復(fù)變函數(shù)與積分變換級(jí)數(shù)和序列的基本性質(zhì)

第四章級(jí)數(shù)§1級(jí)數(shù)和序列的基本性質(zhì)學(xué)習(xí)要點(diǎn)掌握復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念和性質(zhì)1.復(fù)數(shù)列一、復(fù)數(shù)列和復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定理12.復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)定理2復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件定理3復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的必要條件復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的條件3.絕對(duì)收斂與條件收斂定理5定理4柯西乘積練習(xí)設(shè){fn(n)}(n=1,2,…),在復(fù)平面點(diǎn)集E上有定義，那么：是定義在點(diǎn)集E上的復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，記為設(shè)函數(shù)f(z)在E上有定義，如果在E上每一點(diǎn)z，此級(jí)數(shù)都收斂于f(z)，那么我們說(shuō)它在E上收斂(于f(z))，或者此級(jí)數(shù)在E上有和函數(shù)f(z)，記作二、復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和復(fù)變函數(shù)序列設(shè)是E上的復(fù)變函數(shù)列，記作注解1注解2一致收斂如果任給，可以找到一個(gè)只與有關(guān)，而與z無(wú)關(guān)的正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有或那么我們說(shuō)級(jí)數(shù)或序列在E上一致收斂（于f(z)或）。2.基本理論

注解：注解1、和實(shí)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和序列一樣，我們也有相應(yīng)的柯西一致收斂原理：柯西一致收斂原理（復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）：復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在E上一致收斂的必要與充分條件是：任給，可以找到一個(gè)只與有關(guān)，而與z無(wú)關(guān)的正整數(shù)，使得當(dāng)，p=1,2,3,…時(shí)，有柯西一致收斂原理（復(fù)變函數(shù)序列）：復(fù)變函數(shù)序列{fn(n)}在E上一致收斂必要與充分條件是：任給，可以找到一個(gè)只與有關(guān)，而與z無(wú)關(guān)的正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，有注解：注解：注解2、一致收斂的魏爾斯特拉斯判別法（M-判別法）：設(shè)在復(fù)平面點(diǎn)集E上有定義，并且設(shè)是一個(gè)收斂的正項(xiàng)級(jí)數(shù)。設(shè)在E上，那么級(jí)數(shù)在E上一致收斂。定理1、2：定理2.1設(shè)復(fù)平面點(diǎn)集E表示區(qū)域、閉區(qū)域或簡(jiǎn)單曲線。設(shè)在集E上{fn(n)}(n=1,2,…),連續(xù)，并且級(jí)數(shù)或序列在E上一致收斂于f(z)或，那么f(z)或在E上連續(xù)。定理2.2設(shè)在簡(jiǎn)單曲線C上{fn(n)}(n=1,2,…),連續(xù)，并且級(jí)數(shù)或序列{fn(n)}在C上一致收斂于f(z)或，那么或注解：注解1、在研究復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和序列的逐項(xiàng)求導(dǎo)的問(wèn)題時(shí)，我們一般考慮解析函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和序列；注解2、我們主要用莫勒拉定理及柯西公式來(lái)研究和函數(shù)與極限函數(shù)的解析性及其導(dǎo)數(shù)。內(nèi)閉一致收斂：設(shè)函數(shù)序列在復(fù)平面C上的區(qū)域D內(nèi)解析。如果級(jí)數(shù)序列{fn(n)}在D內(nèi)任一有界閉區(qū)域（或在一個(gè)緊集）上一致收斂于f(z)或，那么我們說(shuō)此級(jí)數(shù)或序列在D中內(nèi)閉（或內(nèi)緊）一致收斂于f(z)或。定理3：定理2.3（魏爾斯特拉斯定理）設(shè)函數(shù)

在區(qū)域D內(nèi)解析，并且級(jí)數(shù)或序列{fn(n)}在D內(nèi)閉一致收斂于函數(shù)f(z)或，那么f(z)或

在區(qū)域D內(nèi)解析，并且在D內(nèi)

或

定理3的證明（級(jí)數(shù)）：證明：先證明f(z)在D內(nèi)任一點(diǎn)z0解析，取z0的一個(gè)鄰域U，使其包含在D內(nèi)，在U內(nèi)作一條簡(jiǎn)單閉曲線C。由定理2.2以及柯西定理因?yàn)楦鶕?jù)莫勒拉定理，可見(jiàn)f(z)在U內(nèi)解析。再由于z0是D內(nèi)任意一點(diǎn)，因此f(z)在D內(nèi)解析。其次，設(shè)U的邊界即圓K也在D內(nèi)，于是定理3的證明（級(jí)數(shù)）：對(duì)于一致收斂于。由定理2.2，我們有也就是因此，定理中關(guān)于級(jí)數(shù)的部分證明結(jié)束。定理3的證明（序列）：對(duì)于序列，我們也先證明在D內(nèi)任一點(diǎn)z0取它的一個(gè)鄰域U，使其包含在D內(nèi)，在U內(nèi)作一條簡(jiǎn)單閉曲線C。由定理2.2以及柯西定理因?yàn)楦鶕?jù)莫勒拉定理，可見(jiàn)在U內(nèi)解析。再由于z0是D內(nèi)任意一點(diǎn)，因此在D內(nèi)解析。其次，設(shè)U的邊界即圓K也在D內(nèi)，于是定理3的證明：對(duì)于一致收斂于。由定理2.2，我們有也就是因此，定理中關(guān)于序列的部分證明結(jié)束。3.冪級(jí)數(shù)其中a0,a1,a2,…,z0都是復(fù)常數(shù).1.阿貝爾(Abel)定理三、冪級(jí)數(shù)的斂散性質(zhì)收斂發(fā)散證明322.收斂圓和收斂半徑對(duì)一個(gè)冪級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō),它的收斂情況不外乎三種:對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是收斂的.這時(shí),根據(jù)阿貝爾定理可知級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.2)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除z=0外都是發(fā)散的.

這時(shí),級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.收斂半徑收斂圓周