高中數(shù)學蘇教版1第2章圓錐曲線與方程2．4拋物線第2章

2.4.2拋物線的幾何性質(zhì)1．掌握拋物線的簡單幾何性質(zhì)．(重點)2．會用拋物線的幾何性質(zhì)處理簡單問題．(難點)3．直線與拋物線的公共點問題．(易錯點)[基礎·初探]教材整理1拋物線的幾何性質(zhì)閱讀教材P52表格的部分，完成下列問題.類型y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)圖象性質(zhì)焦點Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))準線x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0對稱軸x軸y軸頂點O(0,0)離心率e＝1開口方向向右向左向上向下1．判斷(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)拋物線是中心對稱圖形．()(2)拋物線的范圍是x∈R.()(3)拋物線是軸對稱圖形．()(4)過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦長是p.()(5)拋物線x2＝2py(p＞0)上任意一點P(x0，y0)到其焦點的距離是x0＋eq\f(p,2).()【答案】(1)×(2)×(3)√(4)×(5)×2．拋物線y＝2px2(p>0)的開口方向是________．【解析】法一：y＝2px2(p>0)可以看作是二次函數(shù)，2p>0，開口方向向上．法二：拋物線y＝2px2(p>0)的標準方程是x2＝eq\f(1,2p)y，eq\f(1,2p)>0，開口方向向上．【答案】向上教材整理2拋物線的焦點弦、通徑閱讀教材P52例1上面的部分，完成下列問題．拋物線的焦點弦即為過焦點F的直線與拋物線所成的相交弦．弦長公式為AB＝x1＋x2＋p，在所有的焦點弦中以垂直于對稱軸的焦點弦弦長最短，A0B0＝2p，稱為拋物線的通徑．1．過拋物線y2＝4x的焦點F做垂直于拋物線對稱軸的直線，交拋物線于A，B兩點，則線段AB的長為________．【解析】易知線段AB為拋物線的通徑，所以AB＝4.【答案】42．如圖2-4-2，過拋物線x2＝－4y的焦點作直線垂直于y軸，交拋物線于A，B兩點，O為拋物線的頂點，則△OAB的面積是________．圖2-4-2【解析】F(0，－1)，將y＝－1代入得xA＝2，∴AB＝4，∴S△OAB＝eq\f(1,2)×4×1＝2.【答案】2[質(zhì)疑·手記]預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流：疑問1：解惑：疑問2：解惑：疑問3：解惑：[小組合作型]拋物線的幾何性質(zhì)(1)已知雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為________．(2)已知拋物線的焦點F在x軸正半軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點，O是坐標原點，若△OAB的面積等于4，則此拋物線的標準方程為________．【自主解答】(1)∵雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2，∴eq\f(c,a)＝eq\f(\r(a2＋b2),a)＝2，∴b＝eq\r(3)a，∴雙曲線的漸近線方程為eq\r(3)x±y＝0，∴拋物線C2：x2＝2py(p＞0)的焦點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))到雙曲線的漸近線的距離為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\r(3)×0±\f(p,2))),2)＝2，∴p＝8.∴所求的拋物線方程為x2＝16y.(2)不妨設拋物線的方程為y2＝2px，如圖所示，AB是拋物線的通徑，∴AB＝2p，又OF＝eq\f(1,2)p，∴S△OAB＝eq\f(1,2)·AB·OF＝eq\f(1,2)·2p·eq\f(1,2)p＝eq\f(1,2)p2＝4，故p＝2eq\r(2).所以拋物線的方程為y2＝4eq\r(2)x.【答案】(1)x2＝16y(2)y2＝4eq\r(2)x利用拋物線幾何性質(zhì)可以解決的問題1．對稱性：解決拋物線的內(nèi)接三角形問題．2．焦點、準線：解決與拋物線的定義有關的問題．3．范圍：解決與拋物線有關的最值問題．4．焦點：解決焦點弦問題．[再練一題]1．設F為拋物線C：y2＝4x的焦點，曲線y＝eq\f(k,x)(k＞0)與C交于點P，PF⊥x軸，則k＝__________________________________________.【解析】∵y2＝4x，∴F(1,0)．又∵曲線y＝eq\f(k,x)(k＞0)與C交于點P，PF⊥x軸，∴P(1,2)．將點P(1,2)的坐標代入y＝eq\f(k,x)(k＞0)得k＝2.【答案】2拋物線的最值問題求拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0的最小距離.【導學號：09390044】【精彩點撥】本題的解法有兩種：法一，設P(t，－t2)為拋物線上一點，點P到直線的距離為d＝eq\f(|4t－3t2－8|,5)，再利用二次函數(shù)求最小距離；法二，設直線4x＋3y＋m＝0與直線4x＋3y－8＝0平行且與拋物線相切，求出m的值后，再利用兩平行線間的距離公式求最小距離．【自主解答】法一：設P(t，－t2)為拋物線上的點，它到直線4x＋3y－8＝0的距離d＝eq\f(|4t－3t2－8|,5)＝eq\f(|3t2－4t＋8|,5)＝eq\f(1,5)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,3)))2－\f(4,3)＋8))＝eq\f(1,5)eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(3\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,3)))2＋\f(20,3)))＝eq\f(3,5)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(2,3)))2＋eq\f(4,3).∴當t＝eq\f(2,3)時，d有最小值eq\f(4,3).法二：如圖，設與直線4x＋3y－8＝0平行的拋物線的切線方程為4x＋3y＋m＝0，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝－x2，,4x＋3y＋m＝0，))消去y得3x2－4x－m＝0，∴Δ＝16＋12m＝0，∴m＝－eq\f(4,3).∴最小距離為eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－8＋\f(4,3))),5)＝eq\f(\f(20,3),5)＝eq\f(4,3).拋物線中最值的求解策略1．可借助于拋物線的有關知識轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值求解，但要注意拋物線的范圍．2．當條件中有關于拋物線上的點P到焦點F的距離問題一定要考慮拋物線的定義，注意點P到F的距離與點P到準線距離的轉(zhuǎn)化．[再練一題]2．已知直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動點P到直線l1和直線l2的距離之和的最小值是________．【解析】因為拋物線的方程為y2＝4x，所以焦點坐標F(1,0)，準線方程為x＝－1，所以設P到準線的距離為PB，則PB＝PF，P到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離為PA，所以PA＋PB＝PA＋PF≥FD，其中FD為焦點到直線4x－3y＋6＝0的距離，所以FD＝eq\f(|4－0＋6|,\r(32＋42))＝eq\f(10,5)＝2，所以距離之和最小值是2.【答案】2[探究共研型]拋物線的幾何性質(zhì)探究1從幾何性質(zhì)上看，拋物線與雙曲線有何區(qū)別和聯(lián)系？【提示】(1)拋物線的幾何性質(zhì)和雙曲線幾何性質(zhì)比較起來，差別較大，它的離心率為1，只有一個焦點、一個頂點、一條對稱軸、一條準線，它沒有對稱中心．(2)拋物線與雙曲線的一支，盡管它們都是不封閉的有開口的光滑曲線，但是它們的圖象性質(zhì)是完全不同的．事實上，從開口的變化規(guī)律來看，雙曲線的開口是越來越闊，而拋物線開口越來越趨于扁平．探究2如何認識拋物線的焦點弦？【提示】如圖，AB是拋物線y2＝2px(p>0)過焦點F的一條弦，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點M(x0，y0)，相應的準線為l.(1)以AB為直徑的圓必與準線l相切；(2)AB＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x0＋\f(p,2)))(焦點弦長與中點關系)；(3)AB＝x1＋x2＋p；(4)若直線AB的傾斜角為α，則AB＝eq\f(2p,sin2α)；如當α＝90°時，AB叫拋物線的通徑，是焦點弦中最短的；(5)A，B兩點的橫坐標之積、縱坐標之積為定值，即x1·x2＝eq\f(p2,4)，y1·y2＝－p2；(6)eq\f(1,AF)＋eq\f(1,BF)＝eq\f(2,p).探究3設拋物線上任意一點P(x0，y0)，焦點弦端點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則四種標準形式下的焦半徑PF、焦點弦AB，如何表示．【提示】標準方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)焦半徑PFPF＝x0＋eq\f(p,2)PF＝eq\f(p,2)－x0PF＝y(tǒng)0＋eq\f(p,2)PF＝eq\f(p,2)－y0焦點弦ABAB＝x1＋x2＋pAB＝p－x1－x2AB＝y(tǒng)1＋y2＋pAB＝p－y1－y2已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，且AB＝eq\f(5,2)p，求AB所在的直線方程．【精彩點撥】求AB所在直線的方程的關鍵是確定直線的斜率k，利用直線AB過焦點F，AB＝x1＋x2＋p＝eq\f(5,2)p求解．【自主解答】由題意可知，拋物線y2＝2px(p>0)的準線為x＝－eq\f(p,2).設A(x1，y1)，B(x2，y2)，A，B到拋物線準線的距離分別為dA，dB.由拋物線的定義，知AF＝dA＝x1＋eq\f(p,2)，BF＝dB＝x2＋eq\f(p,2)，于是AB＝x1＋x2＋p＝eq\f(5,2)p，∴x1＋x2＝eq\f(3,2)p.當x1＝x2＝eq\f(p,2)時，AB＝2p<eq\f(5,2)p，故直線AB與x軸不垂直．設直線AB的方程為y＝keq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))).由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝k\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))，,y2＝2px，))得k2x2－p(k2＋2)x＋eq\f(1,4)k2p2＝0，∴x1＋x2＝eq\f(pk2＋2,k2)，即eq\f(pk2＋2,k2)＝eq\f(3,2)p，解得k＝±2.故直線AB的方程為y＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2)))或y＝－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(p,2))).[再練一題]3．斜率為1的直線經(jīng)過拋物線y2＝4x的焦點，與拋物線相交于A，B兩點，求線段AB的長．【解】由題意知拋物線焦點為F(1,0)，kAB＝1，所以AB的方程為y＝x－1，代入y2＝4x得(x－1)2＝4x，即x2－6x＋1＝0，Δ＝32＞0，∴設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝6，AB＝AF＋FB＝x1＋x2＋2＝8，∴線段AB的長為8.直線與拋物線的位置關系探究1直線與拋物線有幾種位置關系？交點的個數(shù)怎樣？直線與拋物線的交點個數(shù)能否用判別式來判斷？【提示】三種位置關系，相交——兩個或一個交點；相切——一個交點；相離——沒有公共點．當判斷交點個數(shù)時，要注意二次項系數(shù)不為零時，才可使用判別式進行判斷．探究2設直線l：y＝kx＋b，拋物線y2＝2px(p>0)，如何判斷直線與拋物線的交點個數(shù)？【提示】直線與拋物線交點的個數(shù)等價于方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋b，,y2＝2px))的解的個數(shù)，也等價于方程ky2－2py＋2bp＝0的解的個數(shù)．(1)若k≠0，當Δ>0時，直線和拋物線相交，有兩個公共點；當Δ＝0時，直線和拋物線相切，有一個公共點；當Δ<0時，直線和拋物線相離，無公共點．(2)若k＝0，則直線l與拋物線y2＝2px(p>0)相交，有一個公共點．特別地，當直線l的斜率不存在時，設直線l的方程為x＝m，則當m>0時，l與拋物線相交，有兩個公共點；當m＝0時，l與拋物線相切，有一個公共點；當m<0時，l與拋物線相離，無公共點．(3)直線與拋物線只有一個公共點并不一定表示直線與拋物線相切，當直線與拋物線的對稱軸平行時，直線與拋物線相交且只有一個公共點．求過定點P(0,1)且與拋物線y2＝2x只有一個公共點的直線方程．【精彩點撥】當直線和拋物線只有一個公共點時，應該有兩種情況：一是直線和拋物線相切；二是直線與拋物線的對稱軸平行，容易忽略的是第二種情況，還有第一種情況中應考慮斜率不存在的情形．【自主解答】若直線的斜率不存在，則過點P(0,1)的直線方程為x＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y2＝2x，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0，))∴直線x＝0與拋物線只有一個公共點；若直線的斜率存在，則由題意，設直線的方程為y＝kx＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,y2＝2x，))消去y得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0.當k＝0時，有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝1，))即直線y＝1與拋物線只有一個公共點；當k≠0時，有Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，∴k＝eq\f(1,2)，即方程為y＝eq\f(1,2)x＋1的直線與拋物線只有一個公共點．綜上所述，所求直線的方程為x＝0或y＝1或y＝eq\f(1,2)x＋1.[再練一題]4．設直線y＝2x＋b與拋物線y2＝4x交于A，B兩點，已知弦AB的長為3eq\r(5)，則b＝________.【導學號：09390045】【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋b，,y2＝4x，))消去y，得4x2＋4(b－1)x＋b2＝0.由Δ>0，得－2b＋1>0，即b<eq\f(1,2).設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝1－b，x1x2＝eq\f(b2,4)，∴|x1－x2|＝eq\r(x1＋x22－4x1x2)＝eq\r(1－2b)，∴|AB|＝eq\r(1＋22)|x1－x2|＝eq\r(5)·eq\r(1－2b)＝3eq\r(5)，∴1－2b＝9，即b＝－4.【答案】－4[構建·體系]1．經(jīng)過拋物線y2＝2px(p>0)的所有焦點弦中，弦長的最小值為________．【解析】通徑長為2p.【答案】2p2．過拋物線y2＝4x的焦點作直線與拋物線相交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點，若x1＋x2＝8，則PQ的值為________.【導學號：09390046】【解析】PQ＝x1＋x2＋2＝10.【答案】103．直線l：y＝x＋b與拋物線C：x2＝4y相切于點A，則實數(shù)b的值為________．【解析】由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x＋b，,x2＝4y，))得x2－4x－4b＝0，因為直線l與拋物線C相切，所以Δ＝(－4)2－4×(－4b)＝0，解得b＝－1.【答案】－14．已知拋物線C：y＝eq\f(1,4)x2，則過拋物線焦