第二章壓彎桿件

第二章壓彎桿件§2-1概述1．有關(guān)基本概念實(shí)際工程結(jié)構(gòu)中，很少有理想軸心受壓的情況，較為常見的是壓彎桿件。壓彎桿件的幾種常見情況：圖(a)是偏心受壓桿的等效形式；圖(b)中桿中彎矩是由橫向力引起的；圖(c)是兩桿端偏心距不同，引起兩桿端彎矩大小不等；

(2)強(qiáng)軸與弱軸：抗彎剛度大的形心軸稱為強(qiáng)軸，小的則稱為弱軸。處于三維空間的桿件，較易繞弱軸發(fā)生彎曲，如圖所示。(3)單向彎曲桿件：若壓彎桿件至少有一個(gè)縱向?qū)ΨQ面，彎矩作用在對稱面上，稱為單向壓彎桿件；雙向壓彎桿件：無縱向?qū)ΨQ面，或雖有一個(gè)縱向?qū)ΨQ面，但彎矩偏離縱向?qū)ΨQ面，將引起壓彎桿件兩個(gè)方向的彎曲，稱為雙向壓彎桿件。本章僅研究單向壓彎桿件。(4)壓彎桿件的穩(wěn)定問題，屬于極值點(diǎn)失穩(wěn)。壓彎桿件的極限承載力，有時(shí)取決于失穩(wěn)破壞(穩(wěn)定性問題)，有時(shí)取決于材料破壞(強(qiáng)度問題)，具體情況與桿件長細(xì)比有關(guān)。2．壓彎構(gòu)件的強(qiáng)度條件按材料力學(xué)，壓彎桿件橫截面上正應(yīng)力的強(qiáng)度條件是，或，，即，。式中：W=I/ymax，為抗彎截面系數(shù)；Ns=Afy，M=0時(shí)截面軸力的彈性極限；Ms=Wfy，N=0時(shí)的彈性極限彎矩。3．偏心受壓混凝土柱的破壞

圖中abcd是偏心受壓混凝土柱破壞時(shí)的N-M實(shí)驗(yàn)曲線。ob直線：長細(xì)比為lo/ho8的短柱，

縱向彎曲影響小，發(fā)生強(qiáng)度破壞，

極限荷載是No；(2)oc曲線：lo/ho=8~30的長柱，縱向彎曲

的影響逐漸增大，極限荷載N1<No，

但仍是強(qiáng)度破壞的特征；(3)oe曲線：lo/ho>30的細(xì)長柱，極限荷載

N1<<No，此時(shí)截面內(nèi)應(yīng)力遠(yuǎn)小于材料

強(qiáng)度，屬于失穩(wěn)破壞。

混凝土結(jié)構(gòu)中，一般不采用細(xì)長柱，所以一般為強(qiáng)度破壞。4．鋼結(jié)構(gòu)中偏心受壓柱的破壞N-M曲線如右圖所示虛線是精確結(jié)果，一般采用直線，偏安全。鋼結(jié)構(gòu)中長細(xì)比lo/ho一般較大，一般發(fā)生失穩(wěn)破壞。計(jì)算時(shí)必須校核穩(wěn)定性條件?！?-2壓彎桿件的彈性穩(wěn)定性§2-1概述1．有關(guān)基本概念一、壓彎桿件的彎矩和撓度如右圖所示。忽略軸力N影響的彎矩稱為一階彎矩，計(jì)入N影響的彎矩稱為二階彎矩。采用小撓度理論，同時(shí)考慮軸向與剪切變形的影響，撓曲線微分方程式是=N/EA，軸力N產(chǎn)生的軸向正應(yīng)變。通常只需考慮彎曲一項(xiàng)，格構(gòu)式壓桿一般要考慮剪切變形，多層混凝土框架與拱需考慮軸向變形。只考慮彎曲一項(xiàng)，有下面分析二階彎矩的計(jì)算。二階彎矩與撓曲線形狀有關(guān)。1.均布橫向荷載下：如下圖示。代入有令，可解出由桿端條件，x=0,y=0；x=l,y=0?？山獬鯝、B，結(jié)果有令，跨中最大撓度是式中：

是N=0時(shí)，中點(diǎn)的撓度，(u)是中點(diǎn)撓度放大系數(shù)，中點(diǎn)最大彎矩是式中，，一階彎矩。為了便于工程應(yīng)用，將secu可展開成級數(shù)形式，又因?yàn)槭街?，可得于是，有這一形式應(yīng)用很方便。2.橫向力為集中荷載Q：如下圖示。截面彎矩是，左右對稱M(x)表達(dá)式代入彎曲微分方程中，有桿端條件是：y(0)=0,，解出

，B=0。有中點(diǎn)最大撓度與彎矩是中點(diǎn)最大撓度與彎矩是式中，，N=0時(shí)的中點(diǎn)撓度；是撓度增大系數(shù)。式中，，一階彎矩。同樣，將tgu展開成Taylor級數(shù)，可將增大系數(shù)

化為于是，有3.壓彎桿件兩端受彎矩作用：如下圖示。桿中彎矩是代入彎曲微分方程中，有桿端條件是：y(0)=0,，解出

于是，有令，M1=M2=Mo，中點(diǎn)最大撓度與彎矩是式中，，N=0時(shí)的中點(diǎn)撓度；，中點(diǎn)撓度放大系數(shù)。式中，Mo是一階彎矩。同樣，將secu展開成Taylor級數(shù)，可得

最后，有4.偏心受壓桿件：如下圖示。令，M1=Ne1,M2=Ne2，就化為上一種情況，利用上面的結(jié)果，有當(dāng)e1=e2=e時(shí)，最大撓度與彎矩是式中，

二、邊緣纖維屈服準(zhǔn)則1．有關(guān)概念圖(a)為一根兩端受彎矩Mo作用的壓彎桿件，當(dāng)N與M成比例增加時(shí)，軸力N與桿件中點(diǎn)撓度

的關(guān)系曲線。圖中虛線是把壓彎桿視為完全彈性桿時(shí)的N-曲線，以水平線NE（Euler臨界力）為漸近線，產(chǎn)生彈性失穩(wěn)破壞。實(shí)線代表彈塑性桿的N-曲線。上升段OB為穩(wěn)定階段，下降段BC為失穩(wěn)階段。桿件在極值點(diǎn)B失穩(wěn)。失穩(wěn)時(shí)，構(gòu)件截面邊緣屈服，進(jìn)入塑性階段。對于彈性壓彎桿件，若以截面邊緣纖維開始屈服作為失穩(wěn)準(zhǔn)則，稱為邊緣纖維屈服準(zhǔn)則。這相當(dāng)于曲線上的A點(diǎn)，相應(yīng)的荷載NA稱為邊緣纖維屈服荷載，它是壓彎桿承載力的下限，上限是Nu。2．佩里-羅伯遜(Perry-Robertson)公式是根據(jù)邊緣纖維屈服準(zhǔn)則推導(dǎo)出來的，用于計(jì)算壓彎桿的承載力，現(xiàn)介紹如下。對于壓彎桿件，考慮二階彎矩，由前面的結(jié)果知，壓彎桿的最大彎矩可表示成令，有，又令，則，C稱為彎矩增大系數(shù)。若桿件有初始彎曲變形yo=asin(x/l)，初始中點(diǎn)撓度為a，此時(shí)最大彎矩是由材料力學(xué)知最大彎曲正應(yīng)力是，Mmax/W，W為截面抗彎系數(shù)。根據(jù)邊緣屈服準(zhǔn)則，得荷載偏心距是e=Mo/N，截面核心e’定義為，e’=W/A，則相對偏心率相對初偏心率Euler臨界應(yīng)力；截面平均應(yīng)力。此式可整理成如下幾種形式或，或，此即，佩里-羅伯遜(Perry-Robertson)公式。取m=0，即為具有初始缺陷的軸壓桿的計(jì)算公式。對于偏心受壓桿，若再考慮初偏心eo的影響，由上面結(jié)果知，有或，此為有名的正割公式。取m=0，可用于軸壓桿。式中，相對偏心率(荷載偏心作用引起)

相對初偏心率，。

§2-3壓彎桿件的彈塑性穩(wěn)定性概述由下圖知，壓彎桿件的最大承載力是Nu，這是極限荷載準(zhǔn)則。從彈性極限荷載NA到最大極限荷載Nu的AB段曲線，壓彎桿件處于彈塑性變形階段，橫截面上同時(shí)存在彈性區(qū)與塑性區(qū)。有可能受壓一側(cè)出現(xiàn)塑性區(qū)，也有可能受拉一側(cè)先出現(xiàn)塑性區(qū)，或兩側(cè)同時(shí)出現(xiàn)塑性區(qū)，如右下圖所示。進(jìn)入彈塑性階段以后，壓彎桿件的受力情況與加載過程有關(guān)。如圖2-10所示，設(shè)桿件受軸力N與彎矩M作用，即圖中B點(diǎn)。OB表示比例加載。OB1B表示先作用M，再作用N。OB2B表示先作用N，再作用M。若取OB1B為加載過程，先只有M作用，使桿件兩側(cè)都出現(xiàn)塑性區(qū)，再施加軸力N，則受壓一側(cè)相當(dāng)于加載的情況，應(yīng)取切線模量。而在受拉一側(cè)，相當(dāng)于卸載，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系中應(yīng)取彈性模量。若為比例加載，不會(huì)出現(xiàn)卸載的情況。所以，彈塑性分析較為復(fù)雜，一般而言，應(yīng)根據(jù)以下三個(gè)方面的關(guān)系進(jìn)行求解：(1)平衡微分方程，或，，Mo為橫向力產(chǎn)生的彎矩(2階導(dǎo)數(shù)為橫向分布荷載集度q)。(2)幾何方程，曲率(小變形情況)。

(3)物理方程，即M、N、k之間的關(guān)系，，或，。

一般為非線性關(guān)系。一般只有數(shù)值解。某些簡單情況下，可得到近似的解析解。下面介紹雅若克方法。一、雅若克近似解析法雅若克解法用于計(jì)算矩形截面偏心受壓桿在彎矩作用的平面內(nèi)的極限荷載Nu?；炯僭O(shè)：材料的理想彈塑性的，其應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如右圖a(2)桿件撓度曲線為正弦曲線，圖(b)所示，即，a(3)只考慮桿件中點(diǎn)截面上的內(nèi)力與外力的平衡。下面分偏心距較小、較大及大小偏心的界限等情況分別進(jìn)行討論。1.偏心距較小，只在桿件一側(cè)出現(xiàn)塑性區(qū)圖(d)是中點(diǎn)截面上的應(yīng)力分布。由平截面假設(shè)，截面上的應(yīng)變?nèi)鐖D(e)所示。由平衡條件，得主矢為截面上的軸力主矩為截面上的彎矩假設(shè)撓曲線方程是正弦函數(shù)中點(diǎn)曲率是，

又由圖(e)知，，得出，由圖(c)(d)知，利用這些關(guān)系式，消去c1、d1、g1，可導(dǎo)出壓彎桿件彈塑性階段的so-d方程?；颍瑝簭潡U件彈塑性階段的N-d方程。利用極值條件，或

可求出極限應(yīng)力su與相應(yīng)的中點(diǎn)撓度du。式中，相對偏心率，l為長細(xì)比。

2．偏心距較大，在桿件兩側(cè)出現(xiàn)塑性區(qū)：如下圖由平衡條件，有由，知中點(diǎn)曲率是，又由圖(c)知，

得出，

截面高度利用以上關(guān)系式，消去主矩表達(dá)式中的c2、d2、g2，有大偏心壓彎桿件的N-d方程?；?，，大偏心壓彎桿件的so-d方程。

同樣，由極值條件或，可得so的極值su與d的極值du。

m是相對偏心率，l是長細(xì)比。

兩個(gè)方程是耦合的，隱含的。3．大小偏心的分界條件

小偏心情況時(shí)，c1>d1，即，。當(dāng)時(shí)，為單側(cè)出現(xiàn)塑性區(qū)的極限情況。此時(shí)，c1=d1。由平衡條件，有

即，因此，大小偏心的分界條件是小偏心壓彎桿：大偏心壓彎桿：g1是分界條件下塑性區(qū)的深度。由前面小偏心情況下的平衡關(guān)系式

可解出，壓彎桿處于臨界狀態(tài)時(shí)，由前面小偏心情況下代入上面g1表達(dá)式中，得所以，小偏心的條件是即，再將此式代入前面小偏心情況下的表達(dá)式中，有這就是小偏心情況的判別條件。在用雅若克方法求極限應(yīng)力時(shí)，關(guān)系式是耦合并隱含的，實(shí)際上要進(jìn)行數(shù)值求解。更為直接的方法是數(shù)值積分法。二、數(shù)值積分法數(shù)值積分法是求解微分方程的一種方法，也是目前計(jì)算壓彎桿極限荷載最有效的方法之一。計(jì)算時(shí)先將桿件劃分成若干段，每段長度為Dx，如下圖。利用Taylor展開式Rn為余項(xiàng)0<<1，實(shí)際計(jì)算時(shí)，可近似取=1/2。如果求解的是二階微分方程，可取n+1=2。有，同理可得，此即由前一點(diǎn)的yi與的值，來計(jì)算后一點(diǎn)的yi+1與需要用到該段中點(diǎn)的值。如何計(jì)算，現(xiàn)分彈性與彈塑性壓彎桿的情況的值的遞推公式。進(jìn)行討論。

1．彈性壓彎桿微分方程是對于各段中點(diǎn)，有現(xiàn)研究xi~xi+Dx/2這一段，段長為Dx/2，利用前面的遞推公式，有代入上面微分方程中，可解出至此，根據(jù)桿端條件，從xo開始，利用前面的遞推公式，依次求解出各點(diǎn)撓度y1、y2、…、yn等。撓度曲線已知，則利用前面公式，可計(jì)算出極限荷載或極限應(yīng)力值。求解過程可編成計(jì)算機(jī)程序來完成2．彈塑性壓彎桿采用切線模量理論，平衡微分方程是必須已知應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系曲線，才能確定Et，然后對上面微分方程進(jìn)行求解。不方便。為此，平衡方程可取下面的形式即橫截面上的正應(yīng)力主矢為軸力N。即橫截面上的正應(yīng)力主矩為彎矩M。為此，先將截面劃分為若干單元，如圖。設(shè)單元j的面積為DAj，其上平均應(yīng)力為sj。將上面二式用于桿件各段的中點(diǎn)截面，積分用求和代替，于是有，

設(shè)截面形心處的應(yīng)變?yōu)閑o，桿件各段中點(diǎn)處的曲率為處的應(yīng)變?yōu)?，則單元j形心然后，由應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系(根據(jù)該單元是處在彈性區(qū)還是塑性區(qū)，采用的本構(gòu)關(guān)系有所不同)，求出各單元中點(diǎn)的應(yīng)力，

注意，

先要假定驗(yàn)算二個(gè)平衡方程，不滿足，則不斷調(diào)整即通過一個(gè)迭代過程來確定或整個(gè)計(jì)算過程可編制成計(jì)算機(jī)程序來完成?！?-4工程應(yīng)用一、壓彎桿件的相關(guān)公式關(guān)于壓彎桿件的承載力的計(jì)算，根據(jù)邊緣纖維屈服準(zhǔn)則，得到承載力的下限，偏于保守。極限荷載準(zhǔn)則，從理論上講是合理的，但計(jì)算極限荷載Nu，與截面形狀、各部分尺寸、彎曲方向、初始缺陷等因素有關(guān)，計(jì)算非常復(fù)雜，還與加載過程有關(guān)。所有，沒有一個(gè)適用于各種情況的Nu的計(jì)算公式，工程應(yīng)用上很不方便。目前，計(jì)算壓彎桿件多采用較簡單的相關(guān)公式，稱為聯(lián)合作用公式。當(dāng)軸壓力與彎矩單獨(dú)存在時(shí)桿件的承載力已知，則同時(shí)存在軸力與彎矩時(shí)的承載力必較其單獨(dú)作用時(shí)為小。于是，先由典型情況求出極限荷載大小，然后預(yù)估二者同時(shí)存在時(shí)承載力的大小，再進(jìn)行數(shù)值與實(shí)驗(yàn)驗(yàn)算。相關(guān)公式為一種半經(jīng)驗(yàn)半理論的公式。

1．彈性階段的相關(guān)公式相關(guān)公式的基本形式是從邊緣纖維屈服準(zhǔn)則得到的，根據(jù)該準(zhǔn)則，有式中，，

a為初彎曲引起的中點(diǎn)撓度。若較小，可取C1，不計(jì)初彎曲，

可將上式改造成如下形式考慮初偏心時(shí)，有，式中Np=Afy為全截面屈服時(shí)的最大承載力。Mt=Efy為無軸力情況下截面彈性極限彎矩。若較小，可取C1，不計(jì)初彎曲，

可將上式改造成如下形式以上二式為壓彎桿彈性階段在彎矩作用平面內(nèi)的相關(guān)公式。表示壓彎桿承載力的下限。不考慮初偏心，當(dāng)N=0時(shí)，Mo=Mt。當(dāng)Mo=0時(shí)，N=Np。2．彈塑性階段的相關(guān)公式彈塑性階段的相關(guān)公式，以矩形截面偏心受壓桿，當(dāng)中點(diǎn)