2023年八年級數(shù)學(xué)下冊第十六章分式知識點總結(jié)

分式的知識點解析與培優(yōu)分式的定義:假如A、B表達(dá)兩個整式,并且B中具有字母,那么式子叫做分式。判斷分式的依據(jù):例:下列式子中，、8a2b、-、、、2-、、、、、、、中分式的個數(shù)為（）A、2B、3Ｃ、４Ｄ、5練習(xí)題:(1)下列式子中,是分式的有.；⑵;⑶;⑷;⑸;⑹.（7）(8)(９）分式故意義的條件是分母不為零;【B≠0】分式?jīng)]故意義的條件是分母等于零;【B=０】分式值為零的條件分子為零且分母不為零。【Ｂ≠0且A＝0即子零母不零】例２.注意：（≠０)例1：當(dāng)x時,分式故意義;例2：分式中,當(dāng)時，分式?jīng)]故意義例3:當(dāng)x時,分式故意義。例４：當(dāng)x時,分式故意義例5：,滿足關(guān)系時,分式無意義;例6:無論x取什么數(shù)時，總是故意義的分式是(）A．B．C.Ｄ.例7：使分式故意義的x的取值范圍為（）A．B.Ｃ．D.例8:分式無意義，則x的值為(）Ａ.2B．-1或-3C.－1D.3三、分式的值為零:使分式值為零:令分子=０且分母≠０,注意：當(dāng)分子等于0時，看看是否使分母=0了,假如使分母=0了，那么要舍去。例1：當(dāng)ｘ時,分式的值為0.例2：當(dāng)ｘ時,分式的值為0.例3：假如分式的值為零,則a的值為()A．Ｂ.２C.－2D.．以上全不對例4：能使分式的值為零的所有的值是(）A.x=0Ｂ.ｘ-1Ｃ．x=０或x＝1D．或例5：要使分式的值為0,則ｘ的值為()A．3或-3 Ｂ.３C.-3D２例6:若，則a是()A.正數(shù)B．負(fù)數(shù)C.零D.任意有理數(shù)例9:當(dāng)Ｘ＝時,分式的值為零。例10:已知-＝３,則＝。三、分式的基本性質(zhì):分式的分子與分母同乘或除以一個不等于0的整式，分式的值不變。例１:；;假如成立，則ａ的取值范圍是_____＿＿_(dá);例2：例３:假如把分式中的ａ和ｂ都擴大１0倍,那么分式的值（）A、擴大10倍B、縮小10倍C、是本來的20倍D、不變例4：假如把分式中的x,y都擴大10倍,則分式的值（)擴大1０0倍Ｂ.擴大10倍C.不變D.縮小到本來的例５:假如把分式中的x和ｙ都擴大2倍，即分式的值（）A、擴大2倍;Ｂ、擴大４倍；Ｃ、不變；D縮小2倍例６:假如把分式中的x和y都擴大2倍,即分式的值（）Ａ、擴大2倍；B、擴大4倍;C、不變;D縮小2倍例７：假如把分式中的x和y都擴大２倍,即分式的值()Ａ、擴大２倍;Ｂ、擴大4倍；C、不變;D縮小倍例８:若把分式的ｘ、y同時縮小12倍,則分式的值（??)Ａ.擴大12倍Ｂ.縮小12倍C．不變?D．縮小6倍例9:若x、y的值均擴大為本來的２倍,則下列分式的值保持不變的是（)A、Ｂ、C、Ｄ、例10:根據(jù)分式的基本性質(zhì),分式可變形為（)A.Ｂ.C.D.例１1:不改變分式的值,使分式的分子、分母中各項系數(shù)都為整數(shù),；例１2：不改變分式的值，使分子、分母最高次項的系數(shù)為正數(shù),＝。例１３．不改變分式的值，使分子、分母最高次項的系數(shù)為正數(shù),則是()。四、分式的約分：關(guān)鍵先是分解因式。分式的約分及最簡分式:①約分的概念：把一個分式的分子與分母的公因式約去,叫做分式的約分②分式約分的依據(jù)：分式的基本性質(zhì)．③分式約分的方法：把分式的分子與分母分解因式，然后約去分子與分母的公因式.④約分的結(jié)果:最簡分式(分子與分母沒有公因式的分式,叫做最簡分式)約分重要分為兩類:第一類:分子分母是單項式的,重要分?jǐn)?shù)字,同字母進行約分。第二類:分子分母是多項式的,把分子分母能因式分解的都要進行因式分解，再去找共同的因式約去。例１：下列式子（1)；（2）；(3)；(4)中對的的是（)Ａ、1個B、2個Ｃ、3個D、4個例2:下列約分對的的是(）A、;B、;C、；D、例3：下列式子對的的是（)AB.C.D．例4:下列運算對的的是（)B、C、D、例５:化簡的結(jié)果是（）A．B．C.D.例7:約分:;＝；；。例8:約分：=；；;;__＿_(dá)_＿_(dá)____例9：分式，，，中，最簡分式有（)A．1個B.2個C.3個D.4個例８.分式，，，中是最簡分式的有（)。例９．約分：(１）；(2)例１０．通分:（1），；（２)，例1１.已知x2+3x＋1=0,求x2+的值.例１2.已知x+=3,求的值．分式的通分及最簡公分母:通分:重要分為兩類:第一類：分母是單項式;第二類:分母是多項式（要先把分母因式分解)分為三種類型：“二、三”型;“二、四”型；“四、六”型等三種類型?！岸?、三”型:指幾個分母之間沒有關(guān)系,最簡公分母就是它們的乘積。例如:最簡公分母就是?！岸⑺摹毙停褐钙湟粋€分母完全涉及另一個分母，最簡公分母就是其一的那個分母。例如：最簡公分母就是“四、六”型：指幾個分母之間有相同的因式，同時也有獨特的因式，最簡公分母要有獨特的;相同的都要有。例如：最簡公分母是：這些類型自己要在做題過程中仔細(xì)地去了解和應(yīng)用,仔細(xì)的去發(fā)現(xiàn)之間的區(qū)別與聯(lián)系。例１:分式的最簡公分母(）Ｂ．C．D.例２：對分式，，通分時，最簡公分母是(）A．２4x2y3B．1２ｘ２y2C.２４ｘｙ２D.１2ｘy2例3:下面各分式:,,,，其中最簡分式有（）個。Ａ．4 ?Ｂ.3? C.2 Ｄ.1例4：分式，的最簡公分母是．例５：分式a與的最簡公分母為＿_(dá)_________＿＿_(dá)__；例６:分式的最簡公分母為。五、分式的運算：分式的乘，除,乘方以及加減分式的乘法:乘法法測：·=.分式的除法:除法法則：÷＝·=分式的乘方:求n個相同分式的積的運算就是分式的乘方,用式子表達(dá)就是()ｎ分式的乘方,是把分子、分母各自乘方．用式子表達(dá)為：(）n=(n為正整數(shù)）分式的加減法則:同分母的分式相加減，分母不變,把分子相加減。異分母的分式相加減，先通分，變?yōu)橥帜阜质?然后再加減?；旌线\算:運算順序和以前同樣。能用運算率簡算的可用運算率簡算。例題:計算：(1）(2)（3)(4)（5）(6)(8)(９）(10)求值題:(1）已知：,求的值。已知：，求的值。（3）已知:,求的值。乘方例題：計算：(1）（2）==(４)=(5)（6)(7）已知：求的值。（８)．當(dāng)分式--的值等于零時,則ｘ＝_＿_(dá)__。(9)．已知a+b＝3,aｂ=1，則＋的值等于__＿_(dá)_。（10）.先化簡，再求值:-＋,其中a=。8、分式的加減：分式加減主體分為：同分母和異分母分式加減。1、同分母分式不用通分,分母不變,分子相加減。2、異分母分式要先通分，在變成同分母分式就可以了。通分方法:先觀測分母是單項式還是多項式，假如是單項式那就繼續(xù)考慮是什么類型，找出最簡公分母,進行通分;假如是多項式，那么先把分母能分解的要因式分解，考慮什么類型,繼續(xù)通分。分類：第一類:是分式之間的加減,第二類：是整式與分式的加減。例1:=例2:＝例3：=例４:＝例５計算：（1)(2)(3）(４）－－.例6：化簡＋+等于()A．B．C.D．例7：（2)（4）－（6）(8)（9)（10）+.例8:計算的結(jié)果是（)ABCＤ例9：請先化簡:,然后選擇一個使原式故意義而又喜歡的數(shù)代入求值.例１0：已知：求的值。分式的混合運算:例1:例2:例3:例4:例５:例6:例7：例8：１0、分式求值問題:例1:已知ｘ為整數(shù),且＋+為整數(shù),求所有符合條件的x值的和.例2:已知ｘ＝2,y＝，求÷的值．例3:已知實數(shù)x滿足4x２-4ｘ+l=Ｏ,則代數(shù)式2x＋的值為_＿_(dá)__＿_(dá)＿．例４：已知實數(shù)ａ滿足a２+2a-8=0,求的值．例5：若求的值是（).Ａ．B．C．D.例6：已知,求代數(shù)式的值例７：先化簡,再對取一個合適的數(shù)，代入求值.練習(xí)題:,其中x=５．,其中ａ=5（3)，其中a＝-３，b=2（4）；其中a=85；（5）,其中x=－１(6)先化簡,再求值:÷(x+2－)．其中ｘ=－２．（7）(8)先化簡,，再選擇一個你喜歡的數(shù)代入求值.11、分式其他類型試題：例1:觀測下面一列有規(guī)律的數(shù)：,，,,,,……根據(jù)其規(guī)律可知第ｎ個數(shù)應(yīng)是＿_(dá)_(n為正整數(shù)）例2:觀測下面一列分式:根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)，它的第8項是,第ｎ項是。例3:當(dāng)ｘ=＿_(dá)__＿＿_(dá)時,分式與互為相反數(shù).例4：在正數(shù)范圍內(nèi)定義一種運算☆，其規(guī)則為☆=,根據(jù)這個規(guī)則☆的解為(?）A.B．Ｃ．或1D.或例5:已知，則;例6:已知,則（）A.? Ｂ．C.D．例７：已知，求的值;例8:設(shè),則的值是()A.B．0C．1Ｄ.1２、化為一元一次的分式方程：(１)分式方程：含分式，并且分母中含未知數(shù)的方程——分式方程。（2)解分式方程的過程,實質(zhì)上是將方程兩邊同乘以一個整式（最簡公分母),把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程。解分式方程時,方程兩邊同乘以最簡公分母時,最簡公分母有也許為0,這樣就產(chǎn)生了增根,因此分式方程一定要驗根。(3)解分式方程的環(huán)節(jié)：（1）能化簡的先化簡；（2)方程兩邊同乘以最簡公分母,化為整式方程；(3）解整式方程；(４)驗根.例1：假如分式的值為－1,則x的值是;例2：要使的值相等,則x=_＿_(dá)＿_(dá)＿_(dá)_＿_(dá)。例3:當(dāng)m＝_＿＿_(dá)_時,方程=2的根為.例4：假如方程的解是x＝5，則a＝。例5:(1)(2）例6:解方程：例7：已知:關(guān)于ｘ的方程無解，求a的值。例8：已知關(guān)于x的方程的根是正數(shù)，求ａ的取值范圍。例9:若分式與的2倍互為相反數(shù)，則所列方程為_＿_(dá)_＿_(dá)______＿_(dá)_＿_(dá)____＿_(dá)__＿_(dá)；例１0：當(dāng)ｍ為什么值時間？關(guān)于的方程的解為負(fù)數(shù)?例1１:解關(guān)于的方程例12：解關(guān)于x的方程:例13:當(dāng)a為什么值時,的解是負(fù)數(shù)?例14:先化簡，再求值:,其中x,y滿足方程組例15知關(guān)于x的方程的解為負(fù)值，求ｍ的取值范圍。練習(xí)題:（1)（2)(3)(4)（5)（6）(7)(8)(9）１3、分式方程的增根問題:（1）增根應(yīng)滿足兩個條件：一是其值應(yīng)使最簡公分母為0,二是其值應(yīng)是去分母后所的整式方程的根。(２)分式方程檢查方法:將整式方程的解帶入最簡公分母,假如最簡公分母的值不為0，則整式方程的解是原分式方程的解；否則，這個解不是原分式方程的解。例1:分式方程+1=有增根，則m＝例２：當(dāng)ｋ的值等于時，關(guān)于x的方程不會產(chǎn)生增根；例3：若解關(guān)于ｘ的分式方程會產(chǎn)生增根，求m的值。例４：取時，方程會產(chǎn)生增根；例5：若關(guān)于x的分式方程無解,則m的值為＿＿_(dá)＿_(dá)_。例６:當(dāng)k取什么值時？分式方程有增根.例7:若方程有增根，則m的值是()A．4Ｂ．３C．－3D.１例8:若方程有增根,則增根也許為(）A、0B、2Ｃ、0或2D、１１5、分式的應(yīng)用題：（１)列方程應(yīng)用題的環(huán)節(jié)是什么？(1)審;（２）設(shè)；(3）列;(4）解；(5)答.（2)應(yīng)用題有幾種類型;基本公式是什么？基本上有四種:a.行程問題:基本公式：路程＝速度×?xí)r間而行程問題中又分相遇問題、追及問題.b．?dāng)?shù)字問題：在數(shù)字問題中要掌握十進制數(shù)的表達(dá)法．ｃ.工程問題：基本公式：工作量=工時×工效．ｄ.順?biāo)嫠畣栴}:v順?biāo)?v靜水+v水．v逆水=ｖ靜水－v水．工程問題:例1:一項工程,甲需x小時完畢，乙需y小時完畢,則兩人一起完畢這項工程需要＿_(dá)_＿_(dá)_小時。例2：小明和小張兩人練習(xí)電腦打字，小明每分鐘比小張少打6個字，小明打1２0個字所用的時間和小張打１80個字所用的時間相等。設(shè)小明打字速度為x個/分鐘，則列方程對的的是（)A．B.C.Ｄ.例3:某工程需要在規(guī)定日期內(nèi)完畢,假如甲工程隊獨做,恰好如期完畢;假如乙工作隊獨做,則超過規(guī)定日期3天,現(xiàn)在甲、乙兩隊合作2天,剩下的由乙隊獨做,恰好在規(guī)定日期完畢,求規(guī)定日期．假如設(shè)規(guī)定日期為x天,下面所列方程中錯誤的是(）A.B.C.D.例４:一件工程甲單獨做小時完畢,乙單獨做小時完畢，甲、乙二人合作完畢此項工作需要的小時數(shù)是()．A.B.C．D.例5：趙強同學(xué)借了一本書,共２80頁，要在兩周借期內(nèi)讀完，當(dāng)他讀了一半時,發(fā)現(xiàn)平時天天要多讀２1頁才干在借期內(nèi)讀完.他讀了前一半時,平均天天讀多少頁?假如設(shè)讀前一半時,平均天天讀x頁,則下列方程中,對的的是()B、C、D、例6：某煤廠原計劃天生產(chǎn)1２0噸煤，由于采用新的技術(shù)，天天增長生產(chǎn)3噸,因此提前2天完畢任務(wù),列出方程為(）ABＣD例７:某工地調(diào)來7２人參與挖土和運土工作，已知3人挖出的土1人恰好能所有運走,問如何調(diào)配勞動力才使挖出來的土能及時運走且不窩工?要解決此問題,可設(shè)派人挖土.列方程①；②;③;④.例8:八（1）、八(２）兩班同學(xué)參與綠化祖國植樹活動,已知八(1)班每小時比八（2)班多種2棵樹,八（1）班種6６棵樹所用時間與八(2)班種６0棵樹所用時間相同,求:八(1)、八(２）兩班每小時各種幾棵樹？例９：某一一項工程預(yù)計在規(guī)定的日期內(nèi)完畢,假如甲獨做剛好能完畢，假如乙獨做就要超過日期3天，現(xiàn)在甲、乙兩人合做2天，剩下的工程由乙獨做，剛剛好在規(guī)定的日期完畢,問規(guī)定日期是幾天？例１0:服裝廠接到加工72０件衣服的訂單，預(yù)計天天做４8件，正好可以準(zhǔn)時完畢,后因客戶規(guī)定提前5天交貨,則天天應(yīng)比原計劃多做多少件?例11:為加快西部大開發(fā)的步伐，決定新修一條公路,甲、乙兩工程隊承包此項工程。假如甲工程隊單獨施工，則剛好可以按期完畢;假如乙工程隊單獨施工就要超過６個月才干完畢?，F(xiàn)在甲、乙兩隊先共同施工4個月，剩下的由乙隊單獨施工，則也剛好可以按期完畢。問師宗縣本來規(guī)定修好這條公路需多長時間？例１2：某工程由甲、乙兩隊合做６天完畢,廠家需付甲、乙兩隊共435０元；乙、丙兩隊合做1０天完畢，廠家需付乙、丙兩隊共4750元；甲、丙兩隊合做５天完畢所有工程的，廠家需付甲、丙兩隊共27５０元。(1）求甲、乙、丙各隊單獨完畢所有工程各需多少天?(２)若工期規(guī)定不超過20天完畢所有工程,問可由哪隊單獨完畢此項工程花錢最少?請說明理由。價格價錢問題：例1：“五一”江北水城文化旅游節(jié)期間,幾名同學(xué)包租一輛面包車前往旅游，面包車的租價為１8０元，出發(fā)時又增長了兩名同學(xué),結(jié)果每個同學(xué)比本來少攤了3元錢車費,設(shè)參與游覽的同學(xué)共x人，則所列方程為??( ?)A． B.Ｃ.?D．例2:用價值1０0元的甲種涂料與價值240元的乙種涂料配制成一種新涂料,其每公斤售價比甲種涂料每公斤售價少3元，比乙種涂料每公斤的售價多1元，求這種新涂料每公斤的售價是多少元？若設(shè)這種新涂料每公斤的售價為ｘ元，則根據(jù)題意可列方程為__＿_(dá)___＿．例3：某工程隊要招聘甲、乙兩種工種的工人１５0人,甲、乙兩種工種的工人的月工資分別為60０元和１000元，現(xiàn)規(guī)定乙種工種的人數(shù)不少于甲種工種人數(shù)的2倍，問甲、乙同種工種各招聘多少人時，可使得每月所付的工資最少?例4:為了幫助遭受自然災(zāi)害的地區(qū)重建家園，某學(xué)校號召同學(xué)們自愿捐款。已知第一次捐款總額為4800元,第二次捐款總額為5000元,第二次捐款人數(shù)比第一次捐款人數(shù)多20人，并且兩次人均捐款額恰好相等。那么這兩次各有多少人進行捐款？例５:隨著IT技術(shù)的普及，越來越多的學(xué)校開設(shè)了微機課.某初中計劃拿出72萬元購買電腦，由于團隊購買,結(jié)果每臺電腦的價格比計劃減少了50０元，因此實際支出了64萬元.學(xué)校共買了多少臺電腦？若每臺電腦天天最多可使用4節(jié)課,這些電腦天天最多可供多少學(xué)生上微機課？(該校上微機課時規(guī)定為單人單機)例6:光明中學(xué)兩名教師帶領(lǐng)若干名三好學(xué)生去參與夏令營活動，聯(lián)系了甲、乙兩家旅游公司，甲公司提供的優(yōu)惠條件是:１名教師收行業(yè)統(tǒng)一規(guī)定的全票，其余的人按折收費,乙公司則是:所有人所有按8折收費．經(jīng)核算甲公司的優(yōu)惠價比乙公司的優(yōu)惠價便宜，那么參與活動的學(xué)生人數(shù)是多少人？例7：某商廈用8萬元購進奧運紀(jì)念運動休閑衫，面市后供不應(yīng)求,商廈又用17.6萬元購進了第二批這種襯衫,所購數(shù)量是第一批購進數(shù)量的2倍,但單價貴了４元，商廈銷售這種運動休閑衫時每件定價都是58元，最后剩下的1５0件按八折銷售，不久售完,請問在這兩筆生意中,商廈共贏利多少元?順?biāo)嫠畣栴}:例１:Ａ、Ｂ兩地相距４８千米,一艘輪船從A地順流航行至B地，又立即從B地逆流返回A地,共用去9小時，已知水流速度為４千米/時，若設(shè)該輪船在靜水中的速度為ｘ千米/時,則可列方程(）A、B、C、Ｄ、例2：一只船順流航行90km與逆流航行６0km所用的時間相等,若水流速度是2km/h,求船在靜水中的速度，設(shè)船在靜水中速度為xkｍ/h,則可列方程（）＝Ｂ、＝Ｃ、+3＝D、+3＝例３:輪船順流航行6６千米所需時間和逆流航行４8千米所需時間相同,已知水流速度是每小時３千米,求輪船在靜水中的速度。行程問題:例1：在一段坡路,小明騎自行車上坡的速度為每小時V1千米,下坡時的速度為每小時V2千米，則他在這段路上、下坡的平均速度是每小時（)千米B、千米C、千米Ｄ、無法擬定例2:甲、乙兩人分別從兩地同時出發(fā),若相向而行，則小時相遇;若同向而行,則小時甲追上乙．那么甲的速度是乙的速度的()A．倍? Ｂ．倍 Ｃ．倍? Ｄ.倍例3：八年級A、B兩班學(xué)生去距學(xué)校4.５千米的石湖公園游玩,Ａ班學(xué)生步行出發(fā)半小時后，Ｂ班學(xué)生騎自行車開始出發(fā),結(jié)果兩班學(xué)生同時到達(dá)石湖公園,假如騎自行車的速度是步行速度的3倍，求步行和騎自行車的速度各是多少千米／小時？例4:A、B兩地的距離是80公里,一輛公共汽車從Ａ地駛出3小時后,一輛小汽車也從A地出發(fā)，它的速度是公共汽車的３倍，已知小汽車比公共汽車遲2０分鐘到達(dá)B地，求兩車的速度。例5：甲、乙兩火車站相距１28０千米，采用“和諧”號動車組提速后，列車行駛速度是本來速度的3.２倍,從甲站到乙站的時間縮短了１1小時,求列車提速后的速度。數(shù)字問題：例1:一個分?jǐn)?shù)的分子比分母小6,假如分子分母都加１，則這個分?jǐn)?shù)等于,求這個分?jǐn)?shù)．例2:一個兩位數(shù),個位數(shù)字是2,假如把十位數(shù)字與個位數(shù)字對調(diào),所得到的新的