2023年全國7月高等教育自學考試復變函數與積分變換試題

全國2023年７月高等教育自學考試復變函數與積分變換試題課程代碼：021９9一、單項選擇題(本大題共10小題，每小題2分,共2０分)在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目規(guī)定的,請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。１.arg(）A.- Ｂ.-+2，（k＝0,±1,±2）Ｃ.?D.+２,(k=0,±1,±2）2.設Ｄ={z|0<|ｚ+２i|２｝,則Ｄ為（)Ａ.有界單連通區(qū)域 B.有界多連通區(qū)域C．無界單連通區(qū)域?D.無界多連通區(qū)域3．ln(-４-3i)=(）A.ln5+i(-π+arctg) B.ln5+i(π+arctg)C.ｌｎ5＋i(-π+arctg) D.ln5+i(π+aｒctg)4.設f（ｚ)=u(x,y）+iv(x,y）,(z=x+iy，z0=x0+ｉy0），則的充要條件是(）A.? B.C.或D.且5.＝（）A．0 Ｂ．１C.2π D.2πi６.=(）A.0?B．1C．2π D.2πi７.冪級數的收斂半徑是()Ａ.２ Ｂ.3C.４?D．５8.Reｓ[tgπz,］=()A.- B.－C．?Ｄ．9．分式線性映射ω＝將單位圓內部|z|<1映射成(）A.|ω|＜１ B.|ω｜<2C.|ω|>2?D.|ω|>１10.函數f(t)=cｏsｔsｉnt的傅氏變換為(）Ａ.?B.C．?D．二、填空題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）請在每小題的空格中填上對的答案。錯填、不填均無分。11.方程z３-1=0根的三角表達式ｚk＝_________＿_＿_＿__.12.若函數ω=f(z)___＿______＿____＿,則稱函數ω＝ｆ(z)在點z0處解析.1３.＿___＿__＿___＿__＿_.１4.z=0是函數的孤立奇點，且孤立奇點的類型是_____＿_＿＿______＿.15._______＿____＿_＿_.1６.將ｚ=∞，i和０分別相應,i和∞的分式線性映射__＿_____＿_＿_____.三、計算題(本大題共8小題，共5２分)1７．(本題6分)用cosθ與ｓｉnθ表達ｓin4θ.１8.(本題６分)已知ｚ時為調和函數，求解析函數ｆ（z)＝u+iv的導數，并將它表達成ｚ的函數形式．１９.（本題６分)設f(z)=x2-y2－3y+ｉ(axｙ+3ｘ）在復平面上解析,試擬定ａ的值.２0.(本題6分)計算積分I=,其中Ｃ為連接由點0到點1＋i的直線段.21.（本題７分)計算積分Ｉ=，其中C為正向圓周｜z|＝２.2２.(本題7分)將函數在z=２處展開為泰勒級數．23.(本題7分)將函數在圓環(huán)域１<|z|<2內展開為羅朗級數.24．(本題７分)運用留數計算積分I=,其中C為正向圓周x２+y２=2(x+ｙ).四、綜合題(本大題共3小題，第２5小題必做，第２6、２７小題只選做一題，兩題都做，以26小題計分。每小題８分,共1６分）２5.(1）求在上半平面內的所有孤立奇點;（2)求ｆ(z)在以上各孤立奇點的留數；(3)運用以上結果計算I=．26.設Ｚ平面上區(qū)域D：0<argz<,試求下列保角映射:(１)ω1=f1(z)把Ｄ映射成W1平面上區(qū)域D1:Imω1>0;（2)ω2=ｆ2（ω１）把Ｄ1映射成W2平面上區(qū)域D2：|ω2|<１,并且滿足ｆ2(i)=0;(３)ω＝f3（ω2)把D２映射成W平面上區(qū)域D3:|ω-i|<2;(4)綜合以上三步,求保角映射ω＝f（z)把D映射成D3:|ω-i｜<2．2７．(1)求ｅ-