第七章應(yīng)力應(yīng)變分析

第七章應(yīng)力狀態(tài)強度理論工程力學(xué)第七章應(yīng)力狀態(tài)強度理論

§7-1

應(yīng)力狀態(tài)的概念

§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析§7-3空間應(yīng)力狀態(tài)分析

§7-4

強度理論

§7-5

強度理論

§7-1

應(yīng)力狀態(tài)的概念

一、應(yīng)力狀態(tài)的概念1、低碳鋼和鑄鐵的拉伸實驗2、低碳鋼和鑄鐵的扭轉(zhuǎn)實驗低碳鋼?塑性材料拉伸時為什么會出現(xiàn)滑移線？鑄鐵

低碳鋼和鑄鐵的拉伸?為什么脆性材料扭轉(zhuǎn)時沿45o螺旋面斷開？低碳鋼和鑄鐵的扭轉(zhuǎn)低碳鋼鑄鐵

(1)

拉中有剪，剪中有拉;(2)不僅橫截面上存在應(yīng)力，斜截面上也存在應(yīng)力;

(3)同一面上不同點的應(yīng)力各不相同;(4)同一點不同方向面上的應(yīng)力也是各不相同3、重要結(jié)論（Importantconclusions)哪一點？

哪個方向面？應(yīng)力哪一個面上？

哪一點？4、一點的應(yīng)力狀態(tài)

過一點不同方向面上應(yīng)力的情況，稱之為一點的應(yīng)力狀態(tài)，亦指該點的應(yīng)力全貌.二、應(yīng)力狀態(tài)的研究方法

1、單元體任意一對平行平面上的應(yīng)力相等2、單元體特征3、主單元體各面上切應(yīng)力均為零的單元體單元體的尺寸無限小，每個面上應(yīng)力均勻分布3122314、主平面

切應(yīng)力為零的截面5、主應(yīng)力

主平面上的正應(yīng)力

說明:一點處必定存在這樣的一個單元體,

三個相互垂直的面均為主平面,三個互相垂直的主應(yīng)力分別記為1,2,3且規(guī)定按代數(shù)值大小的順序來排列,即123

三、應(yīng)力狀態(tài)的分類1、空間應(yīng)力狀態(tài)

三個主應(yīng)力1、2、3均不等于零2、平面應(yīng)力狀態(tài)

三個主應(yīng)力1、2、3中有兩個不等于零3、單向應(yīng)力狀態(tài)

三個主應(yīng)力1、2、3中只有一個不等于零312231221111例題

1畫出如圖所示梁S截面的應(yīng)力狀態(tài)單元體.

54321Fl/2l/2Fl/2l/2S平面S平面254321543211x1x1x2x222333xzyalSF例題

2畫出如圖所示梁S截面的應(yīng)力狀態(tài)單元體

xzy4321zy4321FSMZT12yxzzy4321FSMZTxzy43213平面應(yīng)力狀態(tài)的普遍形式如圖所示.單元體上有x,xy

和y,yx§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析-解析法xxyzyxyyxxyxyyx一、斜截面上的應(yīng)力(Stressesonanobliquesection)1、截面法(Sectionmethod)

假想地沿斜截面ef

將單元體截開,留下左邊部分的單體元eaf

作為研究對象xyaxxyxxyefnefaxxyyxyαααnαxyaxxyxxyefn(1)由x軸轉(zhuǎn)到外法線n，逆時針轉(zhuǎn)向時則為正（2)正應(yīng)力仍規(guī)定拉應(yīng)力為正（3)切應(yīng)力對單元體內(nèi)任一點取矩，順時針轉(zhuǎn)為正2、符號的確定efaxxyyxyαααnα設(shè)斜截面的面積為dA,ae的面積為dAcos,af

的面積為dAsinefaxxyyxyαααnαefaαdAdAsindAcos

3、任意斜截面上的應(yīng)力(Thestressactingonanyinclinedplane)

對研究對象列n和t方向的平衡方程得化簡以上兩個平衡方程最后得不難看出即兩相互垂直面上的正應(yīng)力之和保持一個常數(shù)二、極值正應(yīng)力及方位1、極值正應(yīng)力的方位令0和0+90°確定兩個互相垂直的平面，一個是最大正應(yīng)力所在的平面，另一個是最小正應(yīng)力所在的平面.2、極值正應(yīng)力將0和

0+90°代入公式得到max

和min

(主應(yīng)力）下面還必須進一步判斷0是x與哪一個主應(yīng)力間的夾角(1)當(dāng)x>y時，0

是x與max之間的夾角

(2)當(dāng)x<y

時，0

是x與min之間的夾角(3)當(dāng)x=y

時

，0

=45°，主應(yīng)力的方向可由單元體上切應(yīng)力情況直觀判斷出來則確定主應(yīng)力方向的具體規(guī)則如下若約定|0|<45°即0

取值在±45°范圍內(nèi)三、極值切應(yīng)力及方位1、極值切應(yīng)力的方位令1和1+90°確定兩個互相垂直的平面，一個是最大切應(yīng)力所在的平面，另一個是最小切應(yīng)力所在的平面.2、極值切應(yīng)力將1和

1+90°代入公式得到max和min

比較和可見例題3簡支梁如圖所示.已知mm

截面上A點的彎曲正應(yīng)力和切應(yīng)力分別為

=-70MPa，=50MPa.確定A點的主應(yīng)力及主平面的方位.AmmalA解：把從A點處截取的單元體放大如圖因為x

<y

，所以0=27.5°與min

對應(yīng)xAA27.5o1313xyxy例題4

圖示單元體，已知x

=-40MPa，y

=60MPa，xy=-50MPa.試求ef

截面上的應(yīng)力情況及主應(yīng)力和主單元體的方位.n30°ef(1)求

ef

截面上的應(yīng)力(2)求主應(yīng)力和主單元體的方位x

=-40MPa

y

=60MPa

xy

=-50MPa=-30°因為x

<y

，所以0=-22.5°與min對應(yīng)xyxy22.5°13解（1）求主平面方位因為x

=y

，且xy>0例題5求平面純剪切應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力及主平面方位.xy所以0=-45°與max對應(yīng)45°（2）求主應(yīng)力1=，2=0，3=-13

§7-2

平面應(yīng)力狀態(tài)分析-圖解法

一、莫爾圓將斜截面應(yīng)力計算公式改寫為把上面兩式等號兩邊平方，然后相加便可消去，得因為x，y，xy

皆為已知量，所以上式是一個以，為變量的圓周方程。當(dāng)斜截面隨方位角變化時,其上的應(yīng)力

，在-直角坐標(biāo)系內(nèi)的軌跡是一個圓

.1、圓心的坐標(biāo)2、圓的半徑此圓習(xí)慣上稱為應(yīng)力圓,或稱為莫爾圓(1)建-坐標(biāo)系,選定比例尺o二、應(yīng)力圓作法1、步驟xyxxyxxyyyDxyo(2)量取OA=xAD

=xy得D

點xyxxyxxyxAOB=y(3)量取BD′=yx得

D′

點yByxD′(4)連接DD′兩點的直線與軸相交于C

點(5)以C為圓心,CD

為半徑作圓,該圓就是相應(yīng)于該單元體的應(yīng)力圓C(1)該圓的圓心C點到坐標(biāo)原點的距離為(2)該圓半徑為DxyoxAyByxD′C2、證明三、應(yīng)力圓的應(yīng)用1、求單元體上任一截面上的應(yīng)力從應(yīng)力圓的半徑CD按方位角的轉(zhuǎn)向轉(zhuǎn)動2

得到半徑CE.圓周上E

點的坐標(biāo)就依次為斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力。DxyoxAyByxD′C20FE2xyaxxyxxyefn證明點面之間的對應(yīng)關(guān)系：單元體某一面上的應(yīng)力，必對應(yīng)于應(yīng)力圓上某一點的坐標(biāo)。說明AB夾角關(guān)系：圓周上任意兩點所引半徑的夾角等于單元體上對應(yīng)兩截面夾角的兩倍。兩者的轉(zhuǎn)向一致。2OCBA2、求主應(yīng)力數(shù)值和主平面位置

(1)主應(yīng)力數(shù)值A(chǔ)1和B1兩點為與主平面對應(yīng)的點，其橫坐標(biāo)為主應(yīng)力1，212DxyoxAyByxD′C20FE2B1A120DxyoxAyByxD′C12A1B1（2）主平面方位由CD順時針轉(zhuǎn)20到CA1所以單元體上從

x

軸順時針轉(zhuǎn)0（負(fù)值）即到1對應(yīng)的主平面的外法線0確定后，1對應(yīng)的主平面方位即確定3、求極值切應(yīng)力G1和G2兩點的縱坐標(biāo)分別代表最大和最小切應(yīng)力20DxyoxAyByxD′C12A1B1G1G2因為最大最小切應(yīng)力等于應(yīng)力圓的半徑o例題6從水壩體內(nèi)某點處取出的單元體如圖所示,x

=-1MPa,y

=-0.4MPa,xy=-0.2MPa,yx

=0.2MPa,(1)繪出相應(yīng)的應(yīng)力圓(2)確定此單元體在

=30°和

=-40°兩斜面上的應(yīng)力。xyxy解:(1)畫應(yīng)力圓量取OA=x=-1,AD

=xy=-0.2,定出D點;ACBOB

=y=-0.4和，BD′

=yx=0.2,定出D′點.(-1,-0.2)DD′(-0.4,0.2)以DD′

為直徑繪出的圓即為應(yīng)力圓。將半徑CD

逆時針轉(zhuǎn)動2=60°到半徑CE,E

點的坐標(biāo)就代表

=30°斜截面上的應(yīng)力。(2)確定=30°斜截面上的應(yīng)力E60°(3)確定

=-40°斜截面上的應(yīng)力將半徑

CD順時針轉(zhuǎn)2=80°到半徑CF,F

點的坐標(biāo)就代表

=-40°斜截面上的應(yīng)力。F80°AD′CBoD

30°40°

40°30°30°=-0.36MPa30°=-0.68MPa-40°=-0.26MPa-40°=-0.95MPa例題7兩端簡支的焊接工字鋼梁及其荷載如圖所示，梁的橫截面尺寸示于圖中。試?yán)L出截面c上a,b

兩點處的應(yīng)力圓，并用應(yīng)力圓求出這兩點處的主應(yīng)力。12015152709zab250KN1.6m2mABC+200kN50kN+80kN.m解:(1)首先計算支反力,并作出梁的剪力圖和彎矩圖Mmax

=MC=80kN?mFSmax

=FC左

=200kN250KN1.6m2mABC12015152709zab(2)橫截面C上a點的應(yīng)力為a點的單元體如圖所示axxxyyx由x，xy

定出D

點由y，yx

定出D′

點以DD′為直徑作應(yīng)力圓OC(3)做應(yīng)力圓

x=122.5MPa，xy

=64.6MPa

y=0，yx

=-64.6MPaAB(122.5,64.6)D(0,-64.6)D′A113A2A1，A2兩點的橫坐標(biāo)分別代表a

點的兩個主應(yīng)力

1和

3A1點對應(yīng)于單元體上1

所在的主平面

axxxyyx01312015152709zab(4)橫截面C上b點的應(yīng)力b點的單元體如圖所示bxxb點的三個主應(yīng)力為1所在的主平面就是x

平面,

即梁的橫截面Cbxx(136.5,0)D(0,0)D′1已知受力物體內(nèi)某一點處三個主應(yīng)力1、2、3利用應(yīng)力圓確定該點的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力。一、空間應(yīng)力狀態(tài)下的最大正應(yīng)力和最大切應(yīng)力§7-3

空間應(yīng)力狀態(tài)分析31223113首先研究與其中一個主平面(例如主應(yīng)力3所在的平面)垂直的斜截面上的應(yīng)力122用截面法，沿求應(yīng)力的截面將單元體截為兩部分，取左下部分為研究對象21主應(yīng)力3所在的兩平面上是一對自相平衡的力，因而該斜面上的應(yīng)力,

與3無關(guān),只由主應(yīng)力

1,2

決定與3垂直的斜截面上的應(yīng)力可由

1,2作出的應(yīng)力圓上的點來表示123321該應(yīng)力圓上的點對應(yīng)于與3垂直的所有斜截面上的應(yīng)力

A1O2B與主應(yīng)力2所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力,

可用由1,3作出的應(yīng)力圓上的點來表示C3與主應(yīng)力１所在主平面垂直的斜截面上的應(yīng)力,

可用由2,3作出的應(yīng)力圓上的點來表示A1O2BC3結(jié)論三個應(yīng)力圓圓周上的點及由它們圍成的陰影部分上的點的坐標(biāo)代表了空間應(yīng)力狀態(tài)下所有截面上的應(yīng)力該點處的最大正應(yīng)力(指代數(shù)值)應(yīng)等于最大應(yīng)力圓上A點的橫坐標(biāo)1A1O2BC3最大切應(yīng)力則等于最大的應(yīng)力圓的半徑最大切應(yīng)力所在的截面與2所在的主平面垂直，并與1和3所在的主平面成450角。二、各向同性材料的廣義胡克定律（1）正應(yīng)力：拉應(yīng)力為正,壓應(yīng)力為負(fù)1、符號規(guī)定（2）切應(yīng)力：對單元體內(nèi)任一點取矩,若產(chǎn)生的矩為順時針，則τ為正；反之為負(fù)（3）線應(yīng)變：以伸長為正,縮短為負(fù)；（4）切應(yīng)變：使直角減小為正,增大為負(fù).xxyzyxyyxz22

x方向的線應(yīng)變用疊加原理，分別計算出

1

,2,3分別單獨存在時,x，y，z方向的線應(yīng)變1

,2，

3，然后代數(shù)相加.2、各向同性材料的廣義胡克定律單獨存在時單獨存在時

單獨存在時xyyz3311在1

、2

、

3同時存在時,x

方向的線應(yīng)變1為同理，在1

、2

、3同時存在時,y,z

方向的線應(yīng)變?yōu)樯鲜椒Q為廣義胡克定律

——沿x、y、z軸的線應(yīng)變

例題11一直徑d=20mm的實心圓軸，在軸的的兩端加扭矩

m=126N·m.在軸的表面上某一點A處用變形儀測出與軸線成

-45°方向的應(yīng)變

=5.010-4,試求此圓軸材料的剪切彈性模量G.mmA45°x解：圍繞A點取一單元體A13xyyx

-45°Abhzb=50mmh=100mm例題9已知矩形外伸梁受力F1，F(xiàn)2作用.彈性模量E=200GPa，泊松比=0.3,F1=100KN，F(xiàn)2=100KN。求：（1）A點處的主應(yīng)變1，

2，3（2）A點處的線應(yīng)變x，

y，zaAF1F2F2l解：梁為拉伸與彎曲的組合變形.A點有拉伸引起的正應(yīng)力和彎曲引起的切應(yīng)力.（拉伸）（負(fù)）Ax=20xy

=30（1）A點處的主應(yīng)變1，

2，3（2）A點處的線應(yīng)變x，

y，z§7-4

材料的破壞形式一、材料破壞的基本形式1、屈服2、斷裂——在構(gòu)件上出現(xiàn)了一定量的塑性變形——在外力作用下，構(gòu)件由于應(yīng)力過大而產(chǎn)生裂縫并導(dǎo)致斷裂如：低、中碳鋼，鋁、銅等塑性材料如：鑄鐵、高碳鋼等脆性材料1、三向拉伸應(yīng)力狀態(tài)2、三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)二、應(yīng)力狀態(tài)對材料破壞形式的影響——塑性材料也發(fā)生脆性斷裂——脆性材料表現(xiàn)出較大的塑性變形一、強度理論的概念

1、引言§7-5

強度理論軸向拉、壓彎曲剪切扭轉(zhuǎn)彎曲

切應(yīng)力強度條件

正應(yīng)力強度條件

(2)材料的許用應(yīng)力，是通過拉(壓)試驗或純剪試驗測定試件在破壞時其橫截面上的極限應(yīng)力,以此極限應(yīng)力作為強度指標(biāo),除以適當(dāng)?shù)陌踩禂?shù)而得，即根據(jù)相應(yīng)的試驗結(jié)果建立的強度條件.上述強度條件具有如下特點(1)危險點處于單向應(yīng)力狀態(tài)或純剪切應(yīng)力狀態(tài)；2、強度理論的概念

是關(guān)于“構(gòu)件發(fā)生強度失效起因”的假說.基本觀點

構(gòu)件受外力作用而發(fā)生破壞時，不論破壞的表面現(xiàn)象如何復(fù)雜，其破壞形式總不外乎幾種類型，而同一類型的破壞則可能是某一個共同因素所引起的.根據(jù)材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下破壞時的一些現(xiàn)象與形式,進行分析,提出破壞原因的假說.在這些假說的基礎(chǔ)上,可利用材料在單向應(yīng)力狀態(tài)時的試驗結(jié)果,來建立材料在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的強度條件.引起破壞的某一共同因素形狀改變比能最大切應(yīng)力最大線應(yīng)變最大正應(yīng)力二、四個強度理論

第一類強度理論

—以脆斷作為破壞的標(biāo)志包括：最大拉應(yīng)力理論和最大伸長線應(yīng)變理論第二類強度理論—以出現(xiàn)屈服現(xiàn)象作為破壞的標(biāo)志包括：最大切應(yīng)力理論和形狀改變比能理論根據(jù)：當(dāng)作用在構(gòu)件上的外力過大時，其危險點處的材料

就會沿最大拉應(yīng)力所在截面發(fā)生脆斷破壞.

1、最大拉應(yīng)力理論（第一強度理論）

基本假說：最大拉應(yīng)力1是引起材料脆斷破壞的因素.脆斷破壞的條件：

1=b強度條件:1[2、最大伸長線應(yīng)變理論（第二強度理論)

根據(jù)：當(dāng)作用在構(gòu)件上的外力過大時，其危險點處的材料就會沿垂直于最大伸長線應(yīng)變方向的平面發(fā)生破壞.基本假說：最大伸長線應(yīng)變1是引起材料脆斷破壞的因素.脆斷破壞的條件最大伸長線應(yīng)變強度條件

3、最大切應(yīng)力理論(第三強度理論)

基本假說:最大切應(yīng)力max是引起材料屈服的因素.根據(jù)：當(dāng)作用在構(gòu)件上的外力過大時，其危險點處的材料就會沿最大切應(yīng)力所在截面滑移而發(fā)生屈服失效.屈服條件

在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下一點處的最大切應(yīng)力為強度條件

4、畸變能密度理論（第四強度理論）基本假說：畸變能密度

vd是引起材料屈服的因素.單向拉伸下，1=

s，

2=

3=0，材料的極限值

強度條件屈服條件三、相當(dāng)應(yīng)力把各種強度理論的強度條件寫成統(tǒng)一形式r

稱為復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的相當(dāng)應(yīng)力.1、適用范圍(2)塑性材料選用第三或第四強度理論；(3)在二向和三向等拉應(yīng)力時，無論是塑性還是脆性都發(fā)生脆性破壞，故選用第一或第二強度理論；四、各種強度理論的適用范圍及其應(yīng)用(1)一般脆性材料選用第一或第二強度理論；(4)在二向和三向等壓應(yīng)力狀態(tài)時，無論是塑性還是脆性材料都發(fā)生塑性破壞，故選用第三或第四強度理論.2、強度計算的步驟(1)外力分析：確定所需的外力值；(2)內(nèi)力分析：畫內(nèi)力圖，確定可能的危險面；(3)應(yīng)力分析：畫危面應(yīng)力分布圖，確定危險點并畫出單元體，求主