數(shù)學(xué)思想方法歸納與數(shù)學(xué)歸納法

歸納一、歸納的特點(diǎn)與類型二、歸納法三、不完全歸納法與完全歸納法四、歸納與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)五、數(shù)學(xué)歸納法歸納大數(shù)學(xué)家拉普拉斯指出：在數(shù)學(xué)里，發(fā)現(xiàn)真理的主要工具是歸納和類比，通過觀察、實(shí)驗(yàn)、等途徑，人們可以獲得有關(guān)數(shù)學(xué)研究對(duì)象的大量的經(jīng)驗(yàn)材料，這是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理必要的基礎(chǔ)，但還需要利用歸納法對(duì)經(jīng)驗(yàn)材料進(jìn)行處理，以期發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)和對(duì)象之間的內(nèi)在聯(lián)系，達(dá)到發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)真理的目的。歸納就是從特殊的具體的認(rèn)識(shí)推進(jìn)到一般的抽象的認(rèn)識(shí)的一種思維方式。它是科學(xué)發(fā)現(xiàn)的一種常用的有效的思維方式。一、歸納的特點(diǎn)1、歸納是依據(jù)特殊現(xiàn)象推斷一般現(xiàn)象，因而由歸納所得的結(jié)論超越了前提所包含的內(nèi)容。2、歸納是依據(jù)若干已知的不完盡的現(xiàn)象推斷尚屬未知的現(xiàn)象，因而結(jié)論具有猜測(cè)的性質(zhì)。3、歸納的前提是單個(gè)的事實(shí)、特殊的情況，所以歸納是立足于觀察、實(shí)驗(yàn)或經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上的。二、歸納法歸納法就是通過對(duì)某類事物（數(shù)學(xué)對(duì)象）的個(gè)別或部分對(duì)象的研究得出關(guān)于該類事物的一般結(jié)論的方法，也就是由特殊到一般的推理方法，歸納法又被稱為歸納推理。由一個(gè)或數(shù)個(gè)已知判斷（前提）推出未知判斷（結(jié)論）的思維形式叫做推理，推理一般分為演繹推理和合情推理。合情推理：同真前提或然地得出結(jié)論的推理，歸納推理屬于合情推理，歸納得到的結(jié)論在未加證明之前僅是一種猜想，可能真也可能不為真。演繹推理：真前提必然地得出真結(jié)論的推理。歸納推理的原理A的一個(gè)非空子集A1中的每一個(gè)元素a都具有性質(zhì)pA中每一個(gè)元素a都具有性質(zhì)P思考：多面體的面數(shù)F，頂點(diǎn)數(shù)V，棱數(shù)E之間的關(guān)系例多面體的面數(shù)F，頂點(diǎn)數(shù)V，棱數(shù)E之間的關(guān)系多面體面數(shù)F頂點(diǎn)數(shù)V棱數(shù)E立方體6812三棱柱569五棱柱71015方錐558三棱錐446五棱錐6610分析結(jié)果得到什么結(jié)論？

分析這些特例的數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上可以歸納出一個(gè)結(jié)論：F+V=E+2

盡管這時(shí)還不能認(rèn)為這個(gè)結(jié)論是正確的，但是它為我們提供了一個(gè)研究方向，即根據(jù)這個(gè)結(jié)論再去證實(shí)它是符合一般多面體的情形。例2，已知函數(shù)f(x)=求f[f[...f(x)]]的值？結(jié)果你想到了嗎？f[f[...f(x)]]=確定因果關(guān)系的歸納方法1、歸納法：完全歸納法和不完全歸納法2、確定因果關(guān)系的五種邏輯方法（1）求同法（2）求異法（3）求同求異法（4）共變法（5）剩余法1、求同法某種被研究的對(duì)象，在幾種不同的情形下都出現(xiàn)，而在各種情形中只有一個(gè)條件是共同的，于是就可以認(rèn)為這個(gè)條件是被研究現(xiàn)象產(chǎn)生的原因。情形各種條件被研究的現(xiàn)象一ABCa二ADEa三AFCa由上可以認(rèn)為A是a的原因例如：伽利略觀察到，擺場(chǎng)相等振幅不相等時(shí)，擺動(dòng)一個(gè)周期的時(shí)間不變，于是肯定了擺長是周期的決定因素。2、求異法某種被研究的現(xiàn)象a，只在第一種情形出現(xiàn)，在第二中情形不出現(xiàn)，而一、二兩種情形除一中有條件A而二中沒有條件A外，其余條件都相同，可以認(rèn)為A是現(xiàn)象a產(chǎn)生的原因或者部分原因?？梢哉J(rèn)為A是a產(chǎn)生的原因或者部分原因例如：在種子、土地、氣溫相同的條件下如果施用有機(jī)肥料就可以增產(chǎn)，若不施用有機(jī)肥料則產(chǎn)量低就可以說明使用有機(jī)肥是增產(chǎn)的原因。情形各種條件被研究的現(xiàn)象一ABCa二BC-3、求同求異法在一系列的情形中，凡有條件A的都有現(xiàn)象a出現(xiàn)，凡是沒有條件A的則現(xiàn)象a不出現(xiàn)，則可以認(rèn)為A是a的原因。這種方法比單純的求同法或是求異法更為可靠。情形各種條件被研究的現(xiàn)象一ABCa二ADEa三AFGa四MN-五XY-六BCDEFG-4、共變法在一系列的情形中，其余條件保持不變，只把條件A作大小強(qiáng)弱的變化，如果由此也只是引起現(xiàn)象a的大小強(qiáng)弱的變化，則可以認(rèn)為條件A是現(xiàn)象a的原因。例：共變法多用于確定兩種因素之間的量的依存關(guān)系，用柱面圖或曲線表示兩個(gè)變量之間的關(guān)系也是共變法的一種體現(xiàn)。情形各種條件被研究的對(duì)象一A1BCa1二A2BCa2三A3BCa35、剩余法一組條件引起一組現(xiàn)象，如果出去條件A和現(xiàn)象a外，可以確認(rèn)其余條件是其余現(xiàn)象的原因，就可以認(rèn)為A是現(xiàn)象a的原因。

例：含鈾的瀝青礦可以發(fā)出放射線，居里夫人已經(jīng)掌握了這種放射強(qiáng)度，一次居里夫人從含鈾的瀝青礦中發(fā)現(xiàn)了超乎尋常的放射強(qiáng)度，于是她推測(cè)應(yīng)當(dāng)有另一種放射性元素存在，經(jīng)過艱苦的工作她終于發(fā)現(xiàn)了鐳元素。情形各種條件現(xiàn)象一ABCabc二Bb三Cc三、不完全歸納法與完全歸納法

古代有一個(gè)笑話，財(cái)主兒子學(xué)識(shí)字，請(qǐng)了一位先生教他“一”是一橫，“二”是二橫，“三”是三橫。財(cái)主的兒子一聽，認(rèn)為識(shí)字如此容易，就把先生辭退了。事后，他父親讓他給一個(gè)姓萬的朋友寫一幅請(qǐng)?zhí)?，等了半晌，問為什么還沒有寫好，他很不耐煩地說：“才寫到五百了……天底下這么多姓，姓啥不好，這個(gè)人為什么偏偏姓萬呢！”不完全歸納法

這個(gè)笑話說明，不完全歸納法得出的結(jié)論是不可靠的，因?yàn)樗前褜?duì)部分對(duì)象的認(rèn)識(shí)得出的結(jié)論推廣到了一般，帶有很大的片面性。f(n)=n2+n+41，當(dāng)n=1，2，3，…，39時(shí)，f(n)的值都是質(zhì)數(shù)。而當(dāng)n=40時(shí)，f(n)的值是412，顯然不是質(zhì)數(shù)。因此，通過不完全歸納得出f(n)對(duì)于所有的自然數(shù)都是質(zhì)數(shù)的結(jié)論是不對(duì)的。不完全歸納法歸納是解決許多數(shù)學(xué)問題常用的探索過程，猜想的結(jié)論是否正確，最終還需嚴(yán)格證明，或通過舉出反例予以否定。在很多情況下，應(yīng)用不完全歸納法探索出的對(duì)某些規(guī)律性的認(rèn)識(shí)，其結(jié)論往往超出了前提所包含的范圍，具有某些猜測(cè)的性質(zhì)。因此，不完全歸納法作為邏輯推理是不嚴(yán)密的。但是，不完全歸納的作用仍然不可小覷，在探索問題的過程中，這些方法能給人們提供研究的方向和線索，幫助人們比較迅速地發(fā)現(xiàn)事物的規(guī)律。因此，《課標(biāo)》把這些“從已有的事實(shí)出發(fā)憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺，通過歸納和類比等推斷某些結(jié)果”的推理形式稱為合情推理。完全歸納法

完全歸納法可以作為嚴(yán)格的推理論證方法。因?yàn)槿绻疾焖懈鞣N個(gè)別情形得出的結(jié)論是真實(shí)的，那么根據(jù)這些真實(shí)結(jié)論所得到的一般性結(jié)論也畢竟是真實(shí)的，一般地，用完全歸納法進(jìn)行推理時(shí)，要用分類方法對(duì)考察對(duì)象的各種特殊情形都要進(jìn)行討論，不重復(fù)也不能遺漏。例如，在證明“圓周角的度數(shù)等于它所對(duì)弧的度數(shù)的一半”時(shí)要分三種情況：圓心在圓周角的邊上，圓心在圓周角的內(nèi)部，圓心在圓周角的外部。但是，完全歸納法適用于那些研究對(duì)象的個(gè)體或其非空真子集是有限的情況，而對(duì)于那些是無窮無盡的情況，不可能一一枚舉。因此，完全歸納法在實(shí)際應(yīng)用中有很大的局限性。四、歸納與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

作用和意義：整理由觀察、實(shí)驗(yàn)得到的經(jīng)驗(yàn)材料，是進(jìn)一步進(jìn)行比較、分析、抽象概括的基礎(chǔ)。歸納是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的一種方法，它從經(jīng)驗(yàn)材料推斷普遍特性，所以，它有發(fā)現(xiàn)新知識(shí)和探索真理的作用。在學(xué)習(xí)中學(xué)數(shù)學(xué)中的一些概念、公式及定理時(shí)，歸納法更符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，也符合人們從特殊到一般的認(rèn)識(shí)規(guī)律。有些公式和定理，由于受學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的限制，只能讓學(xué)生暫時(shí)接受其真實(shí)性，用歸納法給出而不加證明的。在解題過程中，歸納法也是探索發(fā)現(xiàn)解決問題的常用方法。四、歸納與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

應(yīng)注意的問題：一方面要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)不完全歸納法既有一定的邏輯依據(jù)，又不具有充分的邏輯依據(jù)的特點(diǎn)，因此對(duì)歸納所得的結(jié)論必須證明才能信以為真另一方面要向?qū)W生說明，哪些結(jié)論是應(yīng)該證明，也可以證明，只是目前受知識(shí)結(jié)構(gòu)限制，暫時(shí)不能證明的。四、歸納與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

如何對(duì)待歸納的或然性？歸納是冒風(fēng)險(xiǎn)的，對(duì)于歸納的或然性結(jié)論應(yīng)該采取什么科學(xué)態(tài)度？美籍匈牙利數(shù)學(xué)家波利亞提出：

（1）我們應(yīng)當(dāng)隨時(shí)準(zhǔn)備修正我們的任何一個(gè)信念；

（2）如果有一種理由非使我們改變信念不可，我們就應(yīng)當(dāng)改變這一信念；

（3）如果沒有某種充分的理由，我們不應(yīng)當(dāng)輕率地改變一個(gè)信念。

要做到這三點(diǎn)，需要有“理智上的勇氣”、“理智上的誠實(shí)”和“明智的克制”。因此，波利亞認(rèn)為，這是科學(xué)家應(yīng)有的道德品質(zhì)。五、數(shù)學(xué)歸納法

數(shù)學(xué)歸納法是一種證明與正整數(shù)n有關(guān)命題的常用方法，操作步驟簡單、明確，關(guān)鍵有以下兩個(gè)步驟：（1）證明n=1（或n的第一個(gè)可取值不是1，而是其他正整數(shù)）時(shí)，命題是正確的。（2）假設(shè)n=k時(shí)命題成立，從而能推得n=k+1時(shí)命題也正確。我們可以回想一下小時(shí)候?qū)φ麛?shù)的認(rèn)識(shí)過程。首先，父母教我們數(shù)1，后來數(shù)2，有2必有3，每一個(gè)正整數(shù)后面都有一個(gè)正整數(shù)，于是我們說會(huì)數(shù)數(shù)了。事實(shí)上，數(shù)學(xué)歸納法正是基于這樣一個(gè)簡單的道理。利用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，上述兩個(gè)步驟缺一不可。如果只有第一步而沒有第二步，則屬于不完全歸納法，做出的結(jié)論不一定真實(shí)；如果僅有第二步而無第一步，結(jié)論也不一定正確。

例：證明所有正整數(shù)都相等。證明：只要證明等式n=n+1(n為正整數(shù))成立就行。以下用數(shù)學(xué)歸納法證之：設(shè)第k個(gè)正整數(shù)等于第k+1個(gè)正整數(shù)，就是k=k+1兩邊同加上1，得k+1=k+2，這就是說，第k+1個(gè)正整數(shù)等于第k十2個(gè)正整數(shù)，原命題得證。這就是僅有第二步而無第一步造成的錯(cuò)誤。試驗(yàn)、歸納與數(shù)學(xué)歸納法

例在直角三角形ABC中，a，b為直角邊，c為斜邊，n為正整數(shù)，比較an+bn與cn的大小。

試驗(yàn)是歸納的基礎(chǔ)，歸納才是試驗(yàn)本質(zhì)的“飛躍”。歸納正確與否經(jīng)數(shù)學(xué)歸納法證明可知，數(shù)學(xué)歸納法起保駕護(hù)航之功效。參考文獻(xiàn)1、楊啟賢.數(shù)學(xué)思想方法解讀.鄭州：河南大學(xué)出版社，20122、高存明.普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書.人民教育出版社，