高二物理競賽一維單原子鏈的振動課件

第三章

晶格振動與晶體的熱學(xué)性質(zhì)§1、一維單原子鏈的振動一、

運(yùn)動方程及其解n-2

n-1

n

n+1

n+2b：力常數(shù)b

b只考慮最近鄰原子間的相互作用：fn

b

mn

mn

1

b

mn

mn

1

bmn

1

mn

1

2mn

mn-2

mn-1

mn

mn+1

mn+2a

a形成一個C

－C鍵，

能量降低3.6

eV分子軌道由原子的2s

、2px

、2py和2pz軌道的線性組合組成，稱為sp3

雜化軌道。1、

雜化軌道軌道雜化：在成鍵過程中，由幾個能量接近的原子軌道重新組合成成鍵能力更強(qiáng)的新分子軌道的現(xiàn)象。C原子的基態(tài)為：1s22s22p21s電子從2s→2p需4

eV以金剛石為例:+4

eV2s

2p2s

2p1sCSiGeW計(jì)算（eV/atom）7.584.674.02W實(shí)驗(yàn)（eV/atom）7.374.633.85共價晶體的結(jié)合能W.

Kohn和P.

Hohenberg發(fā)展了局域密度泛函理論。利用這個理論，對各種半導(dǎo)體材料和金屬材料的結(jié)合能、

晶格常數(shù)和體積壓縮模量進(jìn)行計(jì)算，計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)符合得相當(dāng)好。

mw2Aei

wt

naq

b

Aei

wt

n

1

aq

Aei

wt

n

1

aq

2Aei

wt

naq

第n個原子的運(yùn)動方程：mm&&n

bmn

1

mn

1

2mn

mw2

b

e

iaq

eiaq

2

2

b

cosaq

1mn

Aei

w

t

naq

——

格波方程——

色散關(guān)系sin

aqbm解得試解w

2

格波的簡約性質(zhì)、簡約區(qū)w

2

sin

aq

——

色散關(guān)系w(q)

p

pa

a

q2p

p

0

p

2p-

a

-

a

a

a

q

——

簡約區(qū)1m

2b

格波：Aei

w

t

naq

?

對于確定的n：第n個原子的位移隨時間作簡諧振動?

對于確定時刻t：不同的原子有不同的振動位相q的物理意義：沿波的傳播方向（即沿q的方向）上，單位距離兩點(diǎn)間的振動位相差。格波解：晶體中所有原子共同參與的一種頻率相同的振動，不同原子間有振動位相差，這種振動以波的形式在整個晶體中傳播，稱為格波。連續(xù)介質(zhì)彈性波：Aei

w

t

xq

lq取不同的值，相鄰兩原子間的振動位相差不同，則晶格振動狀態(tài)不同。l

若

q

q

l

則q

與q

描述同一晶格振動狀態(tài)。2p

pl2

5

a

q2

l

2a

a22例：

l1

4

q

q

q

2p

11111111112121p12l4a2

a3

a4aa周期性邊界條件（Born－Karman邊界條件）N+1

e

iNaq

1

q

hmN

n

mnAei

wt

N

n

nq

Aei

wt

naq

ei

2ph

1h

=整數(shù)1

2

n

N

N+2

N+nL＝Na

——晶體鏈的長度簡約區(qū)中波數(shù)q的取值總數(shù)

r

q

2p

Na

2p晶格振動格波的總數(shù)=N·

1

=

晶體鏈的自由度數(shù)在q軸上，

每一個q的取值所占的空間為a2p

a＝N＝晶體鏈的原胞數(shù)r

q

q的分布密度：格波的簡諧性、

聲子概念晶體鏈的動能：

T

mm&晶體鏈的勢能：

U

b

mn

mn

1

2系統(tǒng)的總機(jī)械能：

H

mm&

b

mn

mn

1

2頻率為wj

的特解：

mnj

Ajei

wjt

naqj

方程的一般解：

mn

Ajei

wjt

naqj

j

Q

q,

t

e

inaqn2n2n

nqnn系統(tǒng)的總機(jī)械能化為：H

Q&*

q,

t

Q&

q,

t

w2

q

Q*

q,

t

Q

q,

t

qQ(q,

t)代表一個新的空間坐標(biāo)，它已不再是描述某個原子運(yùn)動的坐標(biāo)了，而是反映晶體中所有原子整體運(yùn)動的坐標(biāo)，稱為簡正坐標(biāo)。

eina

q

q

d

q

,

q

線性變換系數(shù)正交條件：n?

聲子是晶格振動的能量量子

hwj?一種格波即一種振動模式稱為一種聲子，對于由N個原子組成的一維單原子鏈，有N個格波，即有N種聲子,

nj

：聲子數(shù)。晶體中所有原子共同參與的同一頻率的簡諧振動稱為一種振動模式。Q&&j

q,

t

wj2

q

Qj

q,

t

0能量本征值：聲子的概念：

1

Ej

nj

2

hwjnj

0,

1,

2,

L運(yùn)動方程：?當(dāng)電子或光子與晶格振動相互作用時，總是以