西北工業(yè)大學(xué)飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)電子教案3課件

飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)

——電子教學(xué)教案西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院航空結(jié)構(gòu)工程系第三章靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與變形計(jì)算Chapter3InternalForcesandDeformationsofStaticallyDeterminateStructures第一講靜定結(jié)構(gòu)的概念靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算3-1

靜定結(jié)構(gòu)的概念所謂靜定結(jié)構(gòu)是指沒(méi)有多余約束的幾何不變體。從靜定結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)上：結(jié)構(gòu)的自由度數(shù)N=結(jié)構(gòu)的約束數(shù)C能提供的靜力平衡方程數(shù)目未知力(元件力和支反力)總數(shù)=從靜定結(jié)構(gòu)的靜力學(xué)上：3-1

靜定結(jié)構(gòu)的概念

由線性代數(shù)的知識(shí)可知：當(dāng)方程的數(shù)目等于未知量的數(shù)目時(shí)，未知量可以由這組方程全部求出，且解是惟一的。因此，對(duì)靜定結(jié)構(gòu)：在已知外力作用下，系統(tǒng)中的全部未知力由靜力平衡方程惟一確定。換句話講，滿足靜力平衡方程的解，就是靜定結(jié)構(gòu)的真實(shí)受力狀態(tài)。3-2

靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算

一、計(jì)算模型(calculationmodel)組成桁架的元件均為直桿；各桿均用無(wú)摩擦的理想鉸連接，桿的軸線通過(guò)鉸心，稱(chēng)鉸心為桁架的結(jié)點(diǎn);外力僅作用在結(jié)點(diǎn)上。桁架：truss,pin-jointedframework由于鉸只能傳遞線力，不能傳遞力矩，因而外力只能作用在桿兩端結(jié)點(diǎn)上；不計(jì)桿的自重，各桿只受到兩端結(jié)點(diǎn)上的作用力，且在此二力作用下處于平衡。這種在桿兩端受到大小相等、方向相反、沿桿軸線的力作用的桿，力學(xué)上稱(chēng)為“二力桿”。桁架的內(nèi)力就是指各桿的軸力。桿軸線桁架的分類(lèi)：1、根據(jù)維數(shù)分類(lèi)1.1平面（二維）桁架（planetruss）

——所有組成桁架的桿件都在同一平面內(nèi),僅承受平面內(nèi)的載荷。1.2空間（三維）桁架（spacetruss）——組成桁架的桿件不都在同一平面內(nèi)。2、按外型分類(lèi)

平行弦桁架

三角形桁架

拋物線桁架

梯形桁架簡(jiǎn)單桁架simpletruss復(fù)合桁架combinedtruss復(fù)雜桁架Complicatedtruss3、按幾何組成分類(lèi)

梁式桁架4、按受力特點(diǎn)分類(lèi)：

拱式桁架豎向荷載下將產(chǎn)生水平反力

某桁架實(shí)例主桁架上弦桿下弦桿豎桿斜桿跨度桁高

弦桿腹桿結(jié)間d主桁架經(jīng)簡(jiǎn)化后，得到圖示的工程結(jié)構(gòu)：二、靜定桁架組成規(guī)則1、平面桁架的組成規(guī)則（1）逐次連接結(jié)點(diǎn)法（二元體規(guī)則）從某一基礎(chǔ)或幾何不變體開(kāi)始，每增加一個(gè)平面結(jié)點(diǎn)，用兩根不共線的桿將該結(jié)點(diǎn)連接在基礎(chǔ)上，依次增加結(jié)點(diǎn)和桿子，將組成靜定平面桁架。多余簡(jiǎn)單桁架幾何瞬變二、靜定桁架組成規(guī)則1、平面桁架的組成規(guī)則（2）復(fù)合桁架法（二剛片規(guī)則、三剛片規(guī)則）將幾個(gè)簡(jiǎn)單桁架用最小必需的約束（3個(gè)）連接起來(lái),使各部分之間不會(huì)發(fā)生相對(duì)移動(dòng)或瞬時(shí)可動(dòng),得到一個(gè)復(fù)合桁架。二剛片規(guī)則三剛片規(guī)則靜定桁架二、靜定桁架組成規(guī)則1、空間桁架的組成規(guī)則（1）逐次連接結(jié)點(diǎn)法從某一基礎(chǔ)或幾何不變體開(kāi)始，每增加一個(gè)空間結(jié)點(diǎn)，用三根不全共面的桿將該結(jié)點(diǎn)連接在基礎(chǔ)上，依次增加結(jié)點(diǎn)和桿子，將組成靜定空間桁架。簡(jiǎn)單桁架二、靜定桁架組成規(guī)則1、空間桁架的組成規(guī)則（2）復(fù)合桁架法將幾個(gè)簡(jiǎn)單桁架用最小必需的約束（6個(gè)）連接起來(lái),使各部分之間不會(huì)發(fā)生相對(duì)移動(dòng)或瞬時(shí)可動(dòng),得到一個(gè)復(fù)雜桁架。靜定桁架用6根不全共軸(含無(wú)窮遠(yuǎn)處即平行)的桿將一個(gè)空間幾何不變體固定于基礎(chǔ)上。三、靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算桁架的內(nèi)力分解未知桿軸力假設(shè)以拉為正支反力的方向可任意假設(shè)三、靜定桁架的內(nèi)力計(jì)算1、結(jié)點(diǎn)法（nodalanalysismethod）

以一個(gè)結(jié)點(diǎn)的隔離體為研究對(duì)象，用共點(diǎn)力系的平衡方程求解各桿軸力的方法。平面共點(diǎn)力系選結(jié)點(diǎn)時(shí)，作用在結(jié)點(diǎn)上的未知力不能超過(guò)2個(gè)?？臻g共點(diǎn)力系選結(jié)點(diǎn)時(shí)，作用在結(jié)點(diǎn)上的未知力不能超過(guò)3個(gè)。例1

求圖示靜定桁架的內(nèi)力解：1、作幾何特性分析

該桁架為無(wú)多余約束的幾何不變體，故為靜定的。2、內(nèi)力求解

從未知力不超過(guò)2個(gè)的結(jié)點(diǎn)開(kāi)始，利用結(jié)點(diǎn)法依次求出桿軸力。13、求支座反力4、繪制力圖5、校核校核內(nèi)力狀態(tài)是否滿足整體平衡，以檢查內(nèi)力是否正確。也可以以表格的形式給出內(nèi)力結(jié)果。桿軸力1－21－42－32－42－54－5例2求圖示靜定桁架的內(nèi)力解：1、作幾何特性分析

該桁架為無(wú)多余約束的幾何不變體，故為靜定的。2、內(nèi)力求解

由結(jié)點(diǎn)5、4、3、2、1，利用結(jié)點(diǎn)法依次求出各桿軸力和支座反力。例2求圖示靜定桁架的內(nèi)力3、繪制內(nèi)力圖4、校核000注意到，在外力作用下，桁架中并不是全部的桿件都參予承力，常常存在一些軸力為零的桿件，軸力為零的桿件叫做“零力桿”。“零力桿”在桁架中不承力，僅保持桁架的幾何形狀。零力桿的判斷

在計(jì)算桁架內(nèi)力之前，如能事先找出零力桿，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，減少計(jì)算工作量。N2=0N1=01、不共線的兩桿，交于無(wú)載荷作用的結(jié)點(diǎn)，則此二桿均為零力桿。N=0零力桿的判斷N=02、一桿與共線的兩桿交于無(wú)載荷作用的結(jié)點(diǎn)，則此桿為零力桿。推論：不共線的兩桿交于一點(diǎn)，且外載荷沿其中一桿軸線作用，則另一根桿為零力桿。單桿P例題：試判斷圖示桁架中的零力桿試判斷圖示桁架中的零力桿桁架的傳力路徑

在傳遞外載荷過(guò)程中，承受力的桿件組成的路徑稱(chēng)之為該外載荷的傳力路徑，也稱(chēng)為傳力路線。

傳力路線是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和分析中十分重要的概念，設(shè)計(jì)一個(gè)結(jié)構(gòu)，歸根結(jié)蒂就是要為給定的載荷設(shè)計(jì)一條傳力路線。傳力路線愈短、愈直接，結(jié)構(gòu)效率就愈高。比較下圖(a)與圖(b)，兩圖中的結(jié)構(gòu)的元件數(shù)量相同，但后一種傳力路線此前一種長(zhǎng)，顯然沒(méi)有前一種合理，結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中應(yīng)該力求避免。

試?yán)L出圖示桁架的傳力路徑例題此例說(shuō)明靜定結(jié)構(gòu)的一個(gè)性質(zhì)結(jié)論：當(dāng)平衡力系作用在靜定結(jié)構(gòu)的某一幾何不變部分上時(shí)，只有該幾何不變部分受力，其余部分不受力。0001、判斷零力桿2、求支反力2.求桁架內(nèi)力的截面法

截取桁架的某一局部作為隔離體，由平面任意力系的平衡方程即可求得未知的軸力。對(duì)于平面桁架，由于平面任意力系的獨(dú)立平衡方程數(shù)為3，因此所截?cái)嗟奈粗Φ臈U件數(shù)一般不宜超過(guò)3根。例題:試用截面法求圖示桁架4-5、4-11、10-11

三桿的內(nèi)力。解：1、作幾何特性分析

該桁架為無(wú)多余約束的幾何不變體，故為靜定的。例題:試用截面法求圖示桁架4-5、4-11、10-11

三桿的內(nèi)力。2、求支座反力R7=70KNR1=200KN例題:試用截面法求圖示桁架4-5、4-11、10-11

三桿的內(nèi)力。3、用A－A截面將4-5、4-11、10-11三桿切斷，并取右邊部分作為隔離體。R7=70KNR1=200KNAA例題:試用截面法求圖示桁架4-5、4-11、10-11

三桿的內(nèi)力。由ΣM11＝0，N4,5×6＝R7×8，N4,5＝93.33KN由ΣM4＝0，N10,11×6+R7×12，N10,11＝－140KN由豎向平衡方程，N4,11＝84.1295KN通過(guò)合理地選取截面及合理地選取力矩中心，可方便地求出桁架中指定桿件的內(nèi)力。例題：試用截面法求圖示桁架C桿的內(nèi)力ΣMB＝0:Nc×a=F×aNc=－F3.混合法求解桁架內(nèi)力用結(jié)點(diǎn)法求解桁架內(nèi)力時(shí)，要求從未知力不能超過(guò)2個(gè)的結(jié)點(diǎn)處開(kāi)始。但對(duì)某些桁架，有時(shí)每個(gè)結(jié)點(diǎn)上的未知力都可能超過(guò)2個(gè)，這時(shí)，單獨(dú)用結(jié)點(diǎn)法求解比較困難。需要同時(shí)應(yīng)用結(jié)點(diǎn)法和截面法才能確定桿件內(nèi)力，這種方法稱(chēng)為混合法（combinedmethod）。思路：先針對(duì)特定的2個(gè)未知內(nèi)力，通過(guò)截面法建立其平衡方程，求解出這2個(gè)內(nèi)力，然后可采用結(jié)點(diǎn)法求解出其余的內(nèi)力。解：1、作幾何特性分析

三個(gè)剛片Δ123、Δ345和桿6-7用三個(gè)不共線的鉸相連，組成無(wú)多余約束的幾何不變體，外部用一個(gè)鉸和一根不通過(guò)該鉸的桿連接于基礎(chǔ)，故該桁架為靜定的。例題求圖示靜定桁架的內(nèi)力例題求圖示靜定桁架的內(nèi)力2、計(jì)算內(nèi)力

注意到每一個(gè)結(jié)點(diǎn)上的未知內(nèi)力均超過(guò)2個(gè)，因此用結(jié)點(diǎn)法無(wú)法依次求解。采用混合法求解。①求支座反力，如圖示。PP例題求圖示靜定桁架的內(nèi)力PP②取Δ123為隔離體,建立關(guān)于N26和N17的方程。由ΣM3＝0，(A)例題求圖示靜定桁架的內(nèi)力PP③再取桿6-7為隔離體,建立關(guān)于N26和N17的另一個(gè)方程。(B)例題求圖示靜定桁架的內(nèi)力PP④聯(lián)立求解(A)和(B)，求出N26和N17。⑤再用結(jié)點(diǎn)法求出其余各桿的軸力。飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)

——電子教學(xué)教案西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院航空結(jié)構(gòu)工程系第三章靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與變形計(jì)算InternalForcesandDeformationsofStaticallyDeterminateStructures第二講靜定剛架和混合結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算3-3

靜定剛架的內(nèi)力計(jì)算

一、計(jì)算模型組成元件可以是直桿，也可以是曲桿；元件之間用剛性接頭或鉸連接;外力可以以任意形式作用在剛架的任意部位（任意位置、任意方向；集中力、分布力、力矩、扭矩）。剛架：frame所謂剛性接頭是指：被連接的元件之間在剛性接頭處不發(fā)生相對(duì)位移，即元件之間的夾角不變。被連接的元件在剛接點(diǎn)處，即不能發(fā)生相對(duì)移動(dòng)，也不能繞剛接點(diǎn)發(fā)生相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。因此，剛接即可以傳遞力，也可以傳遞力矩。剛性接頭的力學(xué)特征：保持角度不變剛性接頭是無(wú)多余約束的裝置。有一個(gè)自由度，不能承彎。

平面剛性接頭：相當(dāng)于起3個(gè)約束；空間剛性接頭：相當(dāng)于起6個(gè)約束。無(wú)多余約束，可以承彎。剛性接頭剛架的分類(lèi)：按照維數(shù)，分為平面剛架和空間剛架。1.平面（二維）剛架（planeframe）

——組成剛架的所有元件及其外載荷均在同一平面內(nèi)。2.空間（三維）剛架（spaceframe）

——組成剛架的元件或載荷不都在同一平面內(nèi)。載荷與結(jié)構(gòu)元件不在一個(gè)平面內(nèi)。載荷、結(jié)構(gòu)元件均不在一個(gè)平面內(nèi)。剛架的內(nèi)力平面梁：在梁的任意一個(gè)橫截面上，均承受3個(gè)內(nèi)力：軸力、剪力、彎矩。xyz空間梁zy平面梁x空間梁：在梁的任意一個(gè)橫截面上，均承受6個(gè)內(nèi)力：1個(gè)軸力、2個(gè)剪力、2個(gè)彎矩、1個(gè)扭矩。二、靜定剛架組成規(guī)則1、平面剛架的組成規(guī)則（1）逐次連接桿子法：簡(jiǎn)單剛架

從某一基礎(chǔ)或幾何不變體開(kāi)始，每增加一個(gè)平面桿件，用一個(gè)剛性接頭將該桿件連接在基礎(chǔ)上，這樣依次用剛性接頭連接桿子，將組成靜定的簡(jiǎn)單剛架。二、靜定剛架組成規(guī)則1、平面剛架的組成規(guī)則（2）逐次連接剛架法：復(fù)合剛架

將2個(gè)或更多簡(jiǎn)單剛架用最小必需的約束(3個(gè))連接起來(lái),使各部分之間不會(huì)發(fā)生相對(duì)移動(dòng)或瞬時(shí)可動(dòng)，得到一個(gè)復(fù)合剛架。二剛片規(guī)則三剛片規(guī)則靜定剛架二、靜定剛架組成規(guī)則1、平面剛架的組成規(guī)則（2）逐次連接剛架法：復(fù)合剛架幾何不變系統(tǒng)幾何瞬變系統(tǒng)二、靜定剛架組成規(guī)則1、平面剛架的組成規(guī)則（3）封閉剛架將A處切斷

逐次連接桿子法時(shí)，如果形成了封閉剛架，則在封閉處就引入了多余約束，組成了具有多余約束的靜不定剛架。可知：平面剛架每封閉一次，增加3個(gè)多余約束。如何確定這3個(gè)未知力？?jī)H靜力平衡方程夠嗎？二、靜定剛架組成規(guī)則分析圖示平面剛架的幾何組成特性f=3f=633333f=93二、靜定剛架組成規(guī)則分析圖示平面剛架的幾何組成特性3333f=12f=9Why?比較這兩個(gè)結(jié)構(gòu)的區(qū)別三、靜定剛架的內(nèi)力計(jì)算剛架內(nèi)力符號(hào)規(guī)定軸力N以元件段受拉為正，受壓為負(fù)。剪力Q以元件段順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)受壓為負(fù)。彎矩M沒(méi)有正負(fù)號(hào)規(guī)定，在彎矩圖上將彎矩畫(huà)在受壓一側(cè)。剛架的內(nèi)力計(jì)算，就是求出剛架中任意剖面上的內(nèi)力，并以內(nèi)力圖的形式表達(dá)出來(lái)。剛架的內(nèi)力計(jì)算，通常采用截面法。例1求圖示剛架的內(nèi)力，并繪制內(nèi)力圖。已知

P1=P2=500kg。解：1、作幾何特性分析逐次連接桿子法，組成無(wú)內(nèi)部多余約束的簡(jiǎn)單剛架，再用3個(gè)外部約束將其固定在基礎(chǔ)上，符合兩剛片規(guī)則，該剛架為無(wú)多余約束的幾何不變體，故為靜定的。2、求內(nèi)力（1）先求支反力H1

解出：例1求圖示剛架的內(nèi)力2、求內(nèi)力（2）求截面內(nèi)力對(duì)1－2段：任取一剖面I－I，截取分離體：建立靜力平衡方程：例1求圖示剛架的內(nèi)力2、求內(nèi)力（2）求截面內(nèi)力對(duì)４－３段：任取一剖面II－II，截取分離體：建立靜力平衡方程：例1求圖示剛架的內(nèi)力2、求內(nèi)力（2）求截面內(nèi)力對(duì)2－３段：以5點(diǎn)為分界點(diǎn)，分左右兩段來(lái)計(jì)算。在左段上任取一截面III－III，截取分離體：建立靜力平衡方程：例1求圖示剛架的內(nèi)力2、求內(nèi)力（2）求截面內(nèi)力再在右段上任取一截面IV－IV，截取分離體：建立靜力平衡方程：例1求圖示剛架的內(nèi)力3、繪制內(nèi)力圖繪制內(nèi)力圖時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：1、圖形要按一定比例尺寸繪制；2、在力圖的各個(gè)折點(diǎn)、結(jié)構(gòu)的拐點(diǎn)、極值點(diǎn)、突變點(diǎn)處，應(yīng)注明內(nèi)力值；3、標(biāo)明力圖的單位（如果有單位的話）。彎矩圖上的折點(diǎn)說(shuō)明了什么？剪力圖上的突變點(diǎn)說(shuō)明了什么？軸力圖上的突變點(diǎn)說(shuō)明了什么？在只有兩桿匯交且無(wú)外力偶作用的剛結(jié)點(diǎn)處，兩桿桿端彎矩必大小相等，且同側(cè)受壓。例2繪制圖示剛架的內(nèi)力圖。

（說(shuō)明：題中如無(wú)特別指明，僅繪制彎矩圖。）解：1、作幾何特性分析

1-2-5、5-3-4為兩個(gè)簡(jiǎn)單剛架，并和基礎(chǔ)一起形成三個(gè)平面剛片，利用三剛片規(guī)則可知，該剛架為無(wú)多余約束的幾何不變體，故為靜定的。例2繪制圖示剛架的內(nèi)力圖。

（說(shuō)明：題中如無(wú)特別指明，僅繪制彎矩圖。）2、求支座反力解出：如何求出H1和H4？取一半結(jié)構(gòu)（例如左半部分）分析，由于5點(diǎn)是一個(gè)鏈鉸，不傳遞彎矩，故利用5點(diǎn)的力矩平衡方程，可得：例2繪制圖示剛架的內(nèi)力圖。

（說(shuō)明：題中如無(wú)特別指明，僅繪制彎矩圖。）3、求彎矩yx例2繪制圖示剛架的內(nèi)力圖。

（說(shuō)明：題中如無(wú)特別指明，僅繪制彎矩圖。）4、繪制彎矩圖例3繪制圖示開(kāi)口園框的彎矩、剪力和軸力圖。解：1、作幾何特性分析開(kāi)口園框?yàn)殪o定的，受自平衡載荷作用。結(jié)構(gòu)及外力左右對(duì)稱(chēng)，故可取一半結(jié)構(gòu)來(lái)分析。2、求內(nèi)力例3繪制圖示開(kāi)口園框的彎矩、剪力和軸力圖。3、繪制內(nèi)力圖四、靜定混合桿系的內(nèi)力計(jì)算混合桿系是由桁架和剛架共同組成，其內(nèi)力計(jì)算方法與前面介紹的桁架和剛架的內(nèi)力計(jì)算方法完全一樣。屬于桁架的部分，其元件內(nèi)力只有軸力，而屬于剛架的部分，其元件內(nèi)力包括軸力、剪力、彎矩等。例4圖示為飛機(jī)單柱式起落架簡(jiǎn)化得到的計(jì)算模型，試求內(nèi)力并作內(nèi)力圖。圖中單位為mm。解：1、作幾何特性分析支柱1-2-3用一個(gè)鉸和一根不通過(guò)這個(gè)鉸的桿連接于基礎(chǔ)，該混合結(jié)構(gòu)為靜定的。此例中，顯然，元件1-2-3為梁，承受軸力、剪力和彎矩，而元件2-4為鏈桿，只承受軸力。2、求內(nèi)力例4計(jì)算飛機(jī)單柱式起落架內(nèi)力并作內(nèi)力圖。利用元件1-2-3的平衡條件：例4計(jì)算飛機(jī)單柱式起落架內(nèi)力并作內(nèi)力圖。求支柱內(nèi)力：對(duì)于1-2段上任意剖面：例4計(jì)算飛機(jī)單柱式起落架內(nèi)力并作內(nèi)力圖。求支柱內(nèi)力：對(duì)于2-3段上任意剖面：例4計(jì)算飛機(jī)單柱式起落架內(nèi)力并作內(nèi)力圖。3、繪制內(nèi)力圖其余力圖略。解：1、作幾何特性分析開(kāi)口園框?yàn)殪o定的，受自平衡載荷作用。結(jié)構(gòu)及外力左右對(duì)稱(chēng)，故可取一半結(jié)構(gòu)來(lái)分析。例5繪制某機(jī)身開(kāi)口園框彎矩圖。已知外力2P，蒙皮給框的支反力為。2、求截面彎矩由于外力是分布的，需要采用積分的方法，求。對(duì)于任意角度為

剖面，截取分離體，圖示。2、求截面彎矩任意角度為的截面彎矩為：3、繪制彎矩圖為了確定M的極值點(diǎn)的位置，可利用導(dǎo)數(shù)：五、靜定結(jié)構(gòu)的主要特性基本特性：滿足全部平衡條件的解，必是靜定結(jié)構(gòu)內(nèi)力的唯一解。五、靜定結(jié)構(gòu)的主要特性由基本特性可以派生出以下幾個(gè)特性：（1）靜定結(jié)構(gòu)無(wú)初內(nèi)力：支座微小位移、溫度改變、元件的制造誤差不產(chǎn)生反力和內(nèi)力。（3）在結(jié)構(gòu)某幾何不變部分上載荷做等效變換時(shí)，載荷變化部分之外的反力和內(nèi)力不變。（4）結(jié)構(gòu)某幾何不變部分，在保持與結(jié)構(gòu)其他部分連接方式不變的前提下，用另一方式組成的不變體代替，其它部分的受力情況不變。（2）當(dāng)平衡力系作用在靜定結(jié)構(gòu)的某一幾何不變部分上時(shí)，只有該幾何不變部分受力，其它部分不受力。五、靜定結(jié)構(gòu)的主要特性由基本特性可以派生出以下幾個(gè)特性：（5）任意力系作用在固定的靜定結(jié)構(gòu)上時(shí)，組成力系的各分力只由能夠提供支反力的各幾何不變部分來(lái)承擔(dān)，其它部分的內(nèi)力均為零。飛行器結(jié)構(gòu)力學(xué)基礎(chǔ)

——電子教學(xué)教案西北工業(yè)大學(xué)航空學(xué)院航空結(jié)構(gòu)工程系第三章靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與變形計(jì)算InternalForcesandDeformationsofStaticallyDeterminateStructures第三講靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算一、結(jié)構(gòu)位移計(jì)算概述

結(jié)構(gòu)在外界因素（諸如載荷、溫度改變、支座移動(dòng)、制造誤差等）作用下幾何形狀發(fā)生的變化，稱(chēng)為結(jié)構(gòu)變形。1、結(jié)構(gòu)的變形

結(jié)構(gòu)變形可通過(guò)不同的結(jié)構(gòu)位移形式來(lái)表征，并通過(guò)計(jì)算位移值來(lái)定量描述。2、結(jié)構(gòu)位移的形式線位移，角位移，相對(duì)線位移，相對(duì)角位移等統(tǒng)稱(chēng)為結(jié)構(gòu)位移線位移：參考點(diǎn)沿某一方向上的變形量。角位移：參考截面或元件的轉(zhuǎn)動(dòng)變形量，轉(zhuǎn)角、扭轉(zhuǎn)角等。相對(duì)線位移：兩個(gè)參考點(diǎn)沿某一方向上的相對(duì)變形量。相對(duì)角位移：兩個(gè)參考面或元件間的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)變形量。

計(jì)算結(jié)構(gòu)的位移是結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中的一項(xiàng)非常重要的內(nèi)容，一方面為研究結(jié)構(gòu)的剛度提供數(shù)據(jù)，另一方面為靜不定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算奠定基礎(chǔ)。實(shí)質(zhì)：分析結(jié)構(gòu)幾何關(guān)系的變化。3、計(jì)算結(jié)構(gòu)位移的目的二、回顧：外力功和變形能2.1應(yīng)變能和余應(yīng)變能對(duì)于圖(a)的桿件為完全彈性體，其橫截面積為A，長(zhǎng)度為L(zhǎng)。在載荷P作用下桿件的軸向力N由零逐漸增加到最終值P，桿件的變形也由零逐漸增加到Δ。力與變形之間的關(guān)系按圖(b)曲線變化。這時(shí)外力所作的功W等于

按照能量守恒原理，外載荷所作的功就以能量的形式貯存于桿件中。彈性體變形后具有的作功能力，稱(chēng)為變形能或應(yīng)變能，用U表示應(yīng)變能。

二、回顧：外力功和變形能2.1應(yīng)變能和余應(yīng)變能對(duì)于完全彈性體，顯然應(yīng)變能就等于外力所作的功，即圖示桿件的應(yīng)變能為式中稱(chēng)為應(yīng)變能密度(單位體積的應(yīng)變能)。圖(b)中曲線下面的那部分面積就代表了外力所作的功W或應(yīng)變能U的大小。二、回顧：外力功和變形能2.1應(yīng)變能和余應(yīng)變能圖(b)曲線上面的那部分面積所代表的功量記為W*或U*，并稱(chēng)W*為外力余功，稱(chēng)U*為余應(yīng)變能。對(duì)完全彈性體來(lái)說(shuō)，

圖示桿件的外力余功W*和余應(yīng)變能U*為式中稱(chēng)為余應(yīng)變能密度(單位體積的余應(yīng)變能)。二、回顧：外力功和變形能2.1應(yīng)變能和余應(yīng)變能外力余功W*或余應(yīng)變能U*并無(wú)任何物理意義，純粹是為了使用上的方便而定義的一個(gè)數(shù)學(xué)量而已。但可以證明，余應(yīng)變能同樣服從工程結(jié)構(gòu)中的能量守恒原理，因而，通過(guò)它所建立的一種能量方法同樣可用于實(shí)際結(jié)構(gòu)分析。在線彈性情況下，載荷-位移曲線退化為直線，應(yīng)變能U與余應(yīng)變能U*相等，從而應(yīng)變能和余應(yīng)變能可以互換。二、回顧：外力功和變形能2.1應(yīng)變能和余應(yīng)變能將應(yīng)變能U

和余應(yīng)變能U*

分別對(duì)Δ

和P微分，可得到分別表示應(yīng)變能對(duì)位移的一階導(dǎo)數(shù)等于外力，而余應(yīng)變能對(duì)外力的一階導(dǎo)數(shù)等于位移，可適用于線彈性或非線彈性情況。

在線彈性情況下，著名的卡氏第二定理,只適用于線彈性情況。二、回顧：外力功和變形能2.2線彈性結(jié)構(gòu)元件的應(yīng)變能和余應(yīng)變能的表達(dá)式等軸力桿等彎矩梁等扭轉(zhuǎn)桿三、廣義力與廣義位移

在結(jié)構(gòu)力學(xué)中，經(jīng)常用到各種不同類(lèi)型的力和與這些力相對(duì)應(yīng)的位移。如圖所示的三種線彈性元件上，分別作用有集中力、彎矩、扭矩，對(duì)應(yīng)于這些力的位移分別為線位移、彎曲轉(zhuǎn)角和扭轉(zhuǎn)角。外力所作的功分別為：拉伸彎曲扭轉(zhuǎn)三、廣義力與廣義位移

上述三種作用力及對(duì)應(yīng)的三種變形均不相同，但它們有共同點(diǎn)，就是都能使物體發(fā)生變形，從而對(duì)物體作了功，所作之實(shí)功均等于系數(shù)“1/2”乘“力”乘“位移”。若把這三種不同型式的“力”均稱(chēng)為廣義力，與此廣義力相對(duì)應(yīng)的位移稱(chēng)為廣義位移的話，則廣義力所作的功可表達(dá)為（廣義力）（廣義位移）

廣義力與廣義位移的定義：一般而論，任何一個(gè)力或一組相互有關(guān)且又彼此獨(dú)立的力系，如果可以用一個(gè)代數(shù)量來(lái)表示它，則稱(chēng)它為一個(gè)廣義力，與此廣義力相對(duì)應(yīng)的位移稱(chēng)為廣義位移。廣義力與相應(yīng)的廣義位移乘積的一半等于該廣義力所作的功。三、廣義力與廣義位移如果桿件同時(shí)承受有集中力、彎矩、扭矩作用，則廣義外力與廣義位移分別為于是，廣義力所作的功等于一般地：（非線性）（線性）三、廣義力與廣義位移一些典型結(jié)構(gòu)元件的廣義力和廣義位移：等軸力桿：等彎曲桿：等扭轉(zhuǎn)桿：等剪力桿：四、彈性體的虛功原理1、概述彈性體在外力作用下處于平衡，存在兩個(gè)力學(xué)狀態(tài)平衡的力狀態(tài)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)特別注意：這兩個(gè)狀態(tài)屬同一個(gè)體系，是同一個(gè)力學(xué)問(wèn)題的兩種表現(xiàn)形式，相互關(guān)聯(lián)，不可分割。平衡關(guān)系、協(xié)調(diào)關(guān)系、物理關(guān)系力學(xué)問(wèn)題的3個(gè)基本關(guān)系（廣義力）（廣義位移）

實(shí)功：研究彈性體力學(xué)問(wèn)題的兩種能量方法當(dāng)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)發(fā)生微小變化時(shí)，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的能量有什么變化？當(dāng)平衡的力狀態(tài)發(fā)生微小變化時(shí)，結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的能量有什么變化？虛位移原理虛力原理統(tǒng)稱(chēng)為：虛功原理重要定義1虛位移——一種假想的、滿足位移約束條件的、任意的、微小的連續(xù)位移。假象的：是指虛位移僅僅是想象中發(fā)生但實(shí)際并不一定發(fā)生的一種可能位移。滿足位移約束的：是指虛位移應(yīng)當(dāng)滿足變形體的變形協(xié)調(diào)條件和位移邊界條件。任意的：是指虛位移與變形體是否受力無(wú)關(guān)。微小的：是指虛位移并不影響變形體的幾何關(guān)系，即不影響力的平衡關(guān)系。因此，在發(fā)生虛位移的過(guò)程中，外力與內(nèi)力均保持不變，即保持原有的平衡狀態(tài)。虛位移的例子位移邊界條件為：w為梁的真實(shí)撓度曲線。幾種虛位移的形式：變形體的真實(shí)位移是否可作為虛位移呢？完全可以重要定義2虛功——實(shí)力在虛位移上所作的功，或廣義力在與其無(wú)關(guān)的虛廣義位移上所作的功。因?yàn)?，在發(fā)生虛位移的過(guò)程中，外力和內(nèi)力保持不變,因此，在虛功的表達(dá)式中無(wú)系數(shù)“1/2”。為了與實(shí)功W區(qū)別，記虛功為δW，虛位移δΔ，則虛功為虛功的例子真實(shí)外力虛位移虛功為：重要定義3虛力——一種假想的、滿足平衡條件的任意力系。假象的：是指虛力僅僅是想象中一種可能力系。滿足平衡條件的：是指虛力應(yīng)當(dāng)滿足力的平衡方程（內(nèi)部）和力的邊界條件（外部）。任意的：是指虛力與變形體的變形無(wú)關(guān)。因此，在發(fā)生虛力的過(guò)程中，變形體的位移均保持不變，即保持原有的協(xié)調(diào)狀態(tài)。虛力的例子真實(shí)受力和變形狀態(tài)：虛力狀態(tài)1：雖然力狀態(tài)是平衡的，但力狀態(tài)與實(shí)際變形無(wú)關(guān)系。不是真實(shí)的受力狀態(tài)，而僅是滿足平衡條件的力狀態(tài)。虛力的例子真實(shí)受力和變形狀態(tài)：虛力狀態(tài)2：虛力狀態(tài)3：變形體的真實(shí)受力狀態(tài)是否可作為虛力呢？完全可以重要定義4余虛功——虛力在真實(shí)位移上所作的功，或虛廣義力在與其無(wú)關(guān)的廣義位移上所作的功。因?yàn)?，在發(fā)生虛力的過(guò)程中，位移保持不變，在余虛功的表達(dá)式中也無(wú)系數(shù)“1/2”。為了與余功W*區(qū)別，記余虛功為δW*，虛力δP，則余虛功為余虛功的例子余虛功為：真實(shí)位移虛力2、虛功原理2.1質(zhì)點(diǎn)的虛位移原理一質(zhì)點(diǎn)在諸力作用下處于平衡的充分必要條件是：所有力在質(zhì)點(diǎn)虛位移上所作的虛功總和為零。必要條件充分條件平衡方程：虛功方程：2、虛功原理2.2質(zhì)點(diǎn)系的虛位移原理一質(zhì)點(diǎn)系在諸力作用下處于平衡的充分必要條件是：對(duì)于任意的虛位移，作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力所做虛功之和為零。必要條件充分條件平衡方程：虛功方程：2、虛功原理2.2剛體(或剛體系)的虛位移原理一剛體(系)處于平衡的充分必要條件是

：對(duì)于任何可能的虛位移(剛體虛位移)，作用于剛體(系)的所有外力所做虛功之和為零。對(duì)于一剛體(系)，去掉約束而代之以相應(yīng)的反力，該反力便可看成外力。-FPΔP+FB

ΔB=0假設(shè)一種剛體虛位移，則有相當(dāng)于∑MA=02、虛功原理2.4彈性系統(tǒng)的虛位移原理平衡的力狀態(tài)協(xié)調(diào)的虛位移狀態(tài)彈性系統(tǒng)在外力作用下處于平衡狀態(tài)，對(duì)任意的虛位移，系統(tǒng)中所有外力在虛位移上所作的虛功總和等于所有內(nèi)力在虛位移上所作的虛功總和。外力虛功內(nèi)力虛功符號(hào)標(biāo)記：Si、Vi

分別表示在真實(shí)外力作用下，彈性體內(nèi)部第i個(gè)元件的內(nèi)力和位移；δSi

表示第i個(gè)元件的虛內(nèi)力；δVi

表示第i個(gè)元件的虛位移。2、虛功原理協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)平衡的虛力狀態(tài)彈性系統(tǒng)在外力作用下處于變形協(xié)調(diào)狀態(tài)，對(duì)任意的虛力狀態(tài),系統(tǒng)中所有虛外力在位移上所作的余虛功總和等于所有虛內(nèi)力在位移上所作的虛余功總和。2.4彈性系統(tǒng)的虛力原理外力余虛功內(nèi)力余虛功待分析平衡的力狀態(tài)3、彈性系統(tǒng)虛功原理的應(yīng)用

關(guān)于虛位移原理【例1】建立圖示桁架1點(diǎn)的平衡方程。解：（1）設(shè)三根桿的內(nèi)力分別為N1、N2、N3，在1點(diǎn)處與外載荷應(yīng)滿足平衡條件。N1N2N3（2）假設(shè)1處的水平位移為δu，垂直位移為δv。根據(jù)桁架的幾何參數(shù)，可以得出各桿與結(jié)點(diǎn)1的位移相協(xié)調(diào)的變形，如表所示。

桿號(hào)桿長(zhǎng)伸長(zhǎng)量1-2桿：1-3桿：1-4桿：協(xié)調(diào)的虛位移狀態(tài)【例1】建立圖示桁架1點(diǎn)的平衡方程。解：（3）外力虛功、內(nèi)力虛功分別為N1N2N3（4）根據(jù)虛位移原理，，有由于虛位移δu、δv為任意值，有1點(diǎn)的X向平衡方程1點(diǎn)的Y向平衡方程出導(dǎo)3、彈性系統(tǒng)虛功原理的應(yīng)用待分析的平衡系統(tǒng)的力狀態(tài)虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)

關(guān)于虛位移原理實(shí)際受力狀態(tài)的平衡方程實(shí)質(zhì)：用幾何法解靜力平衡問(wèn)題。待分析協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)

關(guān)于虛力原理【例2】圖示桁架在外力作用下處于變形協(xié)調(diào)狀態(tài)。已知桿子12、13、14的伸長(zhǎng)量分別為ΔL12、ΔL13、ΔL14，求1點(diǎn)的水平位移u和垂直位移v。解：（1）內(nèi)位移ΔL12、ΔL13

和ΔL14，與1點(diǎn)的水平位移u和垂直位移v應(yīng)滿足協(xié)調(diào)條件。（2）假設(shè)1點(diǎn)處的水平力為δPx，垂直力為δPy。根據(jù)虛力的定義，可以求與虛外力平衡的一種內(nèi)力狀態(tài)，如圖所示。

滿足平衡條件的虛力狀態(tài)0【例2】解：（3）外力余虛功、內(nèi)力余虛功分別為（4）根據(jù)虛位移原理，，有由于虛力δPx、δPy為任意值，有1點(diǎn)的X向幾何方程1點(diǎn)的Y向幾何方程出導(dǎo)3、彈性系統(tǒng)虛功原理的應(yīng)用待分析的協(xié)調(diào)系統(tǒng)的位移狀態(tài)虛設(shè)的平衡力狀態(tài)

關(guān)于虛力原理實(shí)際變形狀態(tài)的幾何(協(xié)調(diào))方程實(shí)質(zhì)：用靜力平衡法解幾何問(wèn)題。虛力原理對(duì)求解靜不定結(jié)構(gòu)內(nèi)力具有重要的應(yīng)用。五、單位載荷法－求位移的Mohr公式1、單位載荷法的一般表達(dá)式利用虛功原理(虛力原理)，可以求出變形結(jié)構(gòu)中任意一點(diǎn)由于變形而產(chǎn)生的位移。真實(shí)的位移狀態(tài)平衡的虛力狀態(tài)令

，則有虛功原理五、單位載荷法－求位移的Mohr公式1、單位載荷法的一般表達(dá)式式中：即為所求m點(diǎn)處的結(jié)構(gòu)位移值；

表示外力作用下結(jié)構(gòu)元件i的真實(shí)位移；

表示單位廣義力作用下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力。這就是單位載荷法(Dummy-UnitLoadMethod)，它是Maxwell(1864)和Mohr(1874)提出的，故也稱(chēng)為Maxwell-MohrMethod。上式可寫(xiě)成：五、單位載荷法－求位移的Mohr公式1、單位載荷法的一般表達(dá)式如何求？

：外力作用下第i個(gè)結(jié)構(gòu)元件的廣義力；

：第i個(gè)結(jié)構(gòu)元件的剛度系數(shù)桁架：剛架：等五、單位載荷法－求位移的Mohr公式1、單位載荷法的一般表達(dá)式根據(jù)不同類(lèi)型元件的廣義力與廣義位移，可得到不同類(lèi)型結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算公式。

平面或空間桁架

平面剛架截面形狀系數(shù)。如：（1）對(duì)矩形截面k=6/5；（2）對(duì)圓形截面k=10/9。軸力彎矩剪力五、單位載荷法－求位移的Mohr公式2、用單位載荷法求結(jié)構(gòu)位移的一般步驟求在外載荷作用下的結(jié)構(gòu)真實(shí)內(nèi)力；施加與所求位移相對(duì)應(yīng)的單位廣義力，并求在單位廣義力作用下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力；代入單位載荷法的一般表達(dá)式中，求廣義位移；若，表示所求位移的方向與單位力方向相同；，表示所求位移的方向與單位力方向相反。著重指出：?jiǎn)挝涣Φ奈恢谩㈩?lèi)型和方位必須與所求位移相對(duì)應(yīng)。施加單位廣義力的原則：?jiǎn)挝粡V義力×位移＝所求位移值如何施加與所求位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力求5點(diǎn)的豎向位移1求1點(diǎn)和6點(diǎn)的水平相對(duì)位移11如何施加與所求位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力求1－5桿的轉(zhuǎn)角求1點(diǎn)和6點(diǎn)在1、6連線上的相對(duì)位移11如何施加與所求位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力求1－5桿、3－6桿的相對(duì)轉(zhuǎn)角如何施加與所求位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力求A點(diǎn)的豎向位移1求A截面的轉(zhuǎn)角1如何施加與所求位移對(duì)應(yīng)的單位廣義力求A、B兩點(diǎn)的豎向相對(duì)位移1求A、B兩截面的相對(duì)轉(zhuǎn)角111例1：求桁架4點(diǎn)的豎向位移Δ4V，設(shè)各桿EA均相同。解：1、幾何特性分析該桁架為無(wú)多余約束的幾何不變體，故為靜定的。3、為求4點(diǎn)的豎向位移，在4點(diǎn)豎向方向上施加單位廣義力，并求單位廣義力作用下的結(jié)構(gòu)內(nèi)力，即求。4、由單位載荷法求Δ4V2、求桁架在外載荷作用下的內(nèi)力，即求。例1：求桁架4點(diǎn)的豎向位移Δ4V，設(shè)各桿EA均相同。Δ4V>0，與單位力的方向一致。例2：求剛架A點(diǎn)的豎向位移ΔAV。設(shè)E、J、G、A均相同。解：1、幾何特性分析該剛架為無(wú)多余約束的幾何不變體，故為靜定的。2、求剛架在外載荷作用下的內(nèi)力，即求。例2：求剛架A點(diǎn)的豎向位移ΔAV。設(shè)E、J、