高中數(shù)學(xué)梯子長(zhǎng)度問(wèn)題

梯子問(wèn)題及其延生如圖所示,在一面墻壁后有一個(gè)很大的緊靠著樓房的溫室,溫室寬a米,高b米。現(xiàn)有一架l米長(zhǎng)的梯子,當(dāng)長(zhǎng)度l符合什么條件時(shí)，能將這架梯子的一端放在地上,另一端靠在樓房的墻上,使得梯子不碰壞溫室棚?這顯而易見(jiàn)就是一個(gè)極值問(wèn)題，當(dāng)長(zhǎng)度l為多少時(shí)梯子剛好能碰到點(diǎn)O，且此時(shí)l為最短設(shè)MA的長(zhǎng)度為x,則可以用a、b、x表示AB的長(zhǎng)度l得然后用圖形計(jì)算器求得該函數(shù)極小值點(diǎn)為代入x求得極小值為首先我的想法是直接引入未知數(shù)x設(shè)MA的長(zhǎng)度計(jì)算，以求得l的長(zhǎng)度如圖所示，在L型走廊中,需要將一個(gè)長(zhǎng)為p，寬為q的搬運(yùn)貨物用的手推車沿走廊推過(guò)直角拐角設(shè)拐彎前的走廊寬b，拐彎后的走廊寬a，現(xiàn)已知a>q，b>q，問(wèn)當(dāng)p在什么范圍該手推車能安穩(wěn)的推過(guò)拐角?現(xiàn)在將梯子問(wèn)題延伸與梯子問(wèn)題類似，我們用相同的方法去解決這個(gè)問(wèn)題。將AB延長(zhǎng)，則成為了跟原來(lái)一樣的梯子問(wèn)題了（不過(guò)變成求極小值）此時(shí)由之前的式子得出l的最小值為代入可得再根據(jù)基本不等式，得出q的最小值這說(shuō)明現(xiàn)在可用a、b、p三個(gè)數(shù)值求出q的最小值隨后就可以用逆公式推出a、b、q三個(gè)數(shù)值求出p的最小值。

然而經(jīng)驗(yàn)證之后得出結(jié)果卻是錯(cuò)誤的其實(shí)結(jié)果與真實(shí)值不符十分容易理解，首先將手推車這種“面”,用“線”去代替是十分不合理的，要知道p和q要取得最大值時(shí)l不一定取得最大值，這也不過(guò)是一種沒(méi)根據(jù)的猜想罷了。但是用這種思路已經(jīng)無(wú)法去解決這個(gè)問(wèn)題了，雖然在這問(wèn)題上花費(fèi)了許多時(shí)間，雖然很不舍，但只能換種解決方法了由于現(xiàn)在的手推車問(wèn)題比較復(fù)雜，應(yīng)當(dāng)先轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的梯子問(wèn)題其實(shí)當(dāng)時(shí)在做梯子問(wèn)題時(shí)我就有一種新的思路，一開始我們是設(shè)AM為多少時(shí)取得l的極值，那么我們不也可以設(shè)梯子與地面所成的角度為多少時(shí)l的長(zhǎng)度取得極值？如圖所示我們將角BAP設(shè)為x，則l可以表示為隨后用圖形計(jì)算器求導(dǎo)求得極值點(diǎn)，此時(shí)角度x取到最后帶入方程，可以解得與上次所得完全相同現(xiàn)在，我們用一下角度的方法求一下這個(gè)手推車問(wèn)題。與原方法類似。

如圖，將其中的一個(gè)角度設(shè)為x，p則為AB，則我們可以將p分解為AO以及BO兩部分，其中則我們可以將p表示為

隨后用上述的函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)果用圖形計(jì)算器也求不出來(lái)此方程的導(dǎo)數(shù)為0時(shí)x的值……

但是我們可以求得一個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)便的式子。

p取得極值時(shí)，x符合條件隨后將x帶入獲得p值的最大值，隨后賦值用圖形計(jì)算器驗(yàn)算

同理，我們可以用a、b、p來(lái)求得q的最大值因?yàn)?/p>

q取得極值時(shí)，x符合條件隨后將x帶入可獲得q值的最大值，隨后賦值用圖形計(jì)算器驗(yàn)算

同理，我們可以用p、q、b來(lái)計(jì)算a的最小值首先用p、q、b來(lái)表示a，此時(shí)

a取得極值時(shí)，x符合條件

隨后將x帶入可獲得a值的最小值，隨后賦值用圖形計(jì)算器驗(yàn)算