第二章 流體力學(xué)

第二章流體力學(xué)流體力學(xué)流體質(zhì)量元微觀上看為無窮大，不必深入研究流體分子的無規(guī)則熱運(yùn)動；宏觀上看為無窮小的一點(diǎn)，有確定的位置、速度、密度和壓強(qiáng)等；流體動力學(xué)（用P、V、h、等物理量描述）流體靜力學(xué)（用P、F浮、等物理量描述）流體力學(xué)的研究內(nèi)容3§2-1.理想流體§2-2.伯努利方程§2-3.伯肅葉公式和斯托克斯公式§2-4.液體的表面現(xiàn)象4§2-1.理想流體一流體液體和氣體統(tǒng)稱為流體，最鮮明的特征是形狀不定，具有流動性。液體：氣體：易壓縮不易壓縮二壓強(qiáng)面積元兩側(cè)流體相互作用的彈性力方向?yàn)槊嬖獌?nèi)法線方向單位面積上的壓力稱為壓強(qiáng)在靜止流體中任何一點(diǎn)的壓強(qiáng)與過該點(diǎn)面元取向無關(guān).5三粘性與粘度粘性——流體流動時，在內(nèi)部產(chǎn)生的切應(yīng)力。流體流動時，各層流體的流速不同?？鞂颖厝粠勇龑樱龑颖厝蛔铚鞂?。層與層之間的相對滑動，產(chǎn)生內(nèi)摩擦力。zFv0ffvv+dv6四理想流體的概念理想流體——沒有粘性并且不可壓縮的流體。五流速場定常流動拉格朗日的追蹤法——流元、流塊歐拉的速度場法——流場

(流速場)流體力學(xué)理論的主流方法。流速場定常流動流速與時間無關(guān)7流線流管流線：流速場中的一系列假想的曲線。在每一瞬時，曲線上每一點(diǎn)的切線方向與該處流體質(zhì)元的速度方向一致。流管：通過流體內(nèi)閉合曲線上各點(diǎn)的流線所圍成的細(xì)管。由于每一點(diǎn)都有唯一確定的流速，因此流線不會相交，流管內(nèi)外的流體都不會穿越管壁。

六流線與流管8七連續(xù)性方程——體積流量守恒（連續(xù)性方程）流量：流管入口端的流量等于出口端的流量，流管周壁的流量為零?！鱏1△S2v1v2Δt——質(zhì)量流量守恒對于理想流體（或不可壓縮流體）例已知一個水龍頭流出的水柱，高度相距為h的兩處橫截面積分別為S1和S2，求水龍頭的體積流量。10伯努利方程——理想流體作定常流動時的基本方程§2-2.伯努利方程

丹尼爾第一·伯努利瑞士數(shù)學(xué)家、力學(xué)家11——伯努利方程伯努利方程實(shí)質(zhì)上是能量守恒定律在理想流體定常流動中的表現(xiàn)。

嚴(yán)格上說伯努利方程是理想流體定常流動在一根流線上的動力學(xué)方程。

表明壓強(qiáng)、動能體密度、勢能體密度三項(xiàng)之和在流線上各點(diǎn)處處相等，保持為一恒量。注意：12伯努利方程的應(yīng)用1.流速與壓強(qiáng)的關(guān)系由于水平放置，流體的平均高度相同，故連續(xù)性方程的結(jié)果代入上式就得到簡單易記的話：流速大，壓強(qiáng)?。涣魉傩?，壓強(qiáng)大。如果即則1314飛機(jī)機(jī)翼周圍的空氣是如何流動的假設(shè)在機(jī)翼右方的空氣是水平方向以速度v1向左運(yùn)動的，如圖。這一分析與伯努利原理是一致的。機(jī)翼上方空氣流速較下方流速大，因而機(jī)翼上方的壓強(qiáng)小，下方的壓強(qiáng)大，結(jié)果產(chǎn)生一個向上的力，即升力。由于機(jī)翼傾斜，流經(jīng)機(jī)翼的流線向下偏移，如圖中的v2。這兩個矢量之差v2-

v1正是指向機(jī)翼對空氣的作用力的方向。根據(jù)牛頓第三定律，空氣對機(jī)翼施加大小相等、方向相反的反作用，如圖中的F。這個力的垂直分量正是飛機(jī)的升力(lift)。旋轉(zhuǎn)的球帶動空氣形成環(huán)流，一側(cè)氣流加速，另一側(cè)減速，形成壓差力，使足球拐彎，稱為馬格努斯效應(yīng)。162.流量和流速水面壓強(qiáng)為p2，水槽橫截面積為A2，液面處水的流速為v2。水槽底部與一水管相連。水管橫截面積為A1，閥門與水槽水面相距h。由于開啟閥門時,水塔水面下降緩慢,所以，根據(jù)伯努利方程，有開啟閥門時水的流速等于多少呢？17如果水塔頂部與大氣相連通，開閥后出口處也是一個大氣壓，即那么這時出口處水流速度與自由落體速度相等。（測量管道中液體體積流量）如左圖所示。當(dāng)理想流體在管道中作定常流動時，由伯努利方程文丘里流量計(jì)

由連續(xù)性原理又管道中的流速hSASB由伯努利方程從U形管中左右兩邊液面高度差可知為U形管中液體密度，為流體密度。比多管

由上兩式得較適合于測定氣體的流速。常用如圖示形式的比多管測液體的流速hhABAB

例1某水手想用木板抵住船艙上一個漏水的洞，但力氣不足，木板總是被水沖開。后來在另一個水手的幫助下，將木板緊壓住漏水的孔以后，他就可以一個人抵住木板了。試解釋其原因。例2

如用一個5cm2截面均勻的虹吸管從截面極大的容器中把水吸出。虹吸管最高點(diǎn)在水面上120cm處，出口在水面下60cm處。求:（1）出口處水的流速

（2）穩(wěn)恒流動時管內(nèi)最高點(diǎn)的壓強(qiáng)例3把實(shí)驗(yàn)動物一根大動脈中流動的血液，轉(zhuǎn)換到截面不均勻的小管中。小管寬部分的面積S1=0.08cm2,它等于這根動脈的橫截面積。小管窄的部分橫截面積為S2=0.04cm2。小管水平，小管中的壓強(qiáng)降落是25Pa。求:動脈中血液流動的速度。（血液看作理想流體，血液的密度是1059.5kg/m3）利用伯努利方程解題的一般步驟1、列出伯努利方程連續(xù)性方程：與大氣直接接觸：2、找到其它化簡條件，常見的有：容器截面積很大：兩點(diǎn)高度相同：無項(xiàng)3、解出所求物理量（等）24層流與湍流層流：流體運(yùn)動規(guī)則，各層流動互不摻混，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌線是光滑，而且流場穩(wěn)定。湍流：流體運(yùn)動極不規(guī)則，各部分激烈摻混，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌線雜亂無章，而且流場極不穩(wěn)定。§2-3.伯肅葉公式和斯托克斯公式25牛頓內(nèi)摩擦定律流體流動時，各層流體的流速不同?？鞂颖厝粠勇龑樱龑颖厝蛔铚鞂?。層與層之間的相對滑動，產(chǎn)生內(nèi)摩擦力。zFv0ffvv+dv——粘度系數(shù)或粘度單位：牛·秒/米2，N·s/m2或Pa·s26一哈根—伯肅葉公式水平管道定常流動l——哈根—伯肅葉公式27二粘性阻力——斯托克斯公式當(dāng)物體速度不大時，粘滯阻力與速度成正比k取決于粘滯系數(shù)和物體幾何形狀對于半徑為r的小球，如圖小球所受粘滯阻力——斯托克斯公式一個質(zhì)量為m帶電量為q的油滴處在二塊平行板之間，在平行板未加電壓時，油滴受重力的作用而加速下降，由于空氣阻力f的作用，下降一段距離后，油滴將勻速運(yùn)動，速度為Vg，此時f與mg平衡。由斯托克斯定律知，受力平衡條件為：mgfd式中η為空氣粘滯系數(shù)，a為油滴的半徑。qEmgfd+_U然后在平行板上加電壓U，油滴處在場強(qiáng)為E

的靜電場中，其所受靜電場力qE與重力mg方向相反。當(dāng)qE大于mg時，油滴加速上升，由于f

的作用，上升一段距離后，將以Ve的速度勻速上升，于是有

由上式可知，為了測定油滴所帶的電荷量q，需要測平行板上所加電壓U、兩塊平行板之間距離d、油滴勻速下降和上升的速度Vg、Ve，以及油的密度ρ。

根據(jù)上述方程可解得測出右側(cè)諸量即可得到q。密立根發(fā)現(xiàn)測得的電量總是某基本值的整數(shù)倍。求出最大公約數(shù)即獲得電子電量。密立根測得電子電荷為(1.601±0.002)×10-19C云、霧的形成同樣是小水滴，雨滴降落到地面，而云霧卻浮在空中常溫下空氣的粘度約為18.2×10-6Pa·s，云霧中水滴的大小約為10-6m

可見，小水滴的極限速度極小，可以視為靜止的，因此云霧可以浮在空中。如果水滴較大，空氣就無法將其托住，因此以雨的形式落到地面。32三雷諾數(shù)定義：——雷諾數(shù)，——流體密度和粘度v，l——由流場特點(diǎn)決定的特征速度和特征長度雷諾數(shù)超過某一臨界值時，層流將轉(zhuǎn)變成湍流，即存在一個所謂臨界雷諾數(shù)Re*。流動是層流流動是湍流流體的相似性原理（對不可壓縮流體）外部條件幾何相似時(幾何相似的管子，流體流過幾何相似的物體等)，若它們的雷諾數(shù)相等，則流體流動狀態(tài)也是幾何相似的。不同雷諾數(shù)下流體的流動卡門渦街達(dá)朗貝爾佯謬

當(dāng)流體有黏滯性時，流體邊緣的固體表面處流體的相對速度總等于零，說明在表面處的流速梯度不為零，這一層稱為邊界層。當(dāng)流速增大，或雷諾數(shù)增大時，環(huán)繞物體的流線會在某個地方脫離壁面，形成渦旋,如（b）稱之為流線剝離。如果流線過早的從壁面剝離，將會對處于流體中的固體產(chǎn)生很大的阻力，對利用流體運(yùn)動的物體不利，為減小阻力，不僅要減小垂直于流體的橫截面積，而且，要將物體設(shè)計(jì)為流線型。高爾夫球運(yùn)動起源于15世紀(jì)的蘇格蘭。起初，人們認(rèn)為表面光滑的球飛行阻力小，因此當(dāng)時用皮革制球。最早的高爾夫球（皮革已龜裂）后來發(fā)現(xiàn)表面有很多劃痕的舊球反而飛得更遠(yuǎn)。這個謎直到20世紀(jì)建立流體力學(xué)邊界層理論后才解開。光滑的球表面有凹坑的球§2-4.液體的表面現(xiàn)象一、液體的微觀結(jié)構(gòu)

液體分子間作用力顯著。宏觀上表現(xiàn)為不易壓縮性。液體分子在平衡位置附近做振動和在液體內(nèi)移動。液體分子在每一個平衡位置上振動的時間。分子的定居時間：不同液體，隨著溫度、壓強(qiáng)的不同，定居時間不同。當(dāng)外力作用時間大于定居時間表現(xiàn)為液體的流動性當(dāng)外力作用時間小于定居時間表現(xiàn)為固體所特有的彈性形變、脆性斷裂等力學(xué)現(xiàn)象

在液體與氣體的分界面處厚度等于分子有效作用半徑的那層液體稱為液體的表面。二、液體的表面張力現(xiàn)象及微觀本質(zhì)

液體表面像張緊的彈性膜一樣，具有收縮的趨勢。（1）毛筆尖入水散開，出水毛聚合；（2）水黽能夠站在水面上；（3）硬幣能夠放在水面上；（4）荷花上的水珠呈球形；（5）肥皂膜的收縮；

液體表面具有收縮趨勢的力，這種存在于液體表面上的張力稱為表面張力。說明：①力的作用是均勻分布的，力的方向與液面相切；②液面收縮至最小。三、表面張力系數(shù)從力的角度定義AB(1)(2)ff’AB(2)f(1)f’

從做功的角度定義ffFF做功為：△S指的是這一過程中液體表面積的增量，所以：

表示增加單位表面積時，外力所需做的功

稱為表面張力系數(shù)，表示單位長度直線兩旁液面的相互作用拉力，在國際單位制中的單位為N

·m-1

。1、表面張力系數(shù)的定義從表面能的角度定義

由能量守恒定律，外力F

所做的功完全用于克服表面張力，從而轉(zhuǎn)變?yōu)橐耗さ谋砻婺?/p>

△E

儲存起來，即：所以：

表示增大液體單位表面積所增加的表面能2、表面張力系數(shù)的基本性質(zhì)（1）不同液體的表面張力系數(shù)不同，密度小、容易蒸發(fā)的液體表面張力系數(shù)小。（2）同一種液體的表面張力系數(shù)與溫度有關(guān)，溫度越高，表面張力系數(shù)越小。（3）液體表面張力系數(shù)與相鄰物質(zhì)的性質(zhì)有關(guān)。（4）表面張力系數(shù)與液體中的雜質(zhì)有關(guān)。表面張力系數(shù)的測定拉脫法拉脫法測量液體表面張力系數(shù)的實(shí)驗(yàn)儀器——焦利秤。水膜的對金屬框的作用力為

當(dāng)拉起的水膜處于即將破裂的狀態(tài)時，兩個表面近似在豎直平面內(nèi)，此時用焦利秤對金屬框的作用力：則液體表面的張力系數(shù)：

將質(zhì)量為

m的待測液體吸入移液管內(nèi)，然后讓其緩慢地流出。

當(dāng)液滴即將滴下時，表面層將在頸部發(fā)生斷裂。此時頸部表面層的表面張力均為豎直向上，且合力正好支持重力。液滴測定法測得斷裂痕的直徑為d

，移液管中液體全部滴盡時的總滴數(shù)為n

，則每一滴液體的重量為：所受的表面張力為：則有即則大水滴的面積為例解設(shè)小水滴數(shù)目為n，n個小水滴的總面積為在融合過程中，小水滴的總體積與大水滴的體積相同，則

表面張力系數(shù)求所釋放出的能量溶合過程中釋放的能量

半徑為r=2×10-3mm的許多小水滴融合成一半徑為R=2mm的大水滴時。(假設(shè)水滴呈球狀，水的表面張力系數(shù)=7.3×10-3N·m-1在此過程中保持不變)

表面張力的微觀本質(zhì)是表面層分子之間相互作用力的不對稱性引起的。

從能量的角度來解釋表面張力存在的原因。

分別以液體表面層分子A

和內(nèi)部分子B為球心、分子有效作用距離為半徑作球（分子作用球）。

對于液體內(nèi)部分子B，分子作用球內(nèi)液體分子的分布是對稱的；ABB

從統(tǒng)計(jì)上講，其受力情況也是對稱的，所以沿各個方向運(yùn)動的可能性相等。

對于液體表面層的分子A，分子作用球中有一部分在液體表面以外，分子作用球內(nèi)下部液體分子密度大于上部；

當(dāng)液體內(nèi)部分子移動到表面層中時，就要克服上述指向液體內(nèi)部的分子引力作功，這部分功將轉(zhuǎn)變?yōu)榉肿酉嗷プ饔玫膭菽?。所以液體表面層分子比液體內(nèi)部分子的相互作用勢能大。

由勢能最小原則，在沒有外力影響下，液體應(yīng)處于表面積最小的狀態(tài)。從力的角度看，就是有表面張力存在。

統(tǒng)計(jì)平均效果所受合外力指向液體內(nèi)部，因此有向液體內(nèi)部運(yùn)動的趨勢。AfL彎曲液面的附加壓強(qiáng)

對于彎曲液面來說，由于液體表面張力的存在，在靠近液面的兩側(cè)就形成一壓強(qiáng)差，稱為附加壓強(qiáng)。其中為液面內(nèi)側(cè)的壓強(qiáng)，為液面外側(cè)的壓強(qiáng)。一、彎曲液面的附加壓強(qiáng)

表面層中取一小薄層液片分析其受力情況（忽略其所受的重力），ffP0P1=P0Δs即水平液面:可知

分析小薄層液片受力情況，表面張力的合力的方向指向液外

分析小薄層液片受力情況，表面張力的合力的方向指向液體內(nèi)部即fΔSP0PsP2凹形液面：PsP3所以表面張力的合力方向不同，決定了是還是凸形液面：f所以ffP0ΔS=P0+Ps=P0-Ps二、球形液面的附加壓強(qiáng)df//df⊥dfrABCR（定量關(guān)系）

球形彎曲液面的附加壓強(qiáng)與表面張力系數(shù)成正比，與液面的曲率半徑成反比。如圖，在凸液面上取一微小球冠dl同理可證，對于凹液面對球冠做受力分析可得例1已知大氣壓強(qiáng)為P0，求半徑為R的液泡內(nèi)氣體的壓強(qiáng)。R解球形液膜，兩個球形面的半徑近似相等CAB液膜外表面為凸液面，有液膜內(nèi)表面為凹液面，有所以附加壓強(qiáng)為球形液泡內(nèi)氣體的壓強(qiáng)為例2

如圖所示的裝置中，連通管活塞關(guān)閉，左右兩端吹成一大一小兩個氣泡。如果打開連通管，氣體會怎么運(yùn)動？由肥皂泡內(nèi)外氣體壓強(qiáng)差打開連通管后氣體將從B

流向A

。

由于

所以在水下深度為30cm

處有一直徑d=0.02mm的空氣泡。設(shè)水面壓強(qiáng)為大氣壓P0=1.013×105Pa,ρ水=1.0×103kg·m-3,α水=7.2×10-3N·m-1。氣泡內(nèi)空氣的壓強(qiáng)。解例3求dhP0=1.186×105Pa與固體接觸處液面的性質(zhì)一、潤濕和不潤濕附著層：在液體與固體接觸面上厚度為液體分子有效作用半徑的液體層。是由附著層分子力引起的潤濕不潤濕內(nèi)聚力：液體內(nèi)部分子對附著層內(nèi)液體分子的吸引力附著力：固體分子對附著層內(nèi)液體分子的吸引力

潤濕和不潤濕決定于液體和固體的性質(zhì)。內(nèi)聚力大于附著力A不潤濕內(nèi)聚力小于附著力A潤濕

液體對固體的潤濕程度由接觸角來表示。接觸角：在液、固體接觸時，固體表面經(jīng)過液體內(nèi)部與液體表面所夾的角通常用θ

來表示。液體潤濕固體；當(dāng)時，當(dāng)時，液體不潤濕固體；當(dāng)時，液體完全潤濕固體；當(dāng)時，液體完全不潤濕固體；θ潤濕θ不潤濕毛細(xì)現(xiàn)象

將細(xì)的管插入液體中，如果液體潤濕管壁，液面成凹液面，液體將在管內(nèi)升高；如果液體不潤濕管壁，液面成凸液面，液體將在管內(nèi)下降。這種現(xiàn)象稱為毛細(xì)現(xiàn)象。hh能夠產(chǎn)生毛細(xì)現(xiàn)象的細(xì)管稱為毛細(xì)管。毛細(xì)現(xiàn)象產(chǎn)生的原因

毛細(xì)現(xiàn)象是由于潤濕或不潤濕現(xiàn)象和液體表面張力共同作用引起的。固體液體如果液體對固體潤濕，則接觸角為銳角。固體液體h如果液體對固體不潤濕，則接觸角為鈍角。

h—朱倫公式毛細(xì)永動機(jī)能否制造出來？由可知：

液體沿毛細(xì)管（液體潤濕管壁）“自動地”上升的高度似乎與毛細(xì)管的實(shí)際高度沒有關(guān)系。

如果毛細(xì)管的實(shí)際高度h0比液體上升的高度h小，液體能否自動從管子中流出來形成“毛細(xì)永動機(jī)”？h實(shí)際上，毛細(xì)永動機(jī)是不可能存在的。P0AP0液體潤濕管壁會產(chǎn)生一定的接觸角θ

，形成凹形液面，從而產(chǎn)生一定的附加壓強(qiáng)，即

A

點(diǎn)的壓強(qiáng)，在大氣壓的作用下，液面會上升；如果毛細(xì)管露出水面的長度足夠，液面會上升。hP0A

如果毛細(xì)管露出水面的長度h0<h

，則當(dāng)液體上升到管口時，液面的曲率半徑將增大，從而附加壓強(qiáng)減小，PA

增大。h0P0A

當(dāng)曲率半徑增大到時，

A

點(diǎn)壓強(qiáng)增大到，液面不再上升。

因此，即使毛細(xì)管的實(shí)際高度

h0比液體上升的高度

h

小，也不會形成毛細(xì)永動機(jī)。

逐漸增大右端的壓強(qiáng)，剛開始液滴并不移動，只是右液面的曲率半徑減?。恢挥挟?dāng)壓強(qiáng)增量超過一定的限度時，液滴才開始移動。氣體栓塞現(xiàn)象PPPP＋

△PPP+ΔPP+2ΔP如果要使這n個液滴移動，則最右端必須施以大于P+nΔP

的壓強(qiáng)。P+3ΔPP+nΔP例把一個兩端開口的毛細(xì)管中滴入一滴水后將它豎直放置，已知毛細(xì)管半徑為r

，水柱高度為h。假定水可以完全潤濕毛細(xì)管，毛細(xì)管的上下液面各是什么形狀？因?yàn)樗芡耆珴櫇衩?xì)管，因此上液面必然凹向液體。BCADh根據(jù)液柱高度不同，下液面可分為三種情況：(1)如，下液面凹向液體內(nèi)部(2)如，下液面是平的(3)如