概率論課件 第1章第1講事件與概率

第一章事件與概率§1.1隨機事件和樣本空間§1.2概率和頻率§1.3古典概型§1.4概率的公理化定義及性質§1.5條件概率、§1.7貝努里概型§1.6獨立性全概率與貝葉斯公式概率統(tǒng)計是研究隨機現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學學科,理論嚴謹,應用廣泛,發(fā)展迅速。目前，不僅高等學校各專業(yè)都開設了這門課程,而且從上世紀末開始，這門課程特意被國家教委定為本科生考研的數(shù)學課程之一。概率(或然率或幾率)——隨機事件出現(xiàn)的可能性的量度——起源：博弈問題。16世紀意大利學者研究擲骰子問題，17世紀中葉，法國數(shù)學家B.帕斯卡、荷蘭數(shù)學家C.惠更斯基于排列組合的方法，解決了“合理分配賭注問題”。本學科的ABC數(shù)理統(tǒng)計學是一門研究怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機性的數(shù)據(jù)，以對客觀世界中隨機現(xiàn)象的分析產(chǎn)生了概率論；使概率論成為數(shù)學的一個分支的真正奠基人是瑞士數(shù)學家J.伯努利；而概率論的飛速發(fā)展則在17世紀微積分學說建立以后。統(tǒng)計方法的數(shù)學理論要用到很多近代數(shù)學知識，如函數(shù)論、拓撲學、矩陣代數(shù)、組合數(shù)學等等，但關系最密切的是概率論，概率論是數(shù)理統(tǒng)計學的基礎，數(shù)理統(tǒng)計學是概率論的一種應用。而它們又是兩個并列的數(shù)學分支學科。對所考察的問題作出推斷或預測，直至為采取一定的決策和行動提供依據(jù)和建議的數(shù)學分支學科。本學科的應用概率統(tǒng)計理論與方法的應用幾乎遍及所有科學技術領域：

1.氣象、水文、地震預報、人口控制及預測都與概率論緊密相關；2.產(chǎn)品的抽樣驗收，新研制的藥品能否3.尋求最佳生產(chǎn)方案要進行實驗設計和數(shù)據(jù)處理；在臨床中應用，均需要用到假設檢驗；

4.電子系統(tǒng)的設計,火箭衛(wèi)星的研制與發(fā)射都離不開可靠性估計;

5.探討太陽黑子的變化規(guī)律時，時間序列分析方法非常有用;

6.研究化學反應的時變率，要以馬爾可夫過程來描述;

7.在生物學中研究群體的增長問題時提出了生滅型隨機模型，傳染病流行問題要用到多變量非線性生滅過程；法國數(shù)學家拉普拉斯說：“生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實質上只是概率的問題?！痹S多服務系統(tǒng)，如電話通信、船舶裝卸、機器維修、病人候診、存貨控制、水庫調度、購物排隊、紅綠燈轉換等，都可用一類概率模型來描述，其涉及到的知識就是排隊論?！?.1隨機事件和樣本空間

生活中最重要的問題，其中絕大多數(shù)在實質上只是概率的問題。-------拉普拉斯

我又轉念，見日光之下，快跑的人未必能贏，力戰(zhàn)的未必得勝，智慧的未必得糧食，明哲的未必得資財，靈巧的未必得喜悅，所臨到眾人的，是在乎當時的機會。---------傳道書

概率論是研究隨機現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學分支，為了對隨機現(xiàn)象的有關問題作出明確的數(shù)學描述，像其它數(shù)學學科一樣，概率論具有自己的嚴格的體系和結構。本章重點介紹概率論的兩個基本概念：隨機事件和概率。

在重力的作用下，物體的位移隨時間變化的函數(shù)x(t)，由二階微分方程來描述，其中g為重力加速度，這是確定的，必然的。

客觀世界的兩類現(xiàn)象，一類是在一定的條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為必然現(xiàn)象。另一類是在一定的條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為隨機現(xiàn)象。⒈擲一枚硬幣,觀察向上的面;⒉下一個交易日觀察股市的指數(shù)上升情況;⒊某人射擊一次,考察命中環(huán)數(shù);……⒈拋一石塊,觀察結局;⒉導體通電,考察溫度;⒊異性電菏放置一起,觀察其關系;……確定性現(xiàn)象：隨機現(xiàn)象：

隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性

雖然隨機現(xiàn)象中出現(xiàn)什么樣的結果不能事先預言，但是可以假定全部可能結果是已知的。在上述例子中，拋擲一枚硬幣只會有“正面”與“反面”這兩種可能結果，而股指的升跌幅度大小充其量假定它可能是任意的實數(shù)。可見“全部可能的結果的集合是已知的”這個假定是合理的，而且它會給我們的學習研究帶來許多方便。

由于隨機現(xiàn)象的結果事先無法預知，初看起來，隨機現(xiàn)象毫無規(guī)律可言。然而人們發(fā)現(xiàn)同一隨機現(xiàn)象在大量重復出現(xiàn)時，其每種可能的結果出現(xiàn)的頻率卻具有穩(wěn)定性，從而表明隨機現(xiàn)象也有其固有的規(guī)律性。這一點被歷史上許多人的試驗所證明。

進行一次試驗，如果其所得結果不能完全預知，但其全體可能結果是已知的，則稱此試驗為隨機試驗。（1）可重復性：試驗原則上可在相同條件下重復進行;（2）可觀察性：試驗結果是可觀察的，所有可能的結果是明確的；隨機試驗的特點：（3）

隨機性：每次試驗將要出現(xiàn)的結果是不確定的，事先無法準確預知。下表列出Buffon等人連續(xù)拋擲均勻硬幣所得的結果。從表中數(shù)據(jù)可以看到，當拋擲次數(shù)很大時，正面出現(xiàn)的頻率非常接近0.5，就是說，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的機會差不多各占一半。

表1.1拋擲硬幣試驗試驗拋硬幣次數(shù)出現(xiàn)正面次數(shù)出現(xiàn)正面頻率Buffon404020480.5069DeMorgan409220480.5005Feller1000049790.4979Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005Lomanovskii80640396990.4923試驗的結果表明，在相同條件下大量地重復某一隨機試驗時，各可能結果出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在某個確定的數(shù)值附近。稱這種性質為頻率的穩(wěn)定性。樣本空間隨機試驗的每一個可能的結果稱為一個樣本點，因而一個隨機試驗的所有樣本點也是明確的，它們的全體，稱為樣本空間，習慣上分別用與表示樣本點與樣本空間。例1.拋擲兩枚硬幣觀察其正面與反面出現(xiàn)的情況。其樣本空間由四個樣本點組成。即={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}。這里，比如樣本點=（正，反）表示第一枚硬幣拋出正面而第二枚拋得反面。

例2.觀察某電話交換臺在一天內收到的呼叫次數(shù)，其樣本點有可數(shù)無窮多個：i次，i=0,1,2,…，樣本空間為={0次，1次，2次,…}

例4.觀察一個新燈泡的壽命，其樣本點也有無窮多個：t小時，樣本空間為：

例3.連接射擊直到命中為止。為了簡潔地寫出其樣本空間，我們約定以“0”表示一次射擊未中，而以“1”表示命中。則樣本空間={1，01，001，…，0001，…}寫出下列各個試驗的樣本空間:1擲一枚均勻硬幣，觀察正面(H)反面(T)出現(xiàn)的情況；2.將一枚硬幣連拋三次，觀察正面出現(xiàn)的情況；3.某袋子中裝有5個球,其中3個紅球,編號A、B、C,有2個黃球，編號D、F，現(xiàn)從中任取一個球,觀察顏色.若是觀察編號呢？課堂練習4.袋中有編號為1,2,3,…,n的球,從中任取一個,觀察球的號碼；5.從自然數(shù)1,2,3,…,N(N≥3)中接連隨意取三個,每取一個還原后再取下一個.若是不還原呢？若是一次就取三個呢？6.接連進行n次射擊,記錄命中次數(shù).若是記錄n次射擊中命中的總環(huán)數(shù)呢？7.觀察某條交通干線中某天交通事故的次數(shù)。課堂練習我們時常會關心試驗的某一部分可能結果是否出現(xiàn)。稱這種由部分樣本點組成的試驗結果為隨機事件，簡稱事件。通常用大寫的字母A、B…等表示。某事件發(fā)生，就是屬于該集合的某一樣本點在試驗中出現(xiàn)。記為試驗中出現(xiàn)的樣本點，那么事件A發(fā)生當且僅當時發(fā)生。由于樣本空間包含了全部可能結果，因此在每次隨機事件及其運算試驗中都會發(fā)生，故稱為必然事件。相反，空集不包含任何樣本點，每次試驗必定不發(fā)生，故稱為不可能事件。1.事件的包含如果事件A發(fā)生必然導致B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，或稱事件A包含于事件B。記作或

2.事件相等

如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，則稱事件A與B相等。記作A=B。

3.事件的并“事件A與B至少有一個發(fā)生”這一事件稱作事件A與B的并，記作。4.事件的交“事件A與B都發(fā)生”這一事件稱作事件A與B的交,記作或AB。

5.事件的差“事件A發(fā)生而B不發(fā)生”這一事件稱作事件A與B的差,記作A-B.B事件A與B不能同時發(fā)生，也就是說AB是不可能事件，即，則稱A與B是互不相容事件.6.互不相容事件7.對立事件“事件A不發(fā)生”這一事件稱作事件A的對立事件，記作，易見，AB

8.完備事件組設是有限或可數(shù)個事件，若滿足：是一個完備事件則稱組。顯然，A與構成一個完備事件組。表1.2符號集合論概率論全集樣本空間：必然事件空集不可能事件事件的關系和運算集合論的有關結論中的點（或稱元素）樣本點單點集基本事件的子集A事件A集合A包含在集合B中事件A包含于事件B中集合A與集合B相等事件A與事件B相等集合A與集合B的并事件A與B至少有一個發(fā)生集合A與集合B的交事件A與事件B同時發(fā)生集合A的余集事件A的對立事件集合A與集合B的差事件A發(fā)生而B不發(fā)生集合A與B沒有公共元素事件A與B互不相容（互斥）推廣:注:1.設事件A={甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷}，則A的對立事件為（

）①甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷；②甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷；③甲種產(chǎn)品滯銷；④甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷。課堂練習④2.設x表示一個沿數(shù)軸做隨機運動的質點位置，試說明下列各對事件間的關系