應(yīng)聘高校數(shù)學(xué)老師試講課件之微分中值定理及其應(yīng)用

應(yīng)聘老師簡(jiǎn)介：

**大學(xué)研究生教育學(xué)院計(jì)算數(shù)學(xué)博士（碩士）研究生***應(yīng)聘崗位：基礎(chǔ)部數(shù)學(xué)教師

微分中值定理及其應(yīng)用一、羅爾（Rolle）定理定理(Rolle)若函數(shù)f(x)滿足（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)（2）在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等f(wàn)(a)=f(b)例如,幾何解釋:若連續(xù)曲線弧的兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，且除去兩個(gè)端點(diǎn)外處處有不垂直于橫軸的切線，物理解釋:變速直線運(yùn)動(dòng)在折返點(diǎn)處,瞬時(shí)速度等于零.證注①Rolle定理有三個(gè)條件：閉區(qū)間連續(xù)；開(kāi)區(qū)間可導(dǎo)區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等；這三個(gè)條件只是充分條件，而非必要條件如：y=x2在[-1,2]上滿足(1),(2)，不滿足(3)卻在(-1,2)內(nèi)有一點(diǎn)x=0使但定理的條件又都是必須的，即為了保證結(jié)論成立三個(gè)條件缺一不可。例如,又例如,在[0,1]上除去x=0不連續(xù)外，滿足羅爾定理的一切條件再例如在[0,1]上除去端點(diǎn)的函數(shù)值不相等外，滿足羅爾定理的一切條件②羅爾定理的結(jié)論是在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有一使導(dǎo)數(shù)等0的點(diǎn)。有的函數(shù)這樣的點(diǎn)可能不止一個(gè)；另外還要注意點(diǎn)ξ并未具體指出，即使對(duì)于給定的具體函數(shù)，點(diǎn)ξ也不一定能指出是哪一點(diǎn)，如在[-1，0]上滿足羅爾定理的全部條件，而但卻不易找到使但根據(jù)定理，這樣的點(diǎn)是存在的。即便如此，我們將會(huì)看到，這絲毫不影響這一重要定理的應(yīng)用。例1證由介值定理即為方程的小于1的正實(shí)根.矛盾,例2證明至多有三個(gè)實(shí)根證直接證明有困難，采用反證法設(shè)有四個(gè)實(shí)根連續(xù)、可導(dǎo)對(duì)用羅爾定理得連續(xù)、可導(dǎo)對(duì)用羅爾定理得連續(xù)、可導(dǎo)對(duì)用羅爾定理得矛盾得證結(jié)論成立二、拉格朗日(Lagrange)中值定理幾何解釋:證分析:弦AB方程為作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.拉格朗日中值公式又稱有限增量公式.拉格朗日中值定理又稱有限增量定理.微分中值定理推論1推論2例2證例3證由上式得例4證Lagrange定理例5設(shè)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)函數(shù)f(x)在[a,b]上二階可導(dǎo)曲線y=f(x)與拋物線在（a,b）內(nèi)有一個(gè)交點(diǎn)證明證如圖所示oxyy=f(x)abcMN由羅爾定理，得再由羅爾定理，得三、柯西(Cauchy)中值定理幾何解釋:證作輔