空間向量及其運(yùn)算共線向量和共面向量

空間向量及其運(yùn)算1．空間共線向量(1)共線向量：如果表示空間向量的有向線段所在的直線

，則這些向量為共線向量或平行向量．(2)共線向量定理：對空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ使

.互相平行或重合a＝λb要點(diǎn)梳理空間向量及其運(yùn)算（2）共線向量定理：aABPOl對空間任意兩個(gè)向量a、b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a=λb。

推論：如果l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知向量a的直線，那么對任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿足等式

a①其中向量a叫做直線l的方向向量。

②

①或②式都叫做空間直線的向量參數(shù)方程

（1）概念：已知平面α與向量，作，如果直線OA平行于平面α或在α內(nèi)，那么我們說向量平行于平面α，記作∥α。通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量說明：⑴空間任意兩個(gè)向量總是共面的；⑵空間任意三個(gè)向量不一定共面；⑶空間四邊形ABCD中、、不共面。αOA4．共面向量（2）共面向量定理如果兩個(gè)向量、不共線，則向量與向量、共面的充要條件是，存在實(shí)數(shù)對x、y，使

=x

+y推論：空間一點(diǎn)P位于平面MAB內(nèi)的充分必要條件是存在有序?qū)崝?shù)對x、y，使=x

+y或?qū)臻g任一點(diǎn)O，有=+x

+y①平面MAB內(nèi)，點(diǎn)P對應(yīng)的實(shí)數(shù)對（x,y）是唯一的，①式叫做平面MAB的向量表達(dá)式。[思考探究]向量AB∥平面α與直線AB∥平面α是同一概念嗎？提示：不是．向量平行于平面是指向量所在直線平行于平面或在平面內(nèi)兩種情況．因此，在用共面向量定理證明線面平行時(shí)，必須說明向量所在的直線不在平面內(nèi)．3．空間向量基本定理(1)空間向量基本定理

如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對空間任意一向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使

.p＝xa＋yb＋zc(2)推論

設(shè)O、A、B、C是不共面的四點(diǎn)，則對空間任一點(diǎn)P都存

在唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使OP＝

.xOA＋yOB＋zOC

1.下列命題中正確的有：A.1個(gè)B.2個(gè)C.3個(gè)D.4個(gè)概念鞏固B2.對于空間中的三個(gè)向量它們一定是：

A.共面向量B.共線向量

C.不共面向量

D.既不共線又不共面向量A3.已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對空間任意一點(diǎn)O，,則x的值為：D4.已知A、B、C三點(diǎn)不共線，對平面外一點(diǎn)O，在下列條件下，點(diǎn)P是否與A、B、C共面？題型一空間向量的線性運(yùn)算探究1解（1）∵P是C1D1的中點(diǎn)，用已知向量來表示未知向量，一定要結(jié)合圖形，以圖形為指導(dǎo)是解題的關(guān)鍵.要正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義.首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，我們可把這個(gè)法則稱為向量加法的多邊形法則.在立體幾何中要靈活應(yīng)用三角形法則，向量加法的平行四邊形法則在空間仍然成立.例3：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1例3：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1例3：已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1解：例3：已知平行六面體

ABCD-A1B1C1D1，求滿足下列各式的x的值。ABCDA1B1C1D1解：例4.如圖，已知平行四邊形ABCD，過平面AC外一點(diǎn)O作射線OA、OB、OC、OD，在四條射線上分別取點(diǎn)E、F、G、H，并且使求證：⑴四點(diǎn)E、F、G、H共面；⑵平面EG//平面AC.

OBAHGFECD證明：∵四邊形ABCD為①∴（﹡）（﹡）代入所以E、F、G、H共