概率論課件 第1章第1講事件與概率

第一章事件與概率§1.1隨機(jī)事件和樣本空間§1.2概率和頻率§1.3古典概型§1.4概率的公理化定義及性質(zhì)§1.5條件概率、§1.7貝努里概型§1.6獨(dú)立性全概率與貝葉斯公式概率統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)學(xué)科,理論嚴(yán)謹(jǐn),應(yīng)用廣泛,發(fā)展迅速。目前，不僅高等學(xué)校各專業(yè)都開設(shè)了這門課程,而且從上世紀(jì)末開始，這門課程特意被國(guó)家教委定為本科生考研的數(shù)學(xué)課程之一。概率(或然率或幾率)——隨機(jī)事件出現(xiàn)的可能性的量度——起源：博弈問(wèn)題。16世紀(jì)意大利學(xué)者研究擲骰子問(wèn)題，17世紀(jì)中葉，法國(guó)數(shù)學(xué)家B.帕斯卡、荷蘭數(shù)學(xué)家C.惠更斯基于排列組合的方法，解決了“合理分配賭注問(wèn)題”。本學(xué)科的ABC數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是一門研究怎樣去有效地收集、整理和分析帶有隨機(jī)性的數(shù)據(jù)，以對(duì)客觀世界中隨機(jī)現(xiàn)象的分析產(chǎn)生了概率論；使概率論成為數(shù)學(xué)的一個(gè)分支的真正奠基人是瑞士數(shù)學(xué)家J.伯努利；而概率論的飛速發(fā)展則在17世紀(jì)微積分學(xué)說(shuō)建立以后。統(tǒng)計(jì)方法的數(shù)學(xué)理論要用到很多近代數(shù)學(xué)知識(shí)，如函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)、矩陣代數(shù)、組合數(shù)學(xué)等等，但關(guān)系最密切的是概率論，概率論是數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)是概率論的一種應(yīng)用。而它們又是兩個(gè)并列的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。對(duì)所考察的問(wèn)題作出推斷或預(yù)測(cè)，直至為采取一定的決策和行動(dòng)提供依據(jù)和建議的數(shù)學(xué)分支學(xué)科。本學(xué)科的應(yīng)用概率統(tǒng)計(jì)理論與方法的應(yīng)用幾乎遍及所有科學(xué)技術(shù)領(lǐng)域：

1.氣象、水文、地震預(yù)報(bào)、人口控制及預(yù)測(cè)都與概率論緊密相關(guān)；2.產(chǎn)品的抽樣驗(yàn)收，新研制的藥品能否3.尋求最佳生產(chǎn)方案要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)和數(shù)據(jù)處理；在臨床中應(yīng)用，均需要用到假設(shè)檢驗(yàn)；

4.電子系統(tǒng)的設(shè)計(jì),火箭衛(wèi)星的研制與發(fā)射都離不開可靠性估計(jì);

5.探討太陽(yáng)黑子的變化規(guī)律時(shí)，時(shí)間序列分析方法非常有用;

6.研究化學(xué)反應(yīng)的時(shí)變率，要以馬爾可夫過(guò)程來(lái)描述;

7.在生物學(xué)中研究群體的增長(zhǎng)問(wèn)題時(shí)提出了生滅型隨機(jī)模型，傳染病流行問(wèn)題要用到多變量非線性生滅過(guò)程；法國(guó)數(shù)學(xué)家拉普拉斯說(shuō)：“生活中最重要的問(wèn)題，其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問(wèn)題?！痹S多服務(wù)系統(tǒng)，如電話通信、船舶裝卸、機(jī)器維修、病人候診、存貨控制、水庫(kù)調(diào)度、購(gòu)物排隊(duì)、紅綠燈轉(zhuǎn)換等，都可用一類概率模型來(lái)描述，其涉及到的知識(shí)就是排隊(duì)論?！?.1隨機(jī)事件和樣本空間

生活中最重要的問(wèn)題，其中絕大多數(shù)在實(shí)質(zhì)上只是概率的問(wèn)題。-------拉普拉斯

我又轉(zhuǎn)念，見日光之下，快跑的人未必能贏，力戰(zhàn)的未必得勝，智慧的未必得糧食，明哲的未必得資財(cái)，靈巧的未必得喜悅，所臨到眾人的，是在乎當(dāng)時(shí)的機(jī)會(huì)。---------傳道書

概率論是研究隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性的數(shù)學(xué)分支，為了對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象的有關(guān)問(wèn)題作出明確的數(shù)學(xué)描述，像其它數(shù)學(xué)學(xué)科一樣，概率論具有自己的嚴(yán)格的體系和結(jié)構(gòu)。本章重點(diǎn)介紹概率論的兩個(gè)基本概念：隨機(jī)事件和概率。

在重力的作用下，物體的位移隨時(shí)間變化的函數(shù)x(t)，由二階微分方程來(lái)描述，其中g(shù)為重力加速度，這是確定的，必然的。

客觀世界的兩類現(xiàn)象，一類是在一定的條件下必然出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為必然現(xiàn)象。另一類是在一定的條件下可能出現(xiàn)也可能不出現(xiàn)的現(xiàn)象，稱之為隨機(jī)現(xiàn)象。⒈擲一枚硬幣,觀察向上的面;⒉下一個(gè)交易日觀察股市的指數(shù)上升情況;⒊某人射擊一次,考察命中環(huán)數(shù);……⒈拋一石塊,觀察結(jié)局;⒉導(dǎo)體通電,考察溫度;⒊異性電菏放置一起,觀察其關(guān)系;……確定性現(xiàn)象：隨機(jī)現(xiàn)象：

隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性

雖然隨機(jī)現(xiàn)象中出現(xiàn)什么樣的結(jié)果不能事先預(yù)言，但是可以假定全部可能結(jié)果是已知的。在上述例子中，拋擲一枚硬幣只會(huì)有“正面”與“反面”這兩種可能結(jié)果，而股指的升跌幅度大小充其量假定它可能是任意的實(shí)數(shù)?？梢姟叭靠赡艿慕Y(jié)果的集合是已知的”這個(gè)假定是合理的，而且它會(huì)給我們的學(xué)習(xí)研究帶來(lái)許多方便。

由于隨機(jī)現(xiàn)象的結(jié)果事先無(wú)法預(yù)知，初看起來(lái)，隨機(jī)現(xiàn)象毫無(wú)規(guī)律可言。然而人們發(fā)現(xiàn)同一隨機(jī)現(xiàn)象在大量重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，其每種可能的結(jié)果出現(xiàn)的頻率卻具有穩(wěn)定性，從而表明隨機(jī)現(xiàn)象也有其固有的規(guī)律性。這一點(diǎn)被歷史上許多人的試驗(yàn)所證明。

進(jìn)行一次試驗(yàn)，如果其所得結(jié)果不能完全預(yù)知，但其全體可能結(jié)果是已知的，則稱此試驗(yàn)為隨機(jī)試驗(yàn)。（1）可重復(fù)性：試驗(yàn)原則上可在相同條件下重復(fù)進(jìn)行;（2）可觀察性：試驗(yàn)結(jié)果是可觀察的，所有可能的結(jié)果是明確的；隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)：（3）

隨機(jī)性：每次試驗(yàn)將要出現(xiàn)的結(jié)果是不確定的，事先無(wú)法準(zhǔn)確預(yù)知。下表列出Buffon等人連續(xù)拋擲均勻硬幣所得的結(jié)果。從表中數(shù)據(jù)可以看到，當(dāng)拋擲次數(shù)很大時(shí)，正面出現(xiàn)的頻率非常接近0.5，就是說(shuō)，出現(xiàn)正面與出現(xiàn)反面的機(jī)會(huì)差不多各占一半。

表1.1拋擲硬幣試驗(yàn)試驗(yàn)拋硬幣次數(shù)出現(xiàn)正面次數(shù)出現(xiàn)正面頻率Buffon404020480.5069DeMorgan409220480.5005Feller1000049790.4979Pearson1200060190.5016Pearson24000120120.5005Lomanovskii80640396990.4923試驗(yàn)的結(jié)果表明，在相同條件下大量地重復(fù)某一隨機(jī)試驗(yàn)時(shí)，各可能結(jié)果出現(xiàn)的頻率穩(wěn)定在某個(gè)確定的數(shù)值附近。稱這種性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性。樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)的每一個(gè)可能的結(jié)果稱為一個(gè)樣本點(diǎn)，因而一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)的所有樣本點(diǎn)也是明確的，它們的全體，稱為樣本空間，習(xí)慣上分別用與表示樣本點(diǎn)與樣本空間。例1.拋擲兩枚硬幣觀察其正面與反面出現(xiàn)的情況。其樣本空間由四個(gè)樣本點(diǎn)組成。即={(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}。這里，比如樣本點(diǎn)=（正，反）表示第一枚硬幣拋出正面而第二枚拋得反面。

例2.觀察某電話交換臺(tái)在一天內(nèi)收到的呼叫次數(shù)，其樣本點(diǎn)有可數(shù)無(wú)窮多個(gè)：i次，i=0,1,2,…，樣本空間為={0次，1次，2次,…}

例4.觀察一個(gè)新燈泡的壽命，其樣本點(diǎn)也有無(wú)窮多個(gè)：t小時(shí)，樣本空間為：

例3.連接射擊直到命中為止。為了簡(jiǎn)潔地寫出其樣本空間，我們約定以“0”表示一次射擊未中，而以“1”表示命中。則樣本空間={1，01，001，…，0001，…}寫出下列各個(gè)試驗(yàn)的樣本空間:1擲一枚均勻硬幣，觀察正面(H)反面(T)出現(xiàn)的情況；2.將一枚硬幣連拋三次，觀察正面出現(xiàn)的情況；3.某袋子中裝有5個(gè)球,其中3個(gè)紅球,編號(hào)A、B、C,有2個(gè)黃球，編號(hào)D、F，現(xiàn)從中任取一個(gè)球,觀察顏色.若是觀察編號(hào)呢？課堂練習(xí)4.袋中有編號(hào)為1,2,3,…,n的球,從中任取一個(gè),觀察球的號(hào)碼；5.從自然數(shù)1,2,3,…,N(N≥3)中接連隨意取三個(gè),每取一個(gè)還原后再取下一個(gè).若是不還原呢？若是一次就取三個(gè)呢？6.接連進(jìn)行n次射擊,記錄命中次數(shù).若是記錄n次射擊中命中的總環(huán)數(shù)呢？7.觀察某條交通干線中某天交通事故的次數(shù)。課堂練習(xí)我們時(shí)常會(huì)關(guān)心試驗(yàn)的某一部分可能結(jié)果是否出現(xiàn)。稱這種由部分樣本點(diǎn)組成的試驗(yàn)結(jié)果為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件。通常用大寫的字母A、B…等表示。某事件發(fā)生，就是屬于該集合的某一樣本點(diǎn)在試驗(yàn)中出現(xiàn)。記為試驗(yàn)中出現(xiàn)的樣本點(diǎn)，那么事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)發(fā)生。由于樣本空間包含了全部可能結(jié)果，因此在每次隨機(jī)事件及其運(yùn)算試驗(yàn)中都會(huì)發(fā)生，故稱為必然事件。相反，空集不包含任何樣本點(diǎn)，每次試驗(yàn)必定不發(fā)生，故稱為不可能事件。1.事件的包含如果事件A發(fā)生必然導(dǎo)致B發(fā)生，則稱事件B包含事件A，或稱事件A包含于事件B。記作或

2.事件相等

如果事件A包含事件B，事件B也包含事件A，則稱事件A與B相等。記作A=B。

3.事件的并“事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生”這一事件稱作事件A與B的并，記作。4.事件的交“事件A與B都發(fā)生”這一事件稱作事件A與B的交,記作或AB。

5.事件的差“事件A發(fā)生而B不發(fā)生”這一事件稱作事件A與B的差,記作A-B.B事件A與B不能同時(shí)發(fā)生，也就是說(shuō)AB是不可能事件，即，則稱A與B是互不相容事件.6.互不相容事件7.對(duì)立事件“事件A不發(fā)生”這一事件稱作事件A的對(duì)立事件，記作，易見，AB

8.完備事件組設(shè)是有限或可數(shù)個(gè)事件，若滿足：是一個(gè)完備事件則稱組。顯然，A與構(gòu)成一個(gè)完備事件組。表1.2符號(hào)集合論概率論全集樣本空間：必然事件空集不可能事件事件的關(guān)系和運(yùn)算集合論的有關(guān)結(jié)論中的點(diǎn)（或稱元素）樣本點(diǎn)單點(diǎn)集基本事件的子集A事件A集合A包含在集合B中事件A包含于事件B中集合A與集合B相等事件A與事件B相等集合A與集合B的并事件A與B至少有一個(gè)發(fā)生集合A與集合B的交事件A與事件B同時(shí)發(fā)生集合A的余集事件A的對(duì)立事件集合A與集合B的差事件A發(fā)生而B不發(fā)生集合A與B沒(méi)有公共元素事件A與B互不相容（互斥）推廣:注:1.設(shè)事件A={甲種產(chǎn)品暢銷，乙種產(chǎn)品滯銷}，則A的對(duì)立事件為（

）①甲種產(chǎn)品滯銷，乙種產(chǎn)品暢銷；②甲、乙兩種產(chǎn)品均暢銷；③甲種產(chǎn)品滯銷；④甲種產(chǎn)品滯銷或者乙種產(chǎn)品暢銷。課堂練習(xí)④2.設(shè)x表示一個(gè)沿?cái)?shù)軸做隨機(jī)運(yùn)動(dòng)的質(zhì)點(diǎn)位置，試說(shuō)明下列各對(duì)事件間的關(guān)系