第五章桿件基本變形橫截面上的應(yīng)力

工程力學(xué)第五章桿件基本變形橫截面上的應(yīng)力1第五章桿件基本變形橫截面上的應(yīng)力§5-1拉伸與壓縮變形橫截面上的應(yīng)力

§5-3純彎曲橫截面上的應(yīng)力§5-2扭轉(zhuǎn)變形橫截面上的應(yīng)力§5-4橫力彎曲橫截面上的應(yīng)力2變形現(xiàn)象變形現(xiàn)象：平面假設(shè)平面假設(shè)：橫截面上只有，無。FN靜力學(xué)關(guān)系橫線在變形前后均為直線，且都垂直于桿的軸線，只是橫線間距增大，縱線間距減小；變形前的橫截面，變形后仍為平面，僅沿軸線產(chǎn)生了相對平移，并與桿的軸線垂直。§5-1拉伸與壓縮變形橫截面上的應(yīng)力3a.變形幾何條件：任意兩個橫截面之間的所有縱向線段的伸長(縮短)量相同，即變形相同。b.物理關(guān)系：變形相等，各點受力相等，(<P)，各點應(yīng)力相等。c.靜力學(xué)關(guān)系：該式為橫截面上的正應(yīng)力s計算公式。正應(yīng)力s和軸力FN同號。即拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。4討論：b.變截面桿：c.在集中力作用點的附近區(qū)域（1~1.5倍的橫向尺寸。

），應(yīng)力不是均勻分布，不能用上式計算應(yīng)力；但越過這一區(qū)域則符合實際情況。d.壓縮時的壓應(yīng)力計算仍可用此式,所得為壓應(yīng)力。一般規(guī)定拉應(yīng)力為正，壓應(yīng)力為負(fù)。a.使用條件：，與A成反比），圣維南原理5常見的油孔、溝槽等均有構(gòu)件尺寸突變，突變處將產(chǎn)生應(yīng)力集中現(xiàn)象。1、形狀尺寸的影響：2、材料的影響：應(yīng)力集中對塑性材料的影響不大；應(yīng)力集中對脆性材料的影響嚴(yán)重，應(yīng)特別注意。稱為理論應(yīng)力集中因數(shù)尺寸變化越急劇、角越尖、孔越小，應(yīng)力集中的程度越嚴(yán)重。6ABCDFFF討論題：圖示階梯桿AD受三個集中力F作用，設(shè)AB，BC，CD段的橫截面面積分別為A，2A，3A，則三段桿的橫截面上()。軸力不等，應(yīng)力相等；(b)軸力相等，應(yīng)力不等；(c)軸力和應(yīng)力都相等；(d)軸力和應(yīng)力都不等。a7例5-1、圖示結(jié)構(gòu)，試求桿件AB、CB的應(yīng)力。已知F=20kN；斜桿AB為直徑20mm的圓截面桿，水平桿CB為15×15的方截面桿。解：1、計算各桿件的軸力用截面法取與節(jié)點B相連的部分為研究對象ABCF1245°45°FN1FN2xy82、計算各桿件的應(yīng)力9推斷應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系§5-2

扭轉(zhuǎn)變形橫截面上的應(yīng)力一、圓軸扭轉(zhuǎn)橫截面上的應(yīng)力表面變形情況橫截面的變形情況(幾何關(guān)系)橫截面上應(yīng)變的變化規(guī)律橫截面上應(yīng)力變化規(guī)律(物理關(guān)系)內(nèi)力與變形的關(guān)系橫截面上應(yīng)力的計算公式(靜力平衡)10圓軸扭轉(zhuǎn)變形11表面變形情況：(a)相鄰圓周線繞桿的軸線相對轉(zhuǎn)動，但它們的大小和形狀未變，小變形情況下它們的間距也未變；(b)縱向線傾斜了一個角度g

。平面假設(shè)——等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面如同剛性平面繞桿的軸線轉(zhuǎn)動，小變形情況下相鄰橫截面的間距不變。推知：桿的橫截面上只有切應(yīng)力。1、幾何關(guān)系12橫截面上一點處的切應(yīng)變隨點的位置的變化規(guī)律：即13

式中——相對扭轉(zhuǎn)角j沿桿長的變化率，常用j'

來表示，對于給定的橫截面為常量。可見，在橫截面的同一半徑

r

的圓周上各點處的切應(yīng)變gr

均相同；gr與r

成正比，且發(fā)生在與半徑垂直的平面內(nèi)。切應(yīng)變垂直于半徑。142、物理關(guān)系:這表明，橫截面上各點的剪應(yīng)力與該點到截面中心的距離成正比，其方向垂直于半徑。即剪應(yīng)力沿截面的半徑呈線性分布。由上述兩方程可得：...

(1)tg153、靜力平衡其中

稱為橫截面的極慣性矩Ip，它是橫截面的幾何性質(zhì)。從而得等直圓桿在線彈性范圍內(nèi)扭轉(zhuǎn)時，橫截面上任一點處切應(yīng)力計算公式以

代入上式得：rOdAdArrTtt16式中Wt稱為抗扭截面系數(shù)(模量)，其單位為m3。橫截面周邊各點即處的切應(yīng)力最大,為：17二、極慣性矩

IP

與抗扭截面模量

Wt

的常用值：(1)實心圓截面：(2)空心圓截面：其中，為內(nèi)外徑之比。dD18(三)薄壁圓截面Or三、強度計算橫截面上最大切應(yīng)力：所有橫截面上最大應(yīng)力：強度條件：19ABCD12345例5－2、圖示為某組合機床主軸箱第4軸示意圖。試求截面Ⅱ上距軸線40mm處的點的剪應(yīng)力及最大剪應(yīng)力。ⅡⅡMA=15.9kN.mMB=MC=4.78kN.mMD＝6.37kN.md=110mmABCD4MAMBⅡⅡMCMD20解：1、內(nèi)力分析4.789.566.37xT(kNm)ABCD4MAMBⅡⅡMCMD1133+_

由扭矩圖得知T2=9.56kN.m危險橫截面在AC段，2、應(yīng)力計算MA=15.9kN.mMB=MC=4.78kN.mMD＝6.37kN.md=110mmTmax=9.56kN.m21xdydzdxyz二、切應(yīng)力互等定理ττ在單元體左、右面（桿的橫截面）上只有切應(yīng)力，其方向于y軸平行.

可知，兩側(cè)面的內(nèi)力元素dydz大小相等，方向相反，將組成一個力偶。由平衡方程其矩為(dydz)dx22要滿足平衡方程在單元體的上、下兩平面上必有大小相等，指向相反的一對內(nèi)力元素它們組成力偶，其矩為此力偶矩與前一力偶矩數(shù)量相等而轉(zhuǎn)向相反，從而可得(dydz)dxxdydzdxyzττ剪應(yīng)力互等定理：在相互垂直的兩個平面上，剪應(yīng)力成對存在且數(shù)值相等，兩者都垂直于這兩個平面的交線，方向則共同指向或共同背離該交線。23梁段CD上，只有彎矩，沒有剪力－－純彎曲梁段AC和BD上，既有彎矩，又有剪力－－橫力彎曲§5-3純彎曲橫截面上的應(yīng)力FSxxMFaFaF+FFACDBFFFF一、基本概念24凹入一側(cè)纖維縮短凸出一側(cè)纖維伸長中間一層纖維長度不變－－中性層中間層與橫截面的交線－－中性軸縱向?qū)ΨQ面中性層中性軸梁的彎曲實驗25

橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，但有轉(zhuǎn)動；縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。平面假設(shè)：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉(zhuǎn)動，距中性軸等高處，變形相等。

橫截面上只有正應(yīng)力。

單向受力假設(shè)：縱向纖維互不擠壓，只受單向拉壓。26二、正應(yīng)力公式推導(dǎo)abcdABOO1xyA1B1O1Odqrxy))))1、幾何關(guān)系27

2、物理關(guān)系

縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點均處于單向應(yīng)力狀態(tài)。??MyzOx直梁純彎曲時橫截面上任意一點的正應(yīng)力，與它到中性軸的距離成正比應(yīng)力分布規(guī)律283、靜力關(guān)系中性層的曲率半徑r中性軸的位置待解決問題MyzOx橫截面上內(nèi)力系為垂直于橫截面的空間平行力系這一力系簡化，得到三個內(nèi)力分量FNMzMydAzysdA(1)(2)(3)29將應(yīng)力表達(dá)式代入(1)式，得將應(yīng)力表達(dá)式代入(2)式，得中性軸通過橫截面形心自然滿足(1)(2)30純彎曲時橫截面上正應(yīng)力的計算公式:將應(yīng)力表達(dá)式代入(3)式，得(3)MM為梁橫截面上的彎矩y為梁橫截面上任意一點到中性軸的距離Iz為梁橫截面對中性軸的慣性矩31討論

MM

(1)應(yīng)用公式時,一般將M,y

以絕對值代入.根據(jù)梁變形的情況直接判斷

的正負(fù)號.以中性軸為界，梁變形后凸出邊的應(yīng)力為拉應(yīng)力(

為正號).凹入邊的應(yīng)力為壓應(yīng)力(為負(fù)號).(2)最大正應(yīng)力發(fā)生在橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)的點處引用記號——抗彎截面系數(shù)(3)當(dāng)中性軸為對稱軸時則公式改寫為32常見截面的抗彎截面系數(shù)矩形截面實心圓截面空心圓截面bhzyzdyzDdy33(4)對于中性軸不是對稱軸的橫截面zyM應(yīng)分別以橫截面上受拉和受壓部分距中性軸最遠(yuǎn)的距離和直接代入公式求得相應(yīng)的最大正應(yīng)力34§5-4橫力彎曲時橫截面上的應(yīng)力彈性力學(xué)精確分析表明，當(dāng)跨度l

與橫截面高度h

之比l/h>5

（細(xì)長梁）時，純彎曲正應(yīng)力公式對于橫力彎曲近似成立。橫力彎曲最大正應(yīng)力一、橫力彎曲正應(yīng)力彎曲正應(yīng)力ABlFFSxFxMFl35彎曲正應(yīng)力公式適用范圍彎曲正應(yīng)力：純彎曲或細(xì)長梁的橫力彎曲橫截面慣性積Iyz=0彈性變形階段抗拉與抗壓的彈性模量相同36例5-3、矩形等截面梁，L=3m，h=150mm，b=100mm，q=3kN/m，yk=50mm，[s]=10MPa，求危險截面上K點的正應(yīng)力sk，及最大正應(yīng)力。ABlFAFB解：1、外力分析zbKyKh2、內(nèi)力分析(M圖)：xMl/2+危險截面在l/2處3)應(yīng)力分析：37例5－4、槽形截面鑄鐵外伸梁，已知：q=10kN/m，F(xiàn)=20kN，Iz=4.0×107mm4,y2=140mm，y1=60mm，求危險截面最大應(yīng)力。zyy1y2（中性軸）2mqAE2m2mFBD解：2、內(nèi)力分析(M圖)可能的危險截面B、D。xMO20kN.m10kN.m+_1、外力分析FBFE38可能的危險截面B、D。B截面D截面3、應(yīng)力分析39二、橫力彎曲切（剪）應(yīng)力1、矩形截面梁的切應(yīng)力切應(yīng)力t的兩個假設(shè)：FSxABmm1nn1dx1）t//FS,方向相同