光纖光學(xué)-第二章

第二章光纖光學(xué)基本方程光波導(dǎo)的模式2?光ABCD單模多模電磁分離波動(dòng)方程waveequation縱橫分離波導(dǎo)場(chǎng)方程時(shí)空分離亥姆霍茲方程Helmholtzequation

分析思路光波導(dǎo)：約束光波傳輸?shù)拿浇閷?dǎo)波光：受到約束的光波亥姆霍茲方程光線理論波動(dòng)理論模式一、波動(dòng)方程波動(dòng)方程推導(dǎo)最簡(jiǎn)單的波動(dòng)方程電矢量與磁矢量分離理想介質(zhì)各向同性介質(zhì)：無(wú)自由電荷介質(zhì)：f=0，

Jf=0非時(shí)變介質(zhì)：

物質(zhì)方程

邊界條件

麥?zhǔn)戏匠桃?、波?dòng)方程波動(dòng)方程推導(dǎo)最簡(jiǎn)單的波動(dòng)方程電矢量與磁矢量分離

物質(zhì)方程

邊界條件

麥?zhǔn)戏匠滩▌?dòng)方程的標(biāo)量形式直角坐標(biāo)系中，電磁場(chǎng)的每個(gè)分量都成立，也就是說(shuō)，電磁場(chǎng)向量的每個(gè)分量都滿足標(biāo)量波動(dòng)方程。一、波動(dòng)方程波動(dòng)方程推導(dǎo)最簡(jiǎn)單的波動(dòng)方程電矢量與磁矢量分離

物質(zhì)方程

邊界條件

麥?zhǔn)戏匠滩▌?dòng)方程的標(biāo)量形式式中

代表E和H的各分量。在圓柱坐標(biāo)中只有Ez和Hz分量才滿足上述波動(dòng)方程，橫向電磁場(chǎng)分量不滿足。三、亥姆霍茲方程Maxwell方程Helmholtz方程空間時(shí)間分離（頻域Maxwell方程）三、亥姆霍茲方程亥姆霍茲方程的標(biāo)量形式

基本方程直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系左圖表示t=0時(shí)刻，電場(chǎng)及磁場(chǎng)隨空間的變化情況。HyExz

自由介質(zhì)中的單色均勻平面波若取Z軸方向?yàn)閭鞑シ较?，則——橫場(chǎng)和縱場(chǎng)稱為縱向傳播常數(shù)，其實(shí)就是波矢在Z方向的分量kz。縱向振蕩因子HyExz

自由介質(zhì)中的單色均勻平面波——橫場(chǎng)和縱場(chǎng)

對(duì)于傳播方向而言，電場(chǎng)及磁場(chǎng)僅具有橫向分量，因此稱為橫電磁波，或稱為TEM波。以后將會(huì)遇到在傳播方向上具有電場(chǎng)或磁場(chǎng)分量的非TEM波。T－TransverseExHyz

導(dǎo)電介質(zhì)中的平面波衰減因子矩形波導(dǎo)圓波導(dǎo)微帶線電磁波在縱向(軸向)以“行波”的形式存在，在橫向以“駐波”的形式存在?！?-2波導(dǎo)方程

一、波導(dǎo)方程橫縱坐標(biāo)分離略去t-垂直于z方向的橫向(Transverse)模式場(chǎng)亥姆霍茲方程一、波導(dǎo)方程β－（縱向）傳播常數(shù)，表示光場(chǎng)沿縱向的波動(dòng)性。

e(x,y)和h(x,y)－表示光場(chǎng)（E,H）沿波導(dǎo)橫截面的分布，稱為模式場(chǎng)χ－（橫向）傳播常數(shù)直角坐標(biāo)系圓柱坐標(biāo)系直角坐標(biāo)系二、模式波導(dǎo)場(chǎng)方程是一個(gè)典型的本征方程，其本征值為β或χ。當(dāng)給定波導(dǎo)的邊界條件時(shí)，求解波導(dǎo)場(chǎng)方程可得本征解及相應(yīng)的本征值。通常將本征解定義為“模式”，它相應(yīng)于某一本征值并滿足全部邊界條件。每一個(gè)模式對(duì)應(yīng)于電磁場(chǎng)的一種穩(wěn)定存在形式，用電力線或磁力線將此形式描繪出來(lái)便是一種特定圖案。波導(dǎo)中總的光場(chǎng)分布則是這些模式的線性組合：模式圖形模式的特征：

模式是波導(dǎo)結(jié)構(gòu)的固有電磁共振屬性的表征。一給定的波導(dǎo)中能夠存在的模式及其性質(zhì)是已確定了的，外界激勵(lì)源只能激勵(lì)起波導(dǎo)中允許存在的模式而不會(huì)改變模式的固有性質(zhì)。模式的場(chǎng)矢量e(x，y)和h(x，y)具有六個(gè)場(chǎng)分量：ex、ey、ez和hx、hy、hz(或er、e￠、ez和hr、h￠、hz)。只有這六個(gè)場(chǎng)分量全部求出方可認(rèn)為模式的場(chǎng)分布唯一確定。將兩式代入麥?zhǔn)戏匠痰膬蓚€(gè)旋度方程中：并利用以下關(guān)系三、模式場(chǎng)的分量形式式中：推導(dǎo)縱橫關(guān)系式

類似地，對(duì)于圓柱坐標(biāo)，可得：返回框圖縱橫關(guān)系式1-3模式及其基本性質(zhì)模式場(chǎng)分布、縱向傳播常數(shù)（本征值）、橫向傳播常數(shù)、模式截止條件等求解問(wèn)題求解方法（波動(dòng)光學(xué)方法）由波導(dǎo)場(chǎng)方程求取Ez和Hz（模式場(chǎng)的縱向分量）由縱橫關(guān)系式求取橫向場(chǎng)分量由邊界條件獲得本征值方程由本征值方程求取本征值1-3模式及其基本性質(zhì)（以平板波導(dǎo)為例）xyzn1n2n3dsubstratecoverfilm平板波導(dǎo)結(jié)構(gòu)圖Morethan3layersn1>n2≥n3Width(iny)>>dd~μmΔn=n1-n2,~0.001-0.01Δ=Δn/n1≈Δn/n2

相對(duì)折射率差~0.1-1％Ifn2=n3,對(duì)稱波導(dǎo)（Symmetricalwaveguide）

n2>n3,非對(duì)稱波導(dǎo)（Asymmetricalwaveguide）

Ez=0，Hz=0的波，稱為橫電磁波，簡(jiǎn)記為TEM波Ez

0，

Hz=0的波，稱為橫磁波，Ey＝Hx＝0，僅有Ex，Ez和Hy三個(gè)場(chǎng)分量。簡(jiǎn)稱為TM波或E波Ez=0，Hz

0的波，稱為橫電波，Ex＝Hy＝0，僅有Ey，Hx和Hz三個(gè)場(chǎng)分量；簡(jiǎn)稱為TE波或H波。傳導(dǎo)電磁波的分類波導(dǎo)中可存在的波型1-3模式及其基本性質(zhì)平面波的反射與折射（a）TE波（b）TM波⊕代表進(jìn)紙面，⊙代表出紙面，角標(biāo)i、r、t分別代表入射、反射和折射1-3模式及其基本性質(zhì)（以平板波導(dǎo)為例）1-3模式及其基本性質(zhì)（以平板波導(dǎo)為例）電磁場(chǎng)沿z方向傳輸，z方向波導(dǎo)的幾何形狀不變。在y方向波導(dǎo)是無(wú)限延伸的，同時(shí)由于對(duì)稱性，場(chǎng)分量在y方向沒(méi)有變化，即：xyzn1n2n3dsubstratecoverfilm平板波導(dǎo)結(jié)構(gòu)圖從物理量隨著指標(biāo)變化來(lái)看，平板波導(dǎo)只與X、Z兩個(gè)指標(biāo)有關(guān)。又可稱平板波導(dǎo)為二維波導(dǎo)。波導(dǎo)方程：直角坐標(biāo)系一、波動(dòng)光學(xué)方法（電磁場(chǎng)分析）波導(dǎo)方程：直角坐標(biāo)系TE波ez

=0，

hz

0的波，稱為橫磁波，hy＝ex＝0，僅有hx，hz和ey三個(gè)場(chǎng)分量?？v橫關(guān)系式在三層介質(zhì)中分量解分別寫出分量波動(dòng)方程為：波導(dǎo)層：襯底層：覆蓋層：令：對(duì)稱波導(dǎo)：dz=hn=0n3n1n2xyz解得：其中，對(duì)于導(dǎo)模，在波導(dǎo)內(nèi)應(yīng)呈振蕩形式的解。對(duì)于導(dǎo)模，在介質(zhì)外場(chǎng)分量應(yīng)迅速衰減?？v向場(chǎng)解基本形式導(dǎo)模條件波導(dǎo)內(nèi)呈振蕩形式解，應(yīng)有介質(zhì)板外場(chǎng)分量應(yīng)迅速衰減，應(yīng)有對(duì)于導(dǎo)模導(dǎo)模條件為：波導(dǎo)內(nèi)呈振蕩形式解，應(yīng)有橫向場(chǎng)解基本形式傳播常數(shù)的確定（本征值方程）或縱向傳播常數(shù)證明兩式乘

d2后再相加橫向傳播常數(shù)橫向傳播常數(shù)橫向傳播常數(shù)圖解法求解特征方程UtanU-UcotU模式截止截止條件：模式截止UtanU-UcotU模式的階數(shù)m越大，Κ越大，b越小。m=0，1，2…，分別對(duì)應(yīng)著TE0，TE1，TE2…模式，m稱為TE模的階數(shù)。模式數(shù)量向下取整UtanU-UcotU歸一化頻率波導(dǎo)中傳輸模式的數(shù)目與V有關(guān)，V是介質(zhì)平板波導(dǎo)的結(jié)構(gòu)參量，它與波導(dǎo)的n1、n2

、d及真空中的波長(zhǎng)有關(guān)。歸一化頻率歸一化頻率若V>>

2π，則波導(dǎo)中存在許多傳輸模式。因此若若設(shè)計(jì)一個(gè)多模介質(zhì)板波導(dǎo)，應(yīng)按下式選擇介質(zhì)平板的半寬度：波導(dǎo)數(shù)值孔徑若波導(dǎo)的V<

π/2，則圖中的圓只能與UtanU曲線的第1個(gè)分支相交，這時(shí)波導(dǎo)中只存在一個(gè)TE模，即TE0模。一對(duì)稱介質(zhì)平板波導(dǎo)，d=1μm,n1=2.234,n2=2.214，λ0＝0.6328μm，求：(1)波導(dǎo)中存在哪些TE模?(2)當(dāng)光波長(zhǎng)增加到多少時(shí)，波導(dǎo)中只有TE0模存在?因?yàn)棣?2<V<π，可知波導(dǎo)中存在著TE0模和TEl模。解：⑴：⑵：返回基本方程框圖如果從z方向來(lái)觀察波導(dǎo)橫截面，那么就只能看到光波沿著x方向的上下運(yùn)動(dòng)，以下就從此觀點(diǎn)出發(fā)來(lái)導(dǎo)出平板波導(dǎo)中的導(dǎo)模條件。2、平板波導(dǎo)的幾何光學(xué)分析設(shè)一光波從薄膜下界面出發(fā)向上行進(jìn)到薄膜上界面，在上界面全反射后返回到下界面，并在下界面再次遭到全反射，此時(shí)會(huì)與原先從下界面出發(fā)的光波疊加在一起，若要發(fā)生相互加強(qiáng)，則兩列波的相位差應(yīng)為2π的整數(shù)倍。這個(gè)維持導(dǎo)模的條件稱為橫向共振條件。平板波導(dǎo)的模式本征方程kkxkzdABCD波前n1n2n31312全反射相移該方程的又稱為色散方程。對(duì)于給定波導(dǎo)參數(shù)，可求出θ，當(dāng)m取值不同時(shí)，θ值也不同。θ稱為m階導(dǎo)模的模角。θ只能取一系列分立值。由θ可以確定傳播常數(shù)β。平板波導(dǎo)不同模式的傳輸路徑比較m=0m=1m=2程函方程：表示光波相位變化與介質(zhì)折射率分布的關(guān)系光線在均勻介質(zhì)傳播路徑上無(wú)方向變化；在非均勻介質(zhì)傳播路徑上有方向變化。光線方程：光線向折射率大的方向彎曲。相位梯度方向與波矢量k方向一致，其模等于該點(diǎn)鄰近單位距離內(nèi)的相移。(弧度/米）返回基本方程框圖2-4程函方程和射線方程推導(dǎo)切線方向上的單位光程沿路徑變化率折射率梯度二、波動(dòng)方程兩邊取旋度：均勻介質(zhì)（）或ε變化緩慢的介質(zhì)（）

最簡(jiǎn)單的波動(dòng)方程非均勻介質(zhì)返回波動(dòng)方程

稱為傳播常數(shù)，表征相位變化的快慢在物理學(xué)中，k常稱為波矢量，或者稱為波數(shù)。它指向波的傳播方向。對(duì)于各向同性介質(zhì)，k的方向與能流方向一致。紅色線條代表電力線藍(lán)色線條代表磁力線TE10模式場(chǎng)的三維圖形矩形波導(dǎo)中的空間模式E00E10E01E11202110111200010203模式數(shù)目光強(qiáng)為零最大光強(qiáng)圓波導(dǎo)(光纖)中的空間模式LED、白熾燈LD、點(diǎn)源經(jīng)準(zhǔn)直透鏡的光束光源光纖光斑初始端導(dǎo)波模、輻射模（泄漏模）導(dǎo)波模波導(dǎo)、導(dǎo)波的概念！返回模式的概念得各個(gè)分量的方程：消去hy用ez和ez表示ex的表達(dá)式：式中：類似可以得到用ez和hz表示ey，hx，hy的表達(dá)式：返回基本的波導(dǎo)方程式可化為：返回本征值方程（特征方程）的導(dǎo)出上面求出的場(chǎng)分量應(yīng)滿足電磁場(chǎng)的邊界條件，即當(dāng)

x＝±d時(shí)，橫向場(chǎng)分量應(yīng)保持連續(xù)。當(dāng)x＝d時(shí)，應(yīng)有ey1=ey2，hz1=hz2，由這兩個(gè)關(guān)系式可得到當(dāng)x＝-d時(shí)，也應(yīng)有ey1=ey2，hz1=ez2，由這兩個(gè)關(guān)系式可得到：組成線性齊次方程組，要使A，B有非零解，須令其系數(shù)行列式為零：由上式得TE模的特征方程式：或返回光程：波面走過(guò)的幾何路徑與折射率的乘積。平面波在任意方向傳輸?shù)牟ê瘮?shù)：相位因子對(duì)非均勻介質(zhì)，相位既與位置有關(guān)，又與傳播路徑上的折射率有關(guān)，用光程函數(shù)表示波函數(shù)略去時(shí)間因子相位梯度：表示光線傳播過(guò)程中相位的變化率由麥克斯韋方程推導(dǎo)程函方程:2.4-1程函方程由：等式左邊：與等式左邊相等：由麥克斯韋方程其他三個(gè)方程同樣處理，得到：三個(gè)矢量正交，相位梯度與波面法線方向一致。條件：將（2.4-1a）代入（2.4-1b），利用矢量恒等式EH相位梯度電場(chǎng)矢量振幅不能處處為零，因而必然有：或者：式（2.4-2a）稱為程函方程；相位梯度方向與光波傳播方向一致，其模等于介質(zhì)折射率；程函方程給出波面變化規(guī)律：在均勻介質(zhì)中，光波傳輸方向不變；在非均勻介質(zhì)中，光波傳輸方向隨折射率變。（2.4-2a）（2.4-2b）2.4-2光線方程（射線方程）r

：光線傳播路徑S上某點(diǎn)的矢徑dr/ds:傳播路徑切線方向上單位矢量,根據(jù)相位梯度的定義，矢量dr/ds方向與相位梯度方向一致，大小等于：由程函方程（2.4-3)因此相位梯度等于路徑切線方向上的單位光程路徑Srr+drzydrxdr/ds上式對(duì)路徑

S

求導(dǎo)光線方程是矢量方程，表示光線向折射率大的方向彎曲。等式右邊：（2.4-4)故對(duì)

S

求導(dǎo)式為：切線方向上的單位光程沿路徑變化率折射率梯度光線方程例1：光線在均勻媒質(zhì)中的傳播光線方程：因n=常數(shù)改寫成：其解為矢量直線方程：

a和b是常矢量，在均勻介質(zhì)中光線路經(jīng)沿矢量a前進(jìn)，