大學物理復習-量子力學初步

1.經(jīng)典粒子是某種實在物理量隨時間和空間作周期性變化，滿足疊加原理，可產(chǎn)生干涉、衍射等現(xiàn)象。具有確定的質量,其運動規(guī)律遵循牛頓定律。2.經(jīng)典波

經(jīng)典意義下的粒子和波給定初始條件，其位置、動量及運動軌跡等就具有確定的數(shù)值。對波粒二象性的理解25量子力學初步25.1波函數(shù)及其統(tǒng)計解釋1怎樣理解微觀粒子既是粒子又是波?──粒子看作是波包而粒子是穩(wěn)定的。波是基本的波包要擴散、消失，──波是大量粒子相互作用形成的粒子是基本的單電子的雙縫衍射實驗：（1949前蘇聯(lián)費格爾曼）7個電子100個電子2單個電子具有的波動性，而不是電子間相互作用的結果。3000個20000個70000個31.粒子性指它與物質相互作用的“顆粒性”或“整體性”。但不是經(jīng)典的粒子！在空間以概率出現(xiàn)。

沒有確定的軌道應摒棄“軌道”的概念！正確理解微觀粒子的波粒二象性2.波動性指它在空間傳播有“可疊加性”，有“干涉”、“衍射”、等現(xiàn)象。但不是經(jīng)典的波！因為它不代表實在物理量的波動。4單色平面波一個沿x方向作勻速直線運動的自由粒子(能量為E,動量為px)由德布羅依關系式復數(shù)形式（三維）自由粒子波函數(shù)

25.1.1波函數(shù)的引入5由于進行了量子力學的基本研究特別是對波函數(shù)作出的統(tǒng)計解釋玻恩（M.Born)英籍德國人(1882—1970）1954年獲諾貝爾物理學獎25.1.2波函數(shù)的統(tǒng)計解釋6德布羅意波是概率波玻恩1926年提出：物質波函數(shù)描述了粒子在各處出現(xiàn)的概率7波函數(shù)本身沒有直接的物理意義。它并不像經(jīng)典波那樣代表什么實在的物理量的波動，而其模方表示t時刻微觀粒子，在空間點出現(xiàn)的相對概率密度。式中：是空間坐標和時間坐標t的函數(shù)，是其復共軛。一個微觀客體在時刻t狀態(tài),用波函數(shù)(一般是復函數(shù))完全描述.波函數(shù)也稱為概率幅8歸一化條件根據(jù)波函數(shù)統(tǒng)計解釋，在全空間各點的概率總和必須為1。注意波函數(shù)可以允許包含一個任意的常數(shù)因子對于概率分布來講，重要的是相對概率分布和描寫同一個概率波因為對于空間任意兩點來說概率比值相同：25.1.3

波函數(shù)的標準化條件92.波函數(shù)的有限性粒子在空間某處出現(xiàn)的概率不能無限大1.波函數(shù)的單值性任意時刻粒子在空間出現(xiàn)的概率只可能是一個值波函數(shù)的標準化條件概率不能在某處發(fā)生突變3.波函數(shù)的連續(xù)性以上要求稱為波函數(shù)的標準化條件10只打開a只打開b兩縫同時打開波函數(shù)遵從疊加原理:實驗證實如果都是體系的可能狀態(tài)，那么它的線性疊加，也是這個體系的一個可能態(tài)。25.1.4.態(tài)疊加原理11波函數(shù)統(tǒng)計詮釋涉及對世界本質的認識觀念哥本哈根學派--愛因斯坦著名論戰(zhàn)量子力學背后隱藏著還沒有被揭示的更基本的規(guī)律，這個規(guī)律對量子力學有新的解釋。上帝不會擲骰子波函數(shù)的概率解釋是自然界的終極實質玻爾、波恩、海森伯、費曼等還有狄拉克、德布羅意等12上帝并不是跟宇宙玩擲骰子游戲。不確定性是物理實質，這樣的主張并不是完全站的住的。將來對物理實在的認識達到一個更深的層次時，我們可能對概率定律和量子力學做出新的解釋，即它們是目前我們尚未發(fā)現(xiàn)的那些變量的完全確定的數(shù)值演化的結果。我們現(xiàn)在開始用來擊碎原子核并產(chǎn)生新粒子的強有力的方法可能有一天向我們揭示關于這一更深層次的目前我們還不知道的知識。阻止對量子力學目前的觀點作進一步探索的嘗試對科學發(fā)展來說是非常危險的，科學史告訴我們，已獲得的知識常常是暫時的，在這些知識之外，肯定有更廣闊的新領域有待探索。在我看來，我們還沒有量子力學的基本定律，目前還在使用的定律需要作重要的修改……。當我們作出這樣劇烈的修改后，當然，我們用統(tǒng)計計算對理論作出物理解釋的觀念可能會被徹底地改變。13海森伯（W.K.Heisenberg，1901-1976）

德國理論物理學家。他于1925年為量子力學的創(chuàng)立作出了最早的貢獻，而于25歲時提出的不確定關系則與物質波的概率解釋一起奠定了量子力學的基礎。為此，他于1932年獲得諾貝爾物理學獎金。25.2不確定關系14以電子束單縫衍射為例.........只計中央明紋區(qū),角寬度一、位置和動量的不確定關系d1位置不確定量：ppypx15ppypxd1能量與時間不確定關系式16解子彈的動量動量的不確定范圍位置的不確定量范圍

例1一顆質量為10g的子彈，具有的速率.若其動量的不確定范圍為動量的

(這在宏觀范圍是十分精確的),則該子彈位置的不確定量范圍為多大?17譜線的自然寬度例：若原子處于激發(fā)態(tài)能級的壽命，求光譜線的自然寬度。則解：18問題的提出：物理討論會（1926）薛定諤：你能不能給我們講一講DeBroglie的那篇學位論文呢？瑞士聯(lián)邦工業(yè)大學

一月以后：薛定諤向大家介紹了德布羅意的論文。你這種談論太幼稚，作為索末菲的門徒，都知道：處理波要有一個波動程方才行啦！德拜薛定諤25.3薛定諤方程19瑞士聯(lián)邦工業(yè)大學又過了幾個星期原來薛定諤方程是利用經(jīng)典物理，用類比的辦法得到的，或者說開始只不過是一個假定，爾后為實驗證實。物理討論會（1926）20定態(tài)薛定諤方程：如果粒子所處的勢場U(r)與時間無關(即 不顯含時間),可用分離變量法求解.令除以得這是兩個微分方程21(1)的解對比自由粒子波函數(shù),常數(shù)E就是能量定態(tài)薛定諤方程稱能量算符或哈密頓算符式稱為的本征方程E稱為的本征值稱為的本征函數(shù)22勢阱內(nèi)則其通解勢阱外oaxU25.4.1一維無限深方勢阱23式中A,B為待定系數(shù)與本征值En對應本征函數(shù)24阱外x0,xa勢阱內(nèi)x正向波x反向波25一維無限深方勢阱中粒子的波函數(shù)和概率密度0a0a/2o26(2)無限深方勢阱粒子能譜為離散能譜，能級分布不均勻n越大,能級間隔越大。其余稱為激發(fā)態(tài)(3)勢阱中粒子波函數(shù)是駐波基態(tài)除x=-0,x=a無節(jié)點.第一激發(fā)態(tài)有一個節(jié)點,

k激發(fā)態(tài)有k=n-1個節(jié)點.(4)概率密度分布不均勻當n時過渡到經(jīng)典力學(1)無限深方勢阱中粒子能量量子化

n是量子數(shù)，En稱為能級.E1E2E3E4a0Xa0X歸納：在某些極限條件下,量子規(guī)律可以轉化為經(jīng)典規(guī)律。2725.4.2.勢壘穿透和隧道效應考慮E＜U0的情況研究穿透問題ⅠⅡⅢU(x)x0aU0ⅠⅡⅢ28上述各方程的解ⅠⅡⅢⅠⅡⅢU(x)x0aU0穿透系數(shù)29經(jīng)典隧道效應量子3031例:設粒子在一維無限深方勢阱中運動,能量的量子數(shù)為n,試求:(1)距勢阱內(nèi)壁四分之一寬度以內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率;(2)n為何值時在上述區(qū)域內(nèi)找到粒子的概率最大;(3)當n時該概率的極值,并說明這一結果的物理意義.解:無限深方勢阱為00<x<a

x0,xa其歸一化波函數(shù)為概率密度a/40U(x)ax(x)(x)3a/43132(1)在距內(nèi)壁四分之一寬度內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為其中(2)n=3時上述區(qū)域找到粒子的概率最大,其值為:(3)與經(jīng)典結果相同,在勢阱內(nèi)粒子在各處出現(xiàn)的概率相等,量子力學過渡到經(jīng)典力學.32例:設粒子處在[0,a]范圍內(nèi)的一維無限深方勢阱中,波函數(shù)為試求粒子能量的可能測量值及相應的概率.解:在一維無限深方勢阱中能量本征值相應的能量本征函數(shù)為題中所給波函數(shù)為本征函數(shù)的線性組合,做變換如下:33測量能量為其概率為其概率為342.一維無限深勢阱中的粒子的定態(tài)物質波相當于兩端固定的弦中的駐波，因而勢阱寬度a必須等于德布羅意波的半波長的整數(shù)倍。(1)試由此求出粒子能量的本征值為：(2)在核(線度1.0×10-14m)內(nèi)的質子和中子可以當成是處于無限深的勢阱中而不能逸出，它們在核中的運動是自由的。按一維無限深方勢阱估算，質子從第一激發(fā)態(tài)到基態(tài)轉變時，放出的能量是多少MeV？解：在勢阱中粒子德布羅意波長為粒子的動量為：35粒子的能量為：(2)由上式，質子的基態(tài)能量為(n=1):第一激發(fā)態(tài)的能量為：n=1,2,3…36從第一激發(fā)態(tài)轉變到基態(tài)所放出的能量為：討論：實驗中觀察到的核的兩定態(tài)之間的能量差一般就是幾MeV,上述估算和此事實大致相符。n=1n=2n=337解：首先把給定的波函數(shù)歸一化做積分得3.設粒子處于由下面波函數(shù)描述的狀態(tài)：當當A是正的常數(shù)。求粒子在x軸上分布的概率密度;粒子在何處出現(xiàn)的概率最大?38因此，歸一化的波函數(shù)為當當歸一化之后，就代表概率密度了，即當當概率最大處:即x=039雙原子分子勢能曲線雙原子分子，晶體中的原子都在平衡位置附近作微小振動

1.線性諧振子定態(tài)薛定諤方程25.4.3一維諧振子40討論1.能量量子化能量本征值的零點能2.波函數(shù)41線性諧振子的位置概率密度分布線性諧振子的波函數(shù)423.量子力學n較小時,位置的概率密度分布與經(jīng)典完全不同.隨著n,如n=11時量子和經(jīng)典在平均上比較符合.43一、算符的定義作用在一個函數(shù)上得到另一函數(shù)的運算(變換)符號算符算符只是一種運算符號，它單獨存在是沒有意義的。它作用于波函數(shù)上，實現(xiàn)相應的運算才有意義。25.5力學量的平均值與算符例如44三、算符的本征（特征）值方程對于算符，如果ln

為常數(shù)則稱ln為的本征值。為與相應的本征函數(shù)。45例.力學量經(jīng)典定義算符位置動量角動量

動能

總能量46五、對易關系經(jīng)典力學量交換律，可對易量子力學？不對易記算符和的對易關系若算符和是對易的47基本對易關系不對易，不能同時具有確定值48在球極坐標中分別和對易，因而分別和同時有確定值，注意；當與同時有確定值時，和就不確定了。2，復習：利用49可求出比較；（處理H原子時用）50例粒子在寬度為a的一維無限深勢阱中運動。求：（1）粒子處于某一能級上的位置平均值；（2）粒子處于基態(tài)時，出現(xiàn)在0.45a—0.55a區(qū)域內(nèi)的概率。解：(1)由勢阱內(nèi)本征函數(shù)以及平均值求法：力學量的平均值