第3章 流體運(yùn)動(dòng)學(xué)-下

3.4連續(xù)方程

——質(zhì)量守恒定律在流體力學(xué)中的應(yīng)用。

它反映了cs上速度分布與cv內(nèi)密度變化之間的積分關(guān)系。

在流場(chǎng)中任取一空間固定的封閉曲面S（控制面controlsurface），所圍體積V（控制體controlvolume）。質(zhì)量守恒：?jiǎn)挝粫r(shí)間流出控制面的凈質(zhì)量=控制體內(nèi)流體質(zhì)量的減少

3.4.1積分形式的連續(xù)方程——Euler型連續(xù)性方程特例：（流入、流出CS體積相等）

流體不可壓縮：

沿流管定常流動(dòng)：

流動(dòng)定常（）：

沿流管不可壓流動(dòng)：

（流入、流出CS質(zhì)量相等）

（沿流管）

（沿流管）

不可壓流動(dòng)中，流管的截面積與流速成反比，S小的地方流速快，S大的地方流速慢。

平面流動(dòng)：流線(xiàn)間距大，流速慢；間距小，流速快。即流線(xiàn)的疏密反映了流速的大小。

例3-3某瞬時(shí)水流通過(guò)具有自由面的蓄水通道。

解：3.4.2微分形式的連續(xù)方程連續(xù)流場(chǎng)中空間任意點(diǎn)上速度和密度必須滿(mǎn)足的微分（連續(xù)）方程。

（流場(chǎng)中）Gauss公式

不可壓流動(dòng)連續(xù)方程：速度場(chǎng)的散度為0——體積膨脹速率為0。

3.5流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析

流體在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中可能發(fā)生變形或旋轉(zhuǎn)，只要微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)分析清楚了，流場(chǎng)的運(yùn)動(dòng)就知道了。流體微團(tuán)：指大量流體質(zhì)點(diǎn)組成的具有線(xiàn)性尺度效應(yīng)的微小流體團(tuán)。zxyMM0dxdydz一般運(yùn)動(dòng)＝平移＋線(xiàn)變形＋旋轉(zhuǎn)＋角變形

M0M3.5.1亥姆霍茲（Helmholtz）速度分解定理

Taylor展開(kāi)并略去高階小量，有t時(shí)刻：流體微團(tuán)

流體的變形張量：二階對(duì)稱(chēng)張量，有6個(gè)獨(dú)立分量。

流體運(yùn)動(dòng)的渦量流體平均旋轉(zhuǎn)角速度Helmholtz速度分解定理——流體微團(tuán)中任意兩點(diǎn)間速度關(guān)系：

可見(jiàn)，流體微團(tuán)中任意一點(diǎn)的速度由平移、變形和旋轉(zhuǎn)三部分速度構(gòu)成。一般運(yùn)動(dòng)＝平移＋（線(xiàn)變形＋角變形）＋旋轉(zhuǎn)3.5.2流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)（幾何）分析1.平移運(yùn)動(dòng)——平移速度v代表微團(tuán)平移運(yùn)動(dòng)。

2.線(xiàn)形變運(yùn)動(dòng)

：x方向流體線(xiàn)的線(xiàn)變形速率;

：y方向流體線(xiàn)的線(xiàn)變形速率;

：z方向流體線(xiàn)的線(xiàn)變形速率。

微團(tuán)體積膨脹率：流體微團(tuán)的體積在單位時(shí)間的相對(duì)變化。繞平行于z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)軸旋轉(zhuǎn)角速度：

4旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)繞z軸的平均旋轉(zhuǎn)角速度：由對(duì)應(yīng)的角速度3.角變形運(yùn)動(dòng)平面上兩垂直流體線(xiàn)的平均角變形速率：

Summary:流體微團(tuán)的運(yùn)動(dòng)由三部分組成：以速度v作平移運(yùn)動(dòng)；繞某瞬時(shí)軸以平均角速度旋轉(zhuǎn)，不引起微團(tuán)形狀的改變；純變形運(yùn)動(dòng)：線(xiàn)變形速率使微團(tuán)的體積膨脹或縮小，角變形速率使微團(tuán)發(fā)生角變形。

流體微團(tuán)的旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)與剛體轉(zhuǎn)動(dòng)的不同？速度分解定理的意義：（1）旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)從一般運(yùn)動(dòng)中分離出來(lái)，分為無(wú)旋和有旋運(yùn)動(dòng);（2）變形運(yùn)動(dòng)從一般運(yùn)動(dòng)中分離出來(lái)，流體的變形速率與應(yīng)力聯(lián)系起來(lái)，研究粘性流體運(yùn)動(dòng)規(guī)律。DescriptionandClassificationofFluidMotions

1-D2-D3-DLaminarunsteadysteadyTurbulentirrotationalrotationalContinuumFluidMechanicsViscousCompressibleIncompressibleInviscidCompressibleIncompressibleTimeSpaceBehaviorclassificationoffluidmotion

例3-5已知流場(chǎng)的速度分布為，，求:流體質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)跡線(xiàn)和旋轉(zhuǎn)角速度。

（在流場(chǎng)中，irrotationalflow）

（在流場(chǎng)中，rotationalflow）

3.6有旋運(yùn)動(dòng)的一般性質(zhì)

(RotationalFlow)有旋運(yùn)動(dòng)的基本特征:存在渦量場(chǎng)。Descriptionofvelocityfield:Streamline,PathlineandFlowrate3.6.1渦線(xiàn)、渦管、渦通量和環(huán)量(Descriptionofvorticityfield)積分時(shí)時(shí)間變量t作常數(shù)處理。

渦線(xiàn)(Vortexline):

任一時(shí)刻，渦線(xiàn)上每一點(diǎn)的切向量都與該點(diǎn)的渦向量相切。渦線(xiàn)微分方程渦管(vortextube):

某一時(shí)刻，由渦線(xiàn)組成的管狀曲面。截面積無(wú)限小的渦管稱(chēng)為渦束（渦線(xiàn)）。

渦通量(vortexflowrate):渦量場(chǎng)的通量（渦強(qiáng)）。速度環(huán)量(velocitycirculation):3.6.2速度環(huán)量定理（Stokes定理）沿任意開(kāi)口曲面邊界線(xiàn)的速度環(huán)量等于通過(guò)該曲面的渦通量。即：渦通量和速度環(huán)量都是反映旋渦作用的強(qiáng)弱。

3.6.3渦管強(qiáng)度守恒定理(Conservationofvortexflowrate)

證明：在同一瞬時(shí)，沿渦管長(zhǎng)度各截面的渦通量保持不變。

可見(jiàn)，渦量與截面積S成反比，S大渦量小，S小渦量大。若S縮為零，則渦量或角速度將增至無(wú)窮大。物理上不可能。若渦量在截面上均勻分布，記為，得渦管強(qiáng)度守恒定理的推論：

渦管不可能在流體中開(kāi)始或終止，它只能自成封閉形，或開(kāi)始、終止于邊界面或伸展到無(wú)窮遠(yuǎn)。如煙圈成呈環(huán)形、龍卷風(fēng)開(kāi)始和終止于地面與云層。3.7無(wú)旋運(yùn)動(dòng)的勢(shì)函數(shù)(VelocityPotential)

積分與路徑無(wú)關(guān)，時(shí)間t為參數(shù)，積分時(shí)當(dāng)作常數(shù)處理。

速度勢(shì)

速度勢(shì)函數(shù)的性質(zhì)：

1.速度勢(shì)沿任一方向的方向?qū)?shù)等于速度在該方向的投影；

勢(shì)流：不可壓縮流體的無(wú)旋流動(dòng)。2.等勢(shì)面與流面垂直(平面流:等勢(shì)線(xiàn)與流線(xiàn)垂直)

梯度(速度)垂直等勢(shì)面，流面與速度相切，故等勢(shì)面垂直流面。3.不可壓縮流體的勢(shì)函數(shù)為調(diào)和函數(shù)

直系中:

4.勢(shì)函數(shù)具有可疊加性

若令3.8流函數(shù)(StreamFunction)符號(hào)：流函數(shù)沿某方向?qū)?shù)等于沿此方向順時(shí)針轉(zhuǎn)所對(duì)應(yīng)方向上的速度分量。

平面極坐標(biāo)系中:

積分與路徑無(wú)關(guān)，時(shí)間t為參數(shù)，積分時(shí)當(dāng)作常數(shù)。

不可壓平面流連續(xù)方程引入

1.即流線(xiàn)；

2.兩點(diǎn)流函數(shù)之差等于通過(guò)其連線(xiàn)的體