第十一章在險(xiǎn)價(jià)值(金融工程廈大,鄭振龍)

第十一章

在險(xiǎn)價(jià)值在險(xiǎn)價(jià)值的定義單一資產(chǎn)的在險(xiǎn)價(jià)值計(jì)算投資組合的在險(xiǎn)價(jià)值計(jì)算

衍生工具的在險(xiǎn)價(jià)值

蒙特卡羅模擬

歷史模擬

壓力測(cè)試和回溯測(cè)試Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*第一節(jié)在險(xiǎn)價(jià)值的定義

一、在險(xiǎn)價(jià)值的定義目前通常采用的定義為：在險(xiǎn)價(jià)值是按某一確定的置信度，對(duì)某一給定的時(shí)間期限內(nèi)不利的市場(chǎng)變動(dòng)可能造成投資組合的最大損失的一種估計(jì)。更通俗地說(shuō)VaR是要在給定的置信度（典型的置信度為95％、97.5％、99％等等）下衡量給定的資產(chǎn)或負(fù)債（即投資組合）在一段給定的時(shí)間內(nèi)（針對(duì)交易活動(dòng)的時(shí)間可能選取為一天，而針對(duì)投資組合管理的時(shí)間則可能選取為一個(gè)月）可能發(fā)生的最大（價(jià)值）損失。VaR

是一種對(duì)可能實(shí)現(xiàn)的價(jià)值損失的估計(jì),而不只是一種“賬面”損失估計(jì)。

Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*

假設(shè)一個(gè)基金經(jīng)理希望在接下來(lái)的10天時(shí)間內(nèi)存在95%概率其所管理的基金價(jià)值損失不超過(guò)$1,000,000。則我們可以將其寫作：

,

其中為投資組合價(jià)值的變動(dòng)。用符合表示,

（11.1）其中為置信度,在上述的例子中是95%。實(shí)際上，在VaR中詢問(wèn)的問(wèn)題是“我們有

X%的信心在接下來(lái)的

T個(gè)交易日中損失程度將不會(huì)超過(guò)多大的”?

Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*

二、選擇合適的VaR參數(shù)要使用VaR就必須選擇定義中的兩個(gè)參數(shù)——時(shí)間長(zhǎng)度T和置信度X%。（一）時(shí)間長(zhǎng)度

在選擇合適的時(shí)間長(zhǎng)度參數(shù)時(shí)必須考慮下列三個(gè)主要因素：1、新交易發(fā)生的頻率。如果新交易對(duì)投資組合的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)有很大的影響，選擇太長(zhǎng)的時(shí)間長(zhǎng)度就沒(méi)有太大的意義，因?yàn)橥顿Y組合的市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)在達(dá)到我們所設(shè)定的風(fēng)險(xiǎn)水平之前已可能發(fā)生顯著的變化。Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*

2、收集市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)數(shù)據(jù)的頻率。雖然金融機(jī)構(gòu)可以每天至少一次確認(rèn)其大部分投資組合，但對(duì)非金融性公司而言，正常的只能進(jìn)行月度或季度報(bào)告。因此，一般性企業(yè)更可能采用月度、季度、半年或年度VaR。3、對(duì)風(fēng)險(xiǎn)頭寸套期保值（對(duì)沖）的頻率。另外一個(gè)需考慮的因素就是可以接受的費(fèi)用水平。因?yàn)樵诳焖賹?duì)風(fēng)險(xiǎn)進(jìn)行套期保值以避免更大損失和保值成本之間必須加以權(quán)衡。否則，保值的頻率越快反而可能造成損失越大。如果套期保值的費(fèi)用成本超過(guò)保值要避免的風(fēng)險(xiǎn)損失，這樣的保值就毫無(wú)意義。在金融機(jī)構(gòu)中，內(nèi)部VaR的計(jì)算最常選用1天的時(shí)間期限。國(guó)際清算銀行規(guī)定的作為計(jì)算銀行監(jiān)管資本的VaR的時(shí)間期限為10天。Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*

（二）置信度X%

如圖11.1所示（橫軸表示投資組合價(jià)值變化范圍，而縱軸表示變化發(fā)生的概率），就是要在圖中找到如向下箭頭表示的位置，該位置使得價(jià)值變化的95％落在右邊而5％落在左邊，這個(gè)位置上的橫軸數(shù)值就是VaR的值。

95％置信度的含意是我們預(yù)期100天中只有5天的損失會(huì)超過(guò)對(duì)應(yīng)的VaR值。但必須知道的是VaR并沒(méi)有告訴我們?cè)诳赡艹^(guò)VaR損失的時(shí)間內(nèi)（如95％置信度的5/100天中；或99％的1/100天中）的實(shí)際損失會(huì)是多少。

Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*

三、VaR的使用VaR的最大特點(diǎn)是：它用一個(gè)單一的數(shù)字捕捉住了風(fēng)險(xiǎn)的一個(gè)重要方面；它容易理解；它詢問(wèn)簡(jiǎn)單的問(wèn)題:

“情況究竟有多糟糕”?Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*

應(yīng)用1、金融機(jī)構(gòu)2、監(jiān)管機(jī)構(gòu)要求金融機(jī)構(gòu)為防范金融風(fēng)險(xiǎn)保證達(dá)到最低資本金要求。3、非金融機(jī)構(gòu)集中式風(fēng)險(xiǎn)管理對(duì)于任何具有金融風(fēng)險(xiǎn)暴露的公司都是非常有用的。在險(xiǎn)現(xiàn)金流分析（cashflowatriskanalysis）能為企業(yè)提供可能面臨資金短缺的臨界值。Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*

4、機(jī)構(gòu)投資者機(jī)構(gòu)投資者現(xiàn)在也開始采用VaR來(lái)管理他們的金融風(fēng)險(xiǎn)。尤其是在險(xiǎn)資本（capitalatrisk）的概念已被機(jī)構(gòu)投資者廣泛接受。VaR不是萬(wàn)能的，它主要針對(duì)的是金融市場(chǎng)風(fēng)險(xiǎn)。VaR是在假定正態(tài)分布的市場(chǎng)環(huán)境中計(jì)算出來(lái)的,這意味著不考慮像市場(chǎng)崩盤這類極端的市場(chǎng)條件。因此,VaR度量的是機(jī)構(gòu)日常經(jīng)營(yíng)期間預(yù)期能夠發(fā)生的情況。VaR的計(jì)算至少需要下列數(shù)據(jù):投資組合中所有資產(chǎn)的現(xiàn)價(jià)和波動(dòng)率以及它們相互之間的相關(guān)關(guān)系。通常，假定投資組合構(gòu)成的變動(dòng)是隨機(jī)的并服從正態(tài)分布。Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*第二節(jié)單一資產(chǎn)的在險(xiǎn)價(jià)值計(jì)算

假設(shè)我們持有某一股票，其價(jià)值為S

，年波動(dòng)率為σ。我們想要知道在接下來(lái)一個(gè)星期內(nèi)具有99%確定性的最大可能損失是多少。一、波動(dòng)率換算

在期權(quán)定價(jià)中我們將波動(dòng)率表示成年波動(dòng)率，在計(jì)算VaR中，我們將波動(dòng)率表達(dá)成日波動(dòng)率或周波動(dòng)率。則有：

Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*

二、單個(gè)資產(chǎn)在險(xiǎn)價(jià)值（VaR）的計(jì)算

我們必須計(jì)算出對(duì)應(yīng)1%=(100-99)%分布最左邊的尾部位置。我們只需計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中的對(duì)應(yīng)位置,由于任何一個(gè)正態(tài)分布我們都可以通過(guò)因子換算來(lái)得到。即N(x)=0.01，其中為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累計(jì)函數(shù)。設(shè)的逆函數(shù)（如圖11.4所示），則。參閱表11.1,我們得到99%置信度對(duì)應(yīng)于均值的

2.33個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差（實(shí)際上，我們可以通過(guò)查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的累計(jì)函數(shù)N表來(lái)獲得）。既然我們持有價(jià)值為S的股票，VaR被確定為：

Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*

一般地，如果時(shí)間期限是T（以天為單位），而要求的置信度是X％

,我們有：（11.2）

其中為單位股票日收益率在險(xiǎn)價(jià)值(DEaR）；

為股票收益率的日波動(dòng)率（標(biāo)準(zhǔn)差）。Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*

在(11.2)中我們假定股票的收益率具有均值為零的正態(tài)分布。零均值的假定對(duì)很短時(shí)間期限是有效的:收益率的標(biāo)準(zhǔn)差按時(shí)間的平方根比例變化，但均值按時(shí)間本身的比例變化。對(duì)于較長(zhǎng)的時(shí)間期限，收益率（如同人們所希望的）以時(shí)間的比例量向右移。因此，對(duì)于較長(zhǎng)的時(shí)間度量，表達(dá)式(11.2)應(yīng)該考慮對(duì)資產(chǎn)價(jià)值的漂移加以修正。如果這個(gè)漂移率為μ，那么(11.2)式變成

(11.3)注意我們采用的是實(shí)際漂移率，而不是風(fēng)險(xiǎn)中性下的漂移率。在本章的其余部分中我們不必為這樣的調(diào)整而感到憂慮。Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*

例11.1我們持有一個(gè)價(jià)值為

$100萬(wàn)的X公司的股票頭寸，X公司股票的日波動(dòng)率為

3%(約為年48%)，假定該投資組合的價(jià)值變動(dòng)是正態(tài)分布的并且投資組合價(jià)值的預(yù)期變動(dòng)為零

(這對(duì)很短的時(shí)間期限是正確的)，計(jì)算10天時(shí)間置信度為99％的在險(xiǎn)價(jià)值。

在這個(gè)例子中我們使用T=10和X=99，，S=$1,000,000。也就是說(shuō)我們關(guān)心的是10天內(nèi)置信度為99%的可能最大損失。根據(jù)公式（11.2），我們有VaR為：

Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*第三節(jié)

投資組合的在險(xiǎn)價(jià)值計(jì)算

假定：投資組合的價(jià)值變化與市場(chǎng)標(biāo)的變量的價(jià)值變化是線性相關(guān)的；并且市場(chǎng)標(biāo)的變量的價(jià)值變化是正態(tài)分布的。則我們只要知道投資組合中所有資產(chǎn)的波動(dòng)率及它們之間的相關(guān)系數(shù)，那么我們能為整個(gè)的投資組合計(jì)算VaR。一、線性模型設(shè)投資組合由M個(gè)資產(chǎn)所組成。第i

個(gè)資產(chǎn)的價(jià)值為，波動(dòng)率是，而第i

個(gè)資產(chǎn)和第

j

個(gè)資產(chǎn)之間的相關(guān)系數(shù)是(其中=1)。因此，該投資組合價(jià)值一天的變動(dòng)為：

Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*

其中為第i個(gè)資產(chǎn)一天的價(jià)值變動(dòng)率，而為常數(shù)。根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)的標(biāo)準(zhǔn)結(jié)論，投資組合的方差為：投資組合的VaR是：

Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*

二、線性模型的適用范圍

股票的投資組合；債券的投資組合；外匯的投資組合；商品實(shí)物的投資組合；外匯遠(yuǎn)期合約的投資組合；利率互換和貨幣互換的投資組合；由上述工具共同構(gòu)成的投資組合。

Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*第四節(jié)衍生工具的在險(xiǎn)價(jià)值

一、Delta近似考慮一個(gè)由單一的標(biāo)的證券S的衍生證券組成的投資組合

其中f是期權(quán)的價(jià)值，S是基本標(biāo)的證券的價(jià)值。

對(duì)于存在著多個(gè)基本標(biāo)的市場(chǎng)變量時(shí)，類似地有Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*二、Delta-Gamma近似

對(duì)于基本標(biāo)的證券價(jià)格的微小移動(dòng)delta近似值是令人滿意的。而對(duì)于較大的變動(dòng)，更高階的近似可以達(dá)到更好的效果，這就要將Gamma效應(yīng)或凸性效應(yīng)結(jié)合進(jìn)去。

假如我們的投資組合由一個(gè)股票的期權(quán)組成。

由于我們假定

取自一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*

還可重寫作對(duì)于一階項(xiàng)，期權(quán)的隨機(jī)價(jià)值只是基本標(biāo)的證券價(jià)值的一種簡(jiǎn)單比例關(guān)系。對(duì)于二階項(xiàng)，由于S的確定性漂移率和期權(quán)的Theta，存在一個(gè)確定性的漂移率。然而，更重要的是

Gamma效應(yīng)引入了一項(xiàng)使

的隨機(jī)成分是非線性的。

從這個(gè)圖中我們可以看到用

Delta/Gamma近似得到的分布遠(yuǎn)非是一個(gè)正態(tài)分布。

Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*

由于表達(dá)式

(11.7)是的一個(gè)二次方程，必須滿足下列約束條件

或在下面的情況下達(dá)到極端值：

一個(gè)明顯的結(jié)論是正的

Gamma對(duì)一個(gè)投資組合是好的，而負(fù)的

Gamma是不好的。具有一個(gè)正的

Gamma下側(cè)是有限的，但是具有一個(gè)負(fù)的

Gamma則是上側(cè)是有限的。

Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*三、二次方程模型

先考慮一個(gè)基于單個(gè)資產(chǎn)的期權(quán)組合，設(shè)該資產(chǎn)價(jià)格為S，投資組合的Delta為，Gamma為。對(duì)投資組合價(jià)值變化運(yùn)用Taylor展開式記則Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*

將上式擴(kuò)展到包括M個(gè)市場(chǎng)變量的投資組合的情況，則公式變成：

是第i種市場(chǎng)變量的價(jià)值，和是第i種市場(chǎng)變量的Delta和Gamma值。設(shè)則Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*四、估計(jì)模型的運(yùn)用

對(duì)待有關(guān)非線性證券問(wèn)題的有效辦法是對(duì)基本標(biāo)的證券價(jià)格的隨機(jī)行為采用模擬方法，然后運(yùn)用估價(jià)公式或算法來(lái)推導(dǎo)整個(gè)投資組合變動(dòng)的分布。缺點(diǎn)：運(yùn)算非常慢。

Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*五、固定收益投資組合

當(dāng)資產(chǎn)或投資組合依賴于利率時(shí)，則通常將每個(gè)工具的到期收益率視為是正態(tài)分布的變量。價(jià)格與到期收益率變動(dòng)之間的關(guān)系通過(guò)久期（和高階凸性）聯(lián)系在一起的。固定收益資產(chǎn)可以視為到期收益率的一種衍生證券。因此，VaR

的估計(jì)顯然將采用久期代替Delta（和凸性代替Gamma）的做法。Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*第五節(jié)蒙特卡羅模擬蒙特卡羅模擬是使用隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生收益率及/或資產(chǎn)價(jià)格的一個(gè)分布。

該技術(shù)也可應(yīng)用在VaR中:使用取自正態(tài)分布的隨機(jī)數(shù)來(lái)建立將來(lái)情景的一個(gè)分布。對(duì)于這些情景中的每一分布運(yùn)用某種定價(jià)方法計(jì)算投資組合的價(jià)值（基本標(biāo)的資產(chǎn)和其期權(quán)的價(jià)值），然后直接估計(jì)它的VaR。以前面的公式（11.10）為例，我們假定投資組合價(jià)值變化與基本標(biāo)的價(jià)格變化率之間存在Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*

（11.10）的關(guān)系。如果我們希望計(jì)算一天的VaR值，蒙特卡羅模擬的步驟為：1、利用當(dāng)天市場(chǎng)各變量現(xiàn)值計(jì)算投資組合的價(jià)值。2、從的多變量正態(tài)概率分布中進(jìn)行抽樣。3、用抽樣得到的值模擬計(jì)算下一日各市場(chǎng)變量的價(jià)值。4、利用這些模擬的市場(chǎng)變量?jī)r(jià)值，根據(jù)公式（11.10）就可計(jì)算得到的一個(gè)樣本值。5、不斷重復(fù)第二步到第四步，就能得到的模擬概率分布。VaR值就是這個(gè)概率分布的一個(gè)合適的分位數(shù)。

Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*第六節(jié)歷史模擬1、建立一個(gè)數(shù)年所有市場(chǎng)變量的日變動(dòng)數(shù)據(jù)庫(kù)。2、第一次模擬是假設(shè)每個(gè)市場(chǎng)變量的波動(dòng)率與數(shù)據(jù)庫(kù)覆蓋時(shí)段的第一天的相應(yīng)變量的波動(dòng)率相同。3、第二次模擬則假設(shè)各市場(chǎng)變量的波動(dòng)率與數(shù)據(jù)庫(kù)覆蓋時(shí)段的第二天相應(yīng)變量的波動(dòng)率相同，4、依此類推。每次模擬就可以計(jì)算出一個(gè)投資組合的樣本值。通過(guò)這種方式，我們創(chuàng)造了一個(gè)基于歷史數(shù)據(jù)的將來(lái)可能情景的一個(gè)分布。通過(guò)這種做法我們確保能夠抓住任何資產(chǎn)之間可能有的相關(guān)關(guān)系。VaR值可以通過(guò)找到合適的的概率分布中的分位數(shù)來(lái)得到。

Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*

優(yōu)點(diǎn)：自然地將資產(chǎn)相互之間的任何相關(guān)關(guān)系以及資產(chǎn)價(jià)格變動(dòng)的任何非正態(tài)性結(jié)合在其中，并精確地反映了市場(chǎng)的歷史概率分布。缺點(diǎn)：1.無(wú)法抓住數(shù)據(jù)中的任何自相關(guān)性，然而，基本形式的蒙特卡羅模擬也同樣無(wú)法做到這點(diǎn)。

2.需要大量的歷史數(shù)據(jù)，而這些數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的經(jīng)濟(jì)環(huán)境可能與目前的環(huán)境完全不同。

Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*第七節(jié)

壓力測(cè)試和回溯測(cè)試

一、壓力測(cè)試

(一)極端值理論：極端值理論在風(fēng)險(xiǎn)度量方面幫助量化了兩個(gè)關(guān)鍵的度量：1、“X”年收益率大小。2、給定VaR的超額損失。(二)情景分析：依靠主觀判斷，公司主要關(guān)心和憂慮的事件，以及建立在簡(jiǎn)單的對(duì)歷史收益系列及事件的觀察基礎(chǔ)上。設(shè)定和使用可能的將來(lái)經(jīng)濟(jì)情景來(lái)測(cè)試它們對(duì)資產(chǎn)投資組合損益的影響。

Copyright?Zhenlong

Zheng2003DepartmentofFinance,XiamenUniversity,*

(三)歷史模擬

歷史模擬是把真實(shí)的歷史事件運(yùn)用到現(xiàn)在的資產(chǎn)投資組合上。容易找到最嚴(yán)重?fù)p失發(fā)生在什么情況下，并識(shí)別是什么樣的價(jià)格變動(dòng)導(dǎo)致了這個(gè)極端損失變得更容易。告訴我們哪些資產(chǎn)在不利的市場(chǎng)情況下通常是一起波動(dòng)的，及在這種市場(chǎng)條件下不同資產(chǎn)價(jià)格之間的相關(guān)關(guān)系。能夠檢驗(yàn)市場(chǎng)價(jià)格波動(dòng)的不利趨勢(shì)對(duì)資產(chǎn)投資組合的影響。幫助機(jī)構(gòu)確定和控制適當(dāng)?shù)某謧}(cāng)頭寸和清算頭寸。

Copyright?Zhenlong