數(shù)學(xué)必修第三章傾斜角與斜率

理解教材新知突破?？碱}型應(yīng)用落實體驗題型一題型二第三章題型三3.13.1.1第1部分跨越高分障礙隨堂即時演練課時達標檢測知識點一知識點二3．1.1傾斜角與斜率直線的傾斜角

[提出問題]在平面直角坐標系中，直線l經(jīng)過點P.問題1：直線l的位置能夠確定嗎？提示：不能．問題2：過點P可以作與l相交的直線多少條？提示：無數(shù)條．問題3：上述問題中的所有直線有什么區(qū)別？提示：傾斜程度不同．[導(dǎo)入新知]1.傾斜角的定義：當直線l與x軸相交時，取x軸作為基準，x軸_________與直線l______方向之間所成的角叫做直線l的傾斜角．如圖所示，直線l的傾斜角是∠APx，直線l′的傾斜角是∠BPx.2．傾斜角的范圍：直線的傾斜角α的取值范圍是________________，并規(guī)定與x軸平行或重合的直線的傾斜角為0°.正方向向上0°≤α＜180°3．傾斜角與直線形狀的關(guān)系[化解疑難]對直線的傾斜角的理解(1)傾斜角定義中含有三個條件：①x軸正向；②直線向上的方向；③小于180°的非負角．(2)從運動變化的觀點來看，直線的傾斜角是由x軸按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與直線重合時所成的角．(3)傾斜角是一個幾何概念，它直觀地描述且表現(xiàn)了直線對x軸的傾斜程度．(4)平面直角坐標系中的每一條直線都有一個確定的傾斜角，且傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等；傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等.直線的斜率

問題1：對于直線可利用傾斜角描述傾斜程度，可否借助于坡度來描述直線的傾斜程度？提示：可以．問題2：由上圖中坡度為升高量與水平前進量的比值，那么對于平面直角坐標系中直線的傾斜程度能否如此度量？提示：可以．問題3：通過坐標比，你會發(fā)現(xiàn)它與傾斜角有何關(guān)系？提示：與傾斜角的正切值相等．[導(dǎo)入新知]1．斜率的定義：一條直線的傾斜角α的______值叫做這條直線的斜率．常用小寫字母k表示，即k＝________.正切tanα3．斜率作用：用實數(shù)反映了平面直角坐標系內(nèi)的直線的__________．傾斜程度[化解疑難]1．傾斜角α與斜率k的關(guān)系(1)直線都有傾斜角，但并不是所有的直線都有斜率．當傾斜角是90°時，直線的斜率不存在，此時，直線垂直于x軸(平行于y軸或與y軸重合)．(2)直線的斜率也反映了直線相對于x軸的正方向的傾斜程度．當0°≤α＜90°時，斜率越大，直線的傾斜程度越大；當90°＜α＜180°時，斜率越大，直線的傾斜程度也越大．(2)用斜率公式時要一看，二用，三求值．一看，就是看所給兩點的橫坐標是否相等，若相等，則直線的斜率不存在，若不相等，則進行第二步；二用，就是將點的坐標代入斜率公式；三求值，就是計算斜率的值，尤其是點的坐標中含有參數(shù)時，應(yīng)用斜率公式時要對參數(shù)進行討論．直線的傾斜角[例1]

(1)若直線l的向上方向與y軸的正方向成30°角，則直線l的傾斜角為(

)A．30°

B．60°C．30°或150° D．60°或120°(2)下列說法中，正確的是(

)A．直線的傾斜角為α，則此直線的斜率為tanαB．直線的斜率為tanα，則此直線的傾斜角為αC．若直線的傾斜角為α，則sinα＞0D．任意直線都有傾斜角α，且α≠90°時，斜率為tanα[解析]

(1)如圖，直線l有兩種情況，故l的傾斜角為60°或120°.(2)對于A，當α＝90°時，直線的斜率不存在，故不正確；對于B，雖然直線的斜率為tanα，但只有0°≤α＜180°時，α才是此直線的傾斜角，故不正確；對于C，當直線平行于x軸時，α＝0°，sinα＝0，故C不正確，故選D.[答案]

(1)D

(2)D[類題通法]求直線的傾斜角的方法及兩點注意(1)方法：結(jié)合圖形，利用特殊三角形(如直角三角形)求角．(2)兩點注意：①當直線與x軸平行或重合時，傾斜角為0°，當直線與x軸垂直時，傾斜角為90°.②注意直線傾斜角的取值范圍是0°≤α＜180°.[活學(xué)活用]1．直線l經(jīng)過第二、四象限，則直線l的傾斜角范圍是(

)A．[0°，90°)

B．[90°，180°)C．(90°，180°) D．(0°，180°)解析：直線傾斜角的取值范圍是[0°，180°)，又直線l經(jīng)過第二、四象限，所以直線l的傾斜角范圍是(90°，180°)．答案：C答案：D直線的斜率[例2]

(1)已知過兩點A(4，y)，B(2，－3)的直線的傾斜角為135°，則y＝________；(2)過點P(－2，m)，Q(m,4)的直線的斜率為1，則m的值為________；(3)已知過A(3,1)，B(m，－2)的直線的斜率為1，則m的值為________．[答案]

(1)－5

(2)1

(3)0直線的斜率的應(yīng)用

[例3]已知實數(shù)x，y滿足y＝－2x＋8，且2≤x≤3，求的最大值和最小值．[易錯防范]1．本題易錯誤地認為－1≤k≤1，結(jié)合圖形考慮，l的傾斜角應(yīng)介于直線PB與直線PA的傾斜角之間，要特別注意，當l的傾斜角小于90°時，有k≥kPB；當l的傾斜角大于90°時，則有k≤kPA.2.如圖，過點P的直線l與直線段AB相交時，因為過點P且與x軸垂直的直線PC的斜率不存在，而PC所在的直線與線段AB不相交，所以滿足題意的斜率夾在中間，即kPA≤k≤kPB.解決這類問題時，可利用數(shù)形結(jié)合思想直觀地判斷直線是夾在中間還是在兩邊．[隨堂即時演練]1．關(guān)于直線的傾斜角和斜率，下列說法正確的是(

)A．任一直線都有傾斜角，都存在斜率B．傾斜角為135°的直線的斜率為1C．若一條直線的傾斜角為α，則它的斜率為k＝tanαD．直線斜率的取值范圍是(－∞，＋∞)解析：任一直線都有傾斜角，但當傾斜角為90°時，斜率不存在．所以A、C錯誤；傾斜角為135°的直線的斜率為－1，所以B錯誤；只有D正確．答案：D3．直線l經(jīng)過原點和(－1,1)，則它的傾斜角為________．答案：135°4．已知三點A(a,