量時(shí)，測量誤差的絕對值和符號(hào)都保持不變，或在測量條件改變時(shí)按一定規(guī)律變化的誤差，稱為系統(tǒng)誤差。例如儀器的刻度誤差和零位誤差，或值隨溫度變化的誤差。產(chǎn)生的主要原因:儀器的制造、安裝或使用方法不正確，環(huán)境因素（溫度、濕度、電源等）影響，測量原理中使用近似計(jì)算公式，測量人員不良的讀數(shù)習(xí)慣等。系統(tǒng)誤差表明了一個(gè)測量結(jié)果偏離真值或?qū)嶋H值的程度。系差越小，測量就越準(zhǔn)確。系統(tǒng)誤差的定量定義：在重復(fù)性條件下，對同一被測量進(jìn)行無限多次測量所得結(jié)果的平均值與被測量的真值之差。即2.1.1測量誤差的分類（續(xù)）3.粗大誤差：

粗大誤差是一種顯然與實(shí)際值不符的誤差。產(chǎn)生粗差的原因有：①測量操作疏忽和失誤如測錯(cuò)、讀錯(cuò)、記錯(cuò)以及實(shí)驗(yàn)條件未達(dá)到預(yù)定的要求而匆忙實(shí)驗(yàn)等。②測量方法不當(dāng)或錯(cuò)誤如用普通萬用表電壓檔直接測高內(nèi)阻電源的開路電壓③測量環(huán)境條件的突然變化如電源電壓突然增高或降低，雷電干擾、機(jī)械沖擊等引起測量儀器示值的劇烈變化等。含有粗差的測量值稱為壞值或異常值，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，應(yīng)剔除掉。

2.1.1測量誤差的分類（續(xù)）4.系差和隨差的表達(dá)式

在剔除粗大誤差后，只剩下系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差各次測得值的絕對誤差等于系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的代數(shù)和。在任何一次測量中，系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差一般都是同時(shí)存在的。系差和隨差之間在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)化2.1.2測量結(jié)果的表征

準(zhǔn)確度表示系統(tǒng)誤差的大小。系統(tǒng)誤差越小，則準(zhǔn)確度越高，即測量值與實(shí)際值符合的程度越高。精密度表示隨機(jī)誤差的影響。精密度越高，表示隨機(jī)誤差越小。隨機(jī)因素使測量值呈現(xiàn)分散而不確定，但總是分布在平均值附近。精確度用來反映系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差的綜合影響。精確度越高，表示準(zhǔn)確度和精密度都高，意味著系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差都小。射擊誤差示意圖準(zhǔn)確度：高低高精密度：低高高2.1.2測量結(jié)果的表征（續(xù)）測量值是粗大誤差2.2測量誤差的估計(jì)和處理2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法在測量中，隨機(jī)誤差是不可避免的。隨機(jī)誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律的因素引起的，比如外界條件（溫度、濕度、氣壓、電源電壓等）的微小波動(dòng)，電磁場的干擾，大地輕微振動(dòng)等。多次測量，測量值和隨機(jī)誤差服從概率統(tǒng)計(jì)規(guī)律?？捎脭?shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，處理測量數(shù)據(jù)，從而減少隨機(jī)誤差對測量結(jié)果的影響。2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）（1）隨機(jī)變量的數(shù)字特征①

數(shù)學(xué)期望:反映其平均特性。其定義如下：X為離散型隨機(jī)變量：

X為連續(xù)型隨機(jī)變量：

1.隨機(jī)誤差的分布規(guī)律2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

②方差和標(biāo)準(zhǔn)偏差方差是用來描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度。設(shè)隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為E(X)，則X的方差定義為： D(X)=E(X－E(X))2

標(biāo)準(zhǔn)偏差定義為：

標(biāo)準(zhǔn)偏差同樣描述隨機(jī)變量與其數(shù)學(xué)期望的分散程度，并且與隨機(jī)變量具有相同量綱。2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）測量中的隨機(jī)誤差通常是多種相互獨(dú)立的因素造成的許多微小誤差的總和。中心極限定理：假設(shè)被研究的隨機(jī)變量可以表示為大量獨(dú)立的隨機(jī)變量的和，其中每一個(gè)隨機(jī)變量對于總和只起微小作用，則可認(rèn)為這個(gè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布。為什么測量數(shù)據(jù)和隨機(jī)誤差大多接近正態(tài)分布？(2)測量誤差的正態(tài)分布2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）正態(tài)分布的概率密度函數(shù)和統(tǒng)計(jì)特性隨機(jī)誤差的概率密度函數(shù)為：測量數(shù)據(jù)X的概率密度函數(shù)為：

隨機(jī)誤差的數(shù)學(xué)期望和方差為：同樣測量數(shù)據(jù)的數(shù)學(xué)期望E(X)＝，方差D(X)＝2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）正態(tài)分布時(shí)概率密度曲線

隨機(jī)誤差和測量數(shù)據(jù)的分布形狀相同，因?yàn)樗鼈兊臉?biāo)準(zhǔn)偏差相同，只是橫坐標(biāo)相差隨機(jī)誤差具有：①對稱性②單峰性③有界性④抵償性

2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）標(biāo)準(zhǔn)偏差意義標(biāo)準(zhǔn)偏差是代表測量數(shù)據(jù)和測量誤差分布離散程度的特征數(shù)。標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，則曲線形狀越尖銳，說明數(shù)據(jù)越集中；標(biāo)準(zhǔn)偏差越大，則曲線形狀越平坦，說明數(shù)據(jù)越分散。2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

（3）測量誤差的非正態(tài)分布常見的非正態(tài)分布有均勻分布、三角分布、反正弦分布等。均勻分布：儀器中的刻度盤回差、最小分辨力引起的誤差等；“四舍五入”的截尾誤差；當(dāng)只能估計(jì)誤差在某一范圍內(nèi)，而不知其分布時(shí)，一般可假定均勻分布。

概率密度:均值:當(dāng)時(shí),標(biāo)準(zhǔn)偏差:

當(dāng)

時(shí)，2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

2.

有限次測量的數(shù)學(xué)期望和標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值

求被測量的數(shù)字特征，理論上需無窮多次測量，但在實(shí)際測量中只能進(jìn)行有限次測量，怎么辦？用事件發(fā)生的頻度代替事件發(fā)生的概率，當(dāng)則令n個(gè)可相同的測試數(shù)據(jù)xi(i=1.2…,n)

次數(shù)都計(jì)為1,當(dāng)時(shí)，則（1）有限次測量的數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值——算術(shù)平均值被測量X的數(shù)學(xué)期望，就是當(dāng)測量次數(shù)時(shí)，各次測量值的算術(shù)平均值2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）規(guī)定使用算術(shù)平均值為數(shù)學(xué)期望的估計(jì)值，并作為最后的測量結(jié)果。即：

算術(shù)平均值是數(shù)學(xué)期望的無偏估計(jì)值、一致估計(jì)值和最大似然估計(jì)值。有限次測量值的算術(shù)平均值比測量值更接近真值？

2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

（2）算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差

故：算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差比總體或單次測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差小倍。原因是隨機(jī)誤差的抵償性。*算術(shù)平均值：2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

（2）有限次測量數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值

殘差（剩余誤差）：實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差（標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值），貝塞爾公式：算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值：2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

【例3.1】用溫度計(jì)重復(fù)測量某個(gè)不變的溫度，得11個(gè)測量值的序列（見下表）。求測量值的平均值及其標(biāo)準(zhǔn)偏差。解：①平均值

②用公式計(jì)算各測量值殘差列于上表中③實(shí)驗(yàn)偏差④標(biāo)準(zhǔn)偏差2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)3.

測量結(jié)果的置信問題置信概率：描述誤差處于某一范圍內(nèi)的可靠程度的量。置信區(qū)間：對應(yīng)置信度的極限誤差范圍，用標(biāo)準(zhǔn)差σ的倍數(shù)Kσ表示（K為正系數(shù)，稱為置信系數(shù)）。2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)3.

測量結(jié)果的置信問題（1）置信概率與置信區(qū)間：置信區(qū)間內(nèi)包含真值的概率稱為置信概率。置信限：k——置信系數(shù)（或置信因子）置信概率是圖中陰影部分面積2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

（2）正態(tài)分布的置信概率

當(dāng)分布和k值確定之后，則置信概率可定

正態(tài)分布,當(dāng)k=3時(shí)置信因子k置信概率Pc10.68320.95530.997區(qū)間越寬，置信概率越大◆在置信區(qū)間[M(x)-,M(x)+]內(nèi)置信度P{|i|}=0.6826◆在置信區(qū)間[M(x)-2,M(x)+2]內(nèi)置信度P{|i|2}=0.954◆在置信區(qū)間[M(x)-3,M(x)+3]內(nèi)置信度P{|i|3}=0.997◆3稱為極限誤差或最大誤差◆當(dāng)測量次數(shù)較多時(shí)，用和代替M(x)和M(x)-3M(x)+3M(x)-2M(x)+2M(x)-M(x)+2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

（3）有限次測量時(shí)的置信問題

有限次測量時(shí)，只能根據(jù)貝塞爾公式求出來的標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)值來考慮當(dāng)測量值服從正態(tài)分布時(shí)，服從t分布t分布與測量次數(shù)有關(guān)。當(dāng)n>20以后，t分布趨于正態(tài)分布。正態(tài)分布是t分布的極限分布。當(dāng)n很小時(shí)，t分布的中心值比較小，分散度較大，即對于相同的概率，t分布比正態(tài)分布有更大的置信區(qū)間。給定置信概率P和測量次數(shù)n，查表得置信因子kt。自由度：v=n-12.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）

（4）非正態(tài)分布的置信因子

由于常見的非正態(tài)分布都是有限的，設(shè)其置信限為誤差極限，即誤差的置信區(qū)間為置信概率為100％。（P=1)反正弦均勻三角分布例：均勻分布

有故:2.2.1隨機(jī)誤差的統(tǒng)計(jì)特性及減少方法(續(xù)）2.2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

1.系統(tǒng)誤差的特征：

不易發(fā)現(xiàn)，也不具有抵償性，因而分析、估計(jì)和修正系統(tǒng)誤差很重要。

多次測量求平均不能減少系差。2.2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

2.系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法

（1）不變的系統(tǒng)誤差：校準(zhǔn)、修正和實(shí)驗(yàn)比對。（2）變化的系統(tǒng)誤差①

殘差（剩余誤差）觀察法，適用于系統(tǒng)誤差比隨機(jī)誤差大的情況 將所測數(shù)據(jù)及其殘差按先后次序列表或作圖，觀察各數(shù)據(jù)的殘差值的大小和符號(hào)的變化。

存在線性變化的系統(tǒng)誤差無明顯系統(tǒng)誤差2.2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）②馬利科夫判據(jù)：判斷是否存在線性系統(tǒng)誤差1）求出殘差；2）將殘差分為前后兩部分求和，再求其差值D 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，當(dāng)D>Vimax，則認(rèn)為存在線性系統(tǒng)誤差

2.2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）③阿貝－赫梅特判據(jù)：檢驗(yàn)周期性系差的存在。1）求殘差；2）將殘差倆倆相乘，然后取和的絕對值；3）求出標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值4）如果

則認(rèn)為存在周期性系統(tǒng)誤差2.2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）3.系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法

（1）從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施①

要從測量原理和測量方法盡力做到正確、嚴(yán)格。②

測量儀器定期檢定和校準(zhǔn)，正確使用儀器。③注意周圍環(huán)境對測量的影響，特別是溫度對電子測量的影響較大。④

盡量減少或消除測量人員主觀原因造成的系統(tǒng)誤差。應(yīng)提高測量人員業(yè)務(wù)技術(shù)水平和工作責(zé)任心，改進(jìn)設(shè)備。（2）用修正方法減少系統(tǒng)誤差

修正值＝－誤差=－（測量值－真值） 實(shí)際值＝測量值＋修正值2.2.2系統(tǒng)誤差的判斷及消除方法（續(xù)）

（3）采用一些專門的測量方法

①零示法②替代法③微差法系統(tǒng)誤差可忽略不計(jì)的準(zhǔn)則是： 系統(tǒng)誤差或殘余系統(tǒng)誤差代數(shù)和的絕對值不超過測量結(jié)果擴(kuò)展不確定度的最后一位有效數(shù)字的一半。2.2.3粗大（疏失）誤差及其判斷準(zhǔn)則粗大誤差出現(xiàn)的概率很小，列出可疑數(shù)據(jù)，分析是否是粗大誤差，若是，則應(yīng)將對應(yīng)的測量值剔除。1.粗大誤差產(chǎn)生原因以及防止與消除的方法

粗大誤差的產(chǎn)生原因

①測量人員的主觀原因：操作失誤或錯(cuò)誤記錄；②客觀外界條件的原因：測量條件意外改變、受較大的電磁干擾，或測量儀器偶然失效等。防止和消除粗大誤差的方法重要的是采取各種措施，防止產(chǎn)生粗大誤差。2.2.3粗大誤差及其判斷準(zhǔn)則（續(xù)）

2.

粗大誤差的判別準(zhǔn)則

統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法的基本思想：給定一置信概率，確定相應(yīng)的置信區(qū)間，凡超過置信區(qū)間的誤差就認(rèn)為是粗大誤差，并予以剔除。萊特檢驗(yàn)法格拉布斯檢驗(yàn)法s：實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差；G為格拉布斯系數(shù)，按重復(fù)測量次數(shù)n及置信概率Pc確定2.2.3粗大誤差及其判斷準(zhǔn)則（續(xù)）

應(yīng)注意的問題①所有的檢驗(yàn)法都是人為主觀擬定的，至今無統(tǒng)一的規(guī)定。當(dāng)偏離正態(tài)分布和測量次數(shù)少時(shí)檢驗(yàn)不一定可靠。②若有多個(gè)可疑數(shù)據(jù)同時(shí)超過檢驗(yàn)所定置信區(qū)間，應(yīng)逐個(gè)剔除，重新計(jì)算，再行判別。若有兩個(gè)相同數(shù)據(jù)超出范圍時(shí)，應(yīng)逐個(gè)剔除。③在一組測量數(shù)據(jù)中，可疑數(shù)據(jù)應(yīng)很少。反之，說明系統(tǒng)工作不正常。2.2.3粗大誤差及其判斷準(zhǔn)則（續(xù)）

解：①計(jì)算得s=0.033 計(jì)算殘差填入表3－7，最大，是可疑數(shù)據(jù)。②用萊特檢驗(yàn)法3·s=3×0.033=0.099故可判斷是粗大誤差，應(yīng)予剔除。再對剔除后的數(shù)據(jù)計(jì)算得：s′=0.016 3·s′=0.048各測量值的殘差V′填入表3－7，殘差均小于3s′故14個(gè)數(shù)據(jù)都為正常數(shù)據(jù)?！纠?.3】對某電爐的溫度進(jìn)行多次重復(fù)測量，所得結(jié)果列于表3－7，試檢查測量數(shù)據(jù)中有無粗大誤差。2.2.4測量結(jié)果的處理步驟

①對測量值進(jìn)行系統(tǒng)誤差修正，將數(shù)據(jù)依次列成表格；②求出算術(shù)平均值③列出殘差，并驗(yàn)證④按貝塞爾公式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值⑤按萊特準(zhǔn)則，或格拉布斯準(zhǔn)則檢查和剔除粗大誤差；⑥判斷有無系統(tǒng)誤差。如有系統(tǒng)誤差，應(yīng)查明原因，修正或消除系統(tǒng)誤差后重新測量；⑦計(jì)算算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差；⑧寫出最后結(jié)果的表達(dá)式，即（單位）。2.2.4測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）【例3．4】對某電壓進(jìn)行了16次等精度測量，測量數(shù)據(jù)中已記入修正值，列于表中。要求給出包括誤差在內(nèi)的測量結(jié)果表達(dá)式。2.2.4測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）2.2.4測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）2.2.4測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）

等精度測量與不等精度測量

等精度測量：即在相同地點(diǎn)、相同的測量方法和相同測量設(shè)備、相同測量人員、相同環(huán)境條件（溫度、濕度、干擾等），并在短時(shí)間內(nèi)進(jìn)行的重復(fù)測量。不等精度測量：在測量條件不相同時(shí)進(jìn)行的測量，測量結(jié)果的精密度將不相同。不等精度測量處理方法：權(quán)值與標(biāo)準(zhǔn)偏差的平方成反比。權(quán)值

測量結(jié)果為加權(quán)平均值

2.2.4測量結(jié)果的處理步驟（續(xù)）2.2.5誤差的合成分析問題：用間接法測量電阻消耗的功率時(shí)，需測量電阻R、端電壓V和電流I三個(gè)量中的兩個(gè)量，如何根據(jù)電阻、電壓或電流的誤差來推算功率的誤差呢？2.2.5誤差的合成分析（續(xù)）2.2.5誤差的合成分析（續(xù)）在實(shí)際應(yīng)用中，由于分項(xiàng)誤差符號(hào)不定而可同時(shí)取正負(fù)，有時(shí)就采用保守的辦法來估算誤差，即將式中各分項(xiàng)取絕對值后再相加該公式常用于在設(shè)計(jì)階段中對傳感器、儀器及系統(tǒng)等的誤差進(jìn)行分析和估算，以采取減少誤差的相應(yīng)措施。但是，更嚴(yán)格和更準(zhǔn)確地計(jì)算合成誤差的方法是測量不確定度理論中的合成不確定度評定.2.3測量不確定度

2.3.1不確定度的概念由于測量誤差的存在而對測得值不能肯定的程度。表示被測量的分散程度；1.術(shù)語（1）標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用概率分布的標(biāo)準(zhǔn)偏差表示的不確定度

①A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用統(tǒng)計(jì)方法得到的不確定度。②B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：用非統(tǒng)計(jì)方法得到的不確定度2.3.1不確定度的概念（續(xù)）（2）合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度*由各不確定度分量合成的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。*因?yàn)闇y量結(jié)果是受若干因素聯(lián)合影響。（3）擴(kuò)展不確定度*合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的倍數(shù)表示的測量不確定度，即用包含因子乘以合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度得到一個(gè)區(qū)間半寬度。

*包含因子的取值決定了擴(kuò)展不確定度的置信水平。*通常測量結(jié)果的不確定度都用擴(kuò)展不確定度表示

2.3.1不確定度的概念（續(xù)）

2.不確定度的分類

2.3.1不確定度的概念（續(xù)）

3.不確定度的來源

①被測量定義的不完善，實(shí)現(xiàn)被測量定義的方法不理想，被測量樣本不能代表所定義的被測量。②測量裝置或儀器的分辨力、抗干擾能力、控制部分穩(wěn)定性等影響。③測量環(huán)境的不完善對測量過程的影響以及測量人員技術(shù)水平等影響。④計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)和標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的值本身的不確定度，在數(shù)據(jù)簡化算法中使用的常數(shù)及其他參數(shù)值的不確定度，以及在測量過程中引入的近似值的影響。⑤在相同條件下，由隨機(jī)因素所引起的被測量本身的不穩(wěn)定性。2.3.2誤差與不確定度的區(qū)別測量誤差測量不確定度客觀存在的，但不能準(zhǔn)確得到，是一個(gè)定性的概念表示測量結(jié)果的分散程度，可根據(jù)試驗(yàn)、資料等信息定量評定。誤差是不以人的認(rèn)識(shí)程度而改變與人們對被測量和影響量及測量過程的認(rèn)識(shí)有關(guān)。隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差是兩種不同性質(zhì)的誤差A(yù)類或B類不確定度是兩種不同的評定方法，與隨機(jī)誤差、系統(tǒng)誤差之間不存在簡單的對應(yīng)關(guān)系。須進(jìn)行異常數(shù)據(jù)判別并剔除。剔除異常數(shù)據(jù)后再評定不確定度在最后測量結(jié)果中應(yīng)修正確定的系統(tǒng)誤差。在測量不確定度中不包括已確定的修正值，但應(yīng)考慮修正不完善引入的不確定度分量。“誤差傳播定律”可用于間接測量時(shí)對誤差進(jìn)行定性分析。不確定度傳播律更科學(xué)，用于定量評定測量結(jié)果的合成不確定度2.4測量數(shù)據(jù)處理

2.4.1有效數(shù)字的處理1.數(shù)字修約規(guī)則由于測量數(shù)據(jù)和測量結(jié)果均是近似數(shù)，其位數(shù)各不相同。為了使測量結(jié)果的表示準(zhǔn)確唯一，計(jì)算簡便，在數(shù)據(jù)處理時(shí)，需對測量數(shù)據(jù)和所用常數(shù)進(jìn)行修約處理。數(shù)據(jù)修約規(guī)則：（1）小于5舍去——末位不變。（2）大于5進(jìn)1——在末位增1。（3）等于5時(shí)，取偶數(shù)——當(dāng)末位是偶數(shù)，末位不變；末位是奇數(shù)，在末位增1（將末位湊為偶數(shù)）。2.4.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）

例：將下列數(shù)據(jù)舍入到小數(shù)第二位。12.4344→12.43 63.73501→63.740.69499→0.6925.3250→25.32 17.6955→17.70 123.1150→123.12需要注意的是，舍入應(yīng)一次到位，不能逐位舍入。上例中0.69499，正確結(jié)果為0.69，錯(cuò)誤做法是：0.69499→0.6950→0.695→0.70。在“等于5”的舍入處理上，采用取偶數(shù)規(guī)則，是為了在比較多的數(shù)據(jù)舍入處理中，使產(chǎn)生正負(fù)誤差的概率近似相等。2.4.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）2.有效數(shù)字若截取得到的近似數(shù)其截取或舍入誤差的絕對值不超過近似數(shù)末位的半個(gè)單位，則該近似數(shù)從左邊第一個(gè)非零數(shù)字到最末一位數(shù)為止的全部數(shù)字，稱之為有效數(shù)字。例如：3.142 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.700 四位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00058.7×103 二位有效數(shù)字，極限誤差≤0.05×1030.0807 三位有效數(shù)字，極限誤差≤0.00005

2.4.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）中間的0和末尾的0都是有效數(shù)字，不能隨意添加。開頭的零不是有效數(shù)字。測量數(shù)據(jù)的絕對值比較大（或比較?。行?shù)字又比較少的測量數(shù)據(jù)，應(yīng)采用科學(xué)計(jì)數(shù)法，即a×10n，a的位數(shù)由有效數(shù)字的位數(shù)所決定。測量結(jié)果（或讀數(shù)）的有效位數(shù)應(yīng)由該測量的不確定度來確定，即測量結(jié)果的最末一位應(yīng)與不確定度的位數(shù)對齊。例如，某物理量的測量結(jié)果的值為63.44，且該量的測量不確定度u＝0.4，測量結(jié)果表示為63.4±0.4。2.4.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）3.近似運(yùn)算法則 保留的位數(shù)原則上取決于各數(shù)中準(zhǔn)確度最差的那一項(xiàng)。（1）加法運(yùn)算 以小數(shù)點(diǎn)后位數(shù)最少的為準(zhǔn)（各項(xiàng)無小數(shù)點(diǎn)則以有效位數(shù)最少者為準(zhǔn)），其余各數(shù)可多取一位。例如：

（2）減法運(yùn)算：當(dāng)兩數(shù)相差甚遠(yuǎn)時(shí)，原則同加法運(yùn)算；當(dāng)兩數(shù)很接近時(shí)，有可能造成很大的相對誤差，因此，第一要盡量避免導(dǎo)致相近兩數(shù)相減的測量方法，第二在運(yùn)算中多一些有效數(shù)字。

2.4.1有效數(shù)字的處理（續(xù)）（3）乘除法運(yùn)算 以有效數(shù)字位數(shù)最少的數(shù)為準(zhǔn)，其余參與運(yùn)算的數(shù)字及結(jié)果中的有效數(shù)字位數(shù)與之相等。例如：

→也可以比有效數(shù)字位數(shù)最少者多保留一位有效數(shù)字。例如上面例子中的517.43和4.08各保留至517和4.08，結(jié)果為35.5。（4）乘方、開方運(yùn)算：運(yùn)算結(jié)果比原數(shù)多保留一位有效數(shù)字。例如：（27.8）2≈772.8 (115)2≈1.322×1042.4.2測量數(shù)據(jù)的表示方法1.列表法根據(jù)測試的目的和內(nèi)容，設(shè)計(jì)出合理的表格。列表法簡單、方便，數(shù)據(jù)易于參考比較，它對數(shù)據(jù)變化的趨勢不如圖解法明了和直觀，但列表法是圖示法和經(jīng)驗(yàn)公式法的基礎(chǔ)。例：x024681012y1.512.119.131.342.148.659.12.4.2測量數(shù)據(jù)的表示方法2.圖示法圖示法的最大優(yōu)點(diǎn)是形象、直觀，從圖形中可以很直觀地看出函數(shù)的變化規(guī)律，如遞增或遞減、最大值和最小值及是否有周期性變化規(guī)律等。作圖時(shí)采用直角坐標(biāo)或極座標(biāo)。一般是先按成對數(shù)據(jù)（x，y）描點(diǎn)，再連成光滑曲線，并盡量使曲線于所有點(diǎn)接近，不強(qiáng)求通過各點(diǎn)，要使位于曲線兩邊的點(diǎn)數(shù)盡量相等3.經(jīng)驗(yàn)公式法經(jīng)驗(yàn)公式法就是通過對實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的計(jì)算，采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，確定它們之間的數(shù)量關(guān)系，即用數(shù)學(xué)表達(dá)式表示各變量之間關(guān)系。有時(shí)又把這種經(jīng)驗(yàn)公式稱為數(shù)學(xué)模型。類型有些一元非線性回歸可采用變量代換，將其轉(zhuǎn)化為線性回歸方程來解。2.4.2測量數(shù)據(jù)的表示方法（續(xù)）一元線形回歸一元非線性回歸多元線性回歸多元非線性回歸變量個(gè)數(shù)11>1>1方次1>11>1y=a+bx

2.4.3建立經(jīng)驗(yàn)公式的步驟已知測量數(shù)據(jù)列(xi,yi

i=1,2,…,n),建立公式的步驟如下：（1)將輸入自變量xi,作為橫坐標(biāo)，輸出量yi即測量值作為縱坐標(biāo)，描繪在坐標(biāo)紙上，并把數(shù)據(jù)點(diǎn)描繪成測量曲線。（2）分析描繪的曲線，確定公式y(tǒng)=f(x)的基本形式。①直線，可用一元線性回歸方法確定直線方程。②某種類型曲線，則先將該曲線方程變換為直線方程，然后按一元線性回歸方法處理。③如果測量曲線很難判斷屬于何種類型，這可以按曲線多項(xiàng)式回歸處理。即：

（3）由測量數(shù)據(jù)確定擬合方程（公式）中的常量。2.4.3建立經(jīng)驗(yàn)公式的步驟（續(xù)）(4)檢驗(yàn)所確定的方程的準(zhǔn)確性。①用測量數(shù)據(jù)中的自變量代入擬合方程計(jì)算出函數(shù)值y′②計(jì)算擬合殘差③計(jì)算擬合曲線的標(biāo)準(zhǔn)偏差

式中：m為擬合曲線未知數(shù)個(gè)數(shù)，n為測量數(shù)據(jù)列長度。如果標(biāo)準(zhǔn)偏差很大，說明所確定的公式基本形式有錯(cuò)誤，應(yīng)建立另外形式公式重做。2章總結(jié)1．隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差是由大量微小的沒有確定規(guī)律的因素引起的，無法避免和控制，不能消除隨機(jī)誤差。但應(yīng)采用數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法，減少隨機(jī)誤差。①

算術(shù)平均值②

殘差③實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差（貝塞爾公式）④算術(shù)平均值標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值⑤根據(jù)概率分布和置信概率確定置信因子，得到測量結(jié)果的置信區(qū)間。正態(tài)分布或n>20時(shí)，k=2～3；n<20時(shí)，查t分布表得k；均勻分布時(shí)k＝。⑥測量結(jié)果為：2章總結(jié)（續(xù)）2．系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的特點(diǎn)是固定不變的或按確定規(guī)律變化，主要由測量儀器、測量方法、測量環(huán)境和測量人員等因素引起。多次測量不能減少系統(tǒng)誤差。系統(tǒng)誤差的發(fā)現(xiàn)方法有：校準(zhǔn)的方法、殘差觀察法、馬利科夫判據(jù)和阿貝－赫梅特判據(jù)。系統(tǒng)誤差的削弱或消除方法：（1）從產(chǎn)生系統(tǒng)誤差根源上采取措施；（2）修正方法；（3）采用專門的測量方法，如①替代法、②交換法、③對稱測量法、④半周期法。2章總結(jié)（續(xù)）3．粗大誤差粗大誤差是由于測量人員的偶然出錯(cuò)和外界條件的改變、干擾和偶然失效等造成，應(yīng)采取各種措施，防止產(chǎn)生粗大誤差。對測量中的可疑數(shù)據(jù)可采用萊特檢驗(yàn)法或拉布斯檢驗(yàn)法判斷是否是粗大誤差，若是，應(yīng)剔除不用。4．測量結(jié)果的處理應(yīng)區(qū)別對待等精度測量和不等精度測量，不等精度測量的測量結(jié)果用加權(quán)平均值表示，標(biāo)準(zhǔn)偏差越小，權(quán)值越大。對測量數(shù)據(jù)進(jìn)行處理時(shí)，應(yīng)首先檢查和修正系統(tǒng)誤差，判別并剔除粗大誤差。2章總結(jié)（續(xù)）5．有效數(shù)字處理和測量數(shù)據(jù)的表示方法（1）數(shù)據(jù)修約規(guī)則：“四舍五入，等于五取偶數(shù)”；（2）有效數(shù)字與數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確度密切相關(guān)，測量結(jié)果（或讀數(shù)）的有效位數(shù)應(yīng)由該測量的不確定度來確定；(3)把測量數(shù)據(jù)