高二（上學(xué)期）期末考試（文科）數(shù)學(xué)試卷

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁高二（上學(xué)期）期末考試（文科）數(shù)學(xué)試卷（含答案解析）學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．若集合，則（

）A． B． C． D．2．已知，則（

）A． B． C． D．3．下列說法正確的是（

）A．，B．，C．設(shè)，則“”是“”的充分不必要條件D．、是非零實(shí)數(shù)，“”是“”的充要條件4．已知函數(shù)，則在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是（

）A． B．C． D．5．從2名男同學(xué)和3名女同學(xué)中任選3人參加社區(qū)服務(wù)，則選中的3人中恰有2名女同學(xué)的概率為（

）A．0.6 B．0.5 C．0.3 D．0.26．在中，若.且，則為（

）A．8 B．10 C．8或10 D．67．已知，，，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．8．焦點(diǎn)在軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，離心率為的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（

）A． B． C． D．10．如圖，用一邊長(zhǎng)為的正方形硬紙，按各邊中點(diǎn)垂直折起四個(gè)小三角形，做成一個(gè)蛋巢，將體積為的雞蛋（視為球體）放入其中，蛋巢形狀保持不變，則雞蛋最高點(diǎn)與蛋巢底面的距離為A． B． C． D．11．已知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，成立，若，，，則（

）A． B． C． D．12．已知雙曲線分別為的左，右焦點(diǎn)，分別為的左，右頂點(diǎn)，且.點(diǎn)在雙曲線右支上，若的最大值為，則的焦距的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、填空題13．拋物線的準(zhǔn)線方程為，則______．14．曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則________.15．已知不等式組所表示的平面區(qū)域被直線y=kx分成面積相等的兩部分，則k的值為________.16．一條光線經(jīng)過點(diǎn)射到直線上，被反射后經(jīng)過點(diǎn)，則入射光線所在直線的方程為___________.三、解答題17．在，角所對(duì)的邊分別為，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．18．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．（1）求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)數(shù)列滿足，若對(duì)于任意正整數(shù)n都成立，求實(shí)數(shù)t的取值范圍．19．如圖，四棱錐中，，，，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn).(1)求證：；(2)若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，求四棱錐的體積.20．已知拋物線，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，，．(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)點(diǎn)在C上，過Q作兩條互相垂直的直線，分別交C于A，B兩點(diǎn)（異于Q點(diǎn)）．證明：直線恒過定點(diǎn)．21．如圖所示，圓與圓的半徑都是1，，過動(dòng)點(diǎn)分別作圓、圓的切線（為切點(diǎn)），使得，試建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程．22．已知函數(shù)，.(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值；(2)求證：當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，；(3)若存在，使得，證明.參考答案：1．D【分析】求出集合后可求.【詳解】，故，故選：D2．D【分析】先由求得，再去求即可.【詳解】，故選：D3．C【分析】舉反例，可判斷A，B，D不正確；解出不等式，有或，可判斷C【詳解】當(dāng)時(shí)，，A項(xiàng)錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，所以B項(xiàng)錯(cuò)誤；

當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，或，所以“”是“”的充分不必要條件，C項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)有，但是；當(dāng)時(shí)有，但是因此“”是“”的既不充分也不必要條件，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：C4．D【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與x軸在上有交點(diǎn)，即求.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，令，若在上不單調(diào)，則函數(shù)與x軸在上有交點(diǎn)，又，則，解得，故在上不單調(diào)的一個(gè)充分不必要條件是．故選：D．5．A【分析】用列舉法結(jié)合古典概型的概率公式求解即可【詳解】設(shè)2名男生為，3名女生為，則任選3人的種數(shù)為，，共10種，其中恰有2名女生的有，，共6種，故恰有一名女同學(xué)的概率.故選：A．6．C【分析】根據(jù)余弦定理列出關(guān)于BC的方程，解得答案.【詳解】由余弦定理可得：,即,解得或10，經(jīng)驗(yàn)證，或10符合題意，故答案為：C7．D【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到其單調(diào)性即可解出．【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．∵，，∴，即．故選：D．8．D【分析】根據(jù)長(zhǎng)軸長(zhǎng)算出后，由離心率可得的值，從而可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)為，故長(zhǎng)半軸長(zhǎng)，因?yàn)椋园虢咕?，故，又焦點(diǎn)在軸上，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，故選：D9．C【分析】由該幾何體是圓柱挖去兩個(gè)全等的圓錐，可求得幾何體的體積.【詳解】解：該幾何體是圓柱挖去兩個(gè)全等的圓錐，故體積.故選：C.10．D【詳解】試題分析：由題得，蛋巢的底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，故經(jīng)過4個(gè)頂點(diǎn)截雞蛋所得的截面圓的直徑為1，由于雞蛋的體積為，故雞蛋（球）的半徑為1，故球心到截面圓的距離為，而垂直折起的4個(gè)小直角三角形的高為，故雞蛋最高點(diǎn)與蛋巢底面的距離為，故選D．考點(diǎn)：組合幾何體的面積、體積問題11．B【分析】先得到為偶函數(shù)，再構(gòu)造函數(shù)，利用題目條件判斷單調(diào)性，進(jìn)而得出大小關(guān)系.【詳解】函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，可知函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，即為偶函數(shù)，構(gòu)造，當(dāng)，，故在上單調(diào)遞減，且易知為奇函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，由，所以.故選：B.12．D【解析】方法1：根據(jù)雙曲線的定義，把式子化簡(jiǎn)成關(guān)于的代數(shù)式，利用基本不等式可以求出的值，再利用，最后求出焦距的取值范圍；方法2：設(shè)，利用配方法，結(jié)合的最大值為，可以求出的值，再利用，最后求出焦距的取值范圍；【詳解】方法1：設(shè)雙曲線的焦距為，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線右支上，所以，即，所以有當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以，解得.因?yàn)椋?，所以，即雙曲線的焦距的取值范圍為.故選：D方法2：因?yàn)?，所以，所?設(shè)，則，所以，所以，所以雙曲線的焦距的取值范圍是.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義，考查了基本不等式的應(yīng)用，考查了配方法的應(yīng)用，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.13．-2【分析】根據(jù)拋物線的準(zhǔn)線方程公式列出關(guān)于的方程，求出方程的解即可得到的值.【詳解】∵拋物線的準(zhǔn)線方程為，∴，解得：，故答案為：.【點(diǎn)睛】此題考查了拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)，熟練掌握拋物線的準(zhǔn)線方程公式是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.14．-4【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，因?yàn)榍€在點(diǎn)處的切線的斜率為，所以，解得，故答案為：-415．2【分析】由不等式組，畫出可行域，根據(jù)可行域是一個(gè)三角形，直線過了一個(gè)頂點(diǎn)，且平分區(qū)域，則必過對(duì)應(yīng)邊的中點(diǎn)求解.【詳解】由不等式組，畫出可行域如圖所示陰影部分：解得A(4，1)，B(0，7)，AB中點(diǎn)C（2，4），因?yàn)橹本€過了可行點(diǎn)（0,0），且平分區(qū)域OAB，則必過C點(diǎn)，所以k=2.故答案為：2【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題，還考查了數(shù)形結(jié)合的思想與方法，屬于基礎(chǔ)題.16．【分析】先求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，連接,則直線即為所求.【詳解】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，所以，又點(diǎn)，所以，直線的方程為：，由圖可知，直線即為入射光線，所以化簡(jiǎn)得入射光線所在直線的方程:.故答案為：.17．（I）；（II）；（III）【分析】（I）由正弦定理可得，即可求出；（II）由余弦定理即可計(jì)算；（III）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由兩角差的正弦公式即可求出.【詳解】（I）因?yàn)?，由正弦定理可得，，；（II）由余弦定理可得；（III），，，，所以.18．（1）；（2）．【詳解】試題分析：（1）由已知，令可得，又，知數(shù)列是等比數(shù)列，寫出通項(xiàng)公式；（2）已知可求得，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，此時(shí)，當(dāng)時(shí)，，又，所以數(shù)列中最大的項(xiàng)是，從而即可．試題解析：（1）由已知，令可得，又，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以．（2）有已知可求得，所以，則．考點(diǎn)：1、數(shù)列的遞推關(guān)系；2、等比數(shù)列的通項(xiàng)；3、作差比較大小；4、恒成立問題．19．(1)證明見解析(2)【分析】小問1：首先由空間中的平行與垂直的性質(zhì)與判定定理，證明垂直關(guān)系，然后直接建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積即可判斷出；小問2：通過平面與平面所成銳二面角的余弦值為，可以求出S點(diǎn)的坐標(biāo)，然后帶入體積公式就能得到答案.(1)取、、的中點(diǎn)、、，連接、、.在中，、分別為、的中點(diǎn)，.在中，、分別為、的中點(diǎn)，.，.又，.在中，，為的中點(diǎn)，，且，平面SOE，.在中，，為的中點(diǎn)，，且，平面ABCD如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，延長(zhǎng)，以、、方向?yàn)?、、軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系則，，，，設(shè)，∴，，∵，∴(2)∵為的中點(diǎn)，∴，，設(shè)平面的一個(gè)法向量則有取平面的一個(gè)法向量取平面的一個(gè)法向量，則∴，這時(shí)，.20．(1)(2)證明見解析【分析】（1）由拋物線的方程可得焦點(diǎn)的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，由及拋物線的性質(zhì)可得的橫坐標(biāo)，再由．可得的縱坐標(biāo)，將的坐標(biāo)代入拋物線的方程可得的值，進(jìn)而求出拋物線的方程；（2）由題意可得直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程，與拋物線聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，求出數(shù)量積的表達(dá)式，由數(shù)量積為0可得參數(shù)的關(guān)系，代入直線的方程可得直線恒過定點(diǎn)．（1）解：由，可得，代入．解得或（舍），所以拋物線的方程為：．（2）解:由題意可得，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，設(shè)，由，得，從而，則．所以，，∵，∴，故，整理得．即，從而或，即或．若，則，過定點(diǎn)，與Q點(diǎn)重合，不符合；若，則，過定點(diǎn)．綜上，直線過異于Q點(diǎn)的定點(diǎn)．21．（或）.【分析】建立直角坐標(biāo)系，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)幾何關(guān)系列方程，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果.【詳解】以的中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在的直線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則，設(shè)點(diǎn).由已知，得.因?yàn)閮蓤A的半徑均為1，所以，則，即，所以點(diǎn)的軌跡方程為（或）.【點(diǎn)睛】本題主要考查了與圓相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程，考查學(xué)生計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化能力，熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是本題的關(guān)鍵.22．(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，最大值為，無最小值(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可求得答案；（2）設(shè)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，判斷的單調(diào)性，結(jié)合，即可證明結(jié)論；（3）作出函數(shù)，的大致圖象，數(shù)形結(jié)合，利用函數(shù)的圖象，根據(jù)函數(shù)值判斷根的情況，從而證明結(jié)論.(1)∵，∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.∴函數(shù)的最大值為，無最小值.(