數(shù)值分析第二章第二節(jié)

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院1§2Lagrange插值

一、問題的提法二、適定性和Lagrange插值公式

三、Neville插值公式

四、Newton插值公式

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院2一、問題的提法已知：

的個(gè)樣本值設(shè)彼此互異,記所有次數(shù)不超過n的代數(shù)多項(xiàng)式的全體為湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院3插值問題：求滿足稱為被插函數(shù)，為n次多項(xiàng)式插值函數(shù)，為插值節(jié)點(diǎn)，的Lagrange插值問題

并稱而上述問題被稱為關(guān)于節(jié)點(diǎn)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院4二、適定性和Lagrange插值公式

定理2.1插值問題的解是存在且唯一的.證明：（構(gòu)造性證明）（1）存在性

首先構(gòu)造特殊插值多項(xiàng)式克羅內(nèi)克爾(Kronecker)符號.(2.1)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院5(2.1)所以又由即解得可以驗(yàn)證滿足插值條件.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院6(2)唯一性設(shè)n次多項(xiàng)式令則均為插值問題的解,即由高等代數(shù)基本知識(shí)知，若一個(gè)n次代數(shù)多項(xiàng)式至少存在n+1個(gè)根，則它一定恒為零.唯一性得證.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院7稱為f(x)的n次多項(xiàng)式插值的

Lagrange公式也稱為Lagrange插值多項(xiàng)式.稱為n次多項(xiàng)式插值問題的基函數(shù)(Lagrange因子)其中湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院8例當(dāng)n=1時(shí)，線性插值公式湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院9當(dāng)n=2時(shí)，拋物插值公式湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院10例1

已知線性插值和拋物插值公式求的近似值.試分別用解（1）選取利用線性插值公式，可得于是湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院11解（2）選取利用拋物插值公式，可得于是湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院12注意：可見線性插值公式所得近似值有3位有效數(shù)字拋物插值公式所得近似值有4位有效數(shù)字Lagrange插值公式的優(yōu)缺點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：形式簡潔便于理論分析和許多數(shù)值計(jì)算公式的推導(dǎo)缺點(diǎn)：沒有承襲性即當(dāng)增加新的節(jié)點(diǎn)時(shí)所有Lagrange因子必須重新計(jì)算湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院13malagr.m用途：拉格朗日插值法求解格式：yy=malagr(x,y,xx)，

x是節(jié)點(diǎn)向量，

y是節(jié)點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值向量，

xx是插值點(diǎn)(可以是多個(gè))，

yy返回插值結(jié)果拉格朗日插值法Matlab程序

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院14湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院15三、Newton插值公式

Lagrange插值雖然易算，但若要增加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)全部基函數(shù)li(x)都需重新算過。將Ln(x)改寫成的形式，希望每加一個(gè)節(jié)點(diǎn)時(shí)，只附加一項(xiàng)上去即可。????湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院16首先考察的幾種低次Newton插值公式的建立過程下面分別考察一次和二次插值多項(xiàng)式情形.的零次插值多項(xiàng)式顯然關(guān)于節(jié)點(diǎn)(1)

關(guān)于節(jié)點(diǎn)的一次插值多項(xiàng)式根據(jù)承襲性的要求，可將其待定為由的定義知且滿足故可令湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院17利用可求得(2.9)(2)

關(guān)于節(jié)點(diǎn)的二次插值多項(xiàng)式可將其待定為其中且滿足故可令湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院18利用以及可求得湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院19湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院20(2.10)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院21按照上述規(guī)律，關(guān)于節(jié)點(diǎn)的i次插值多項(xiàng)式可以待定成(2.11)為了給出一般待定系數(shù)的計(jì)算公式，我們需要引入差商的概念湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院22定義1

稱為f(x)在x0、x1點(diǎn)的一階差商.稱為函數(shù)f(x)在x0、x1、x2

點(diǎn)的二階差商.差商的定義一階差商的差商湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院23一般地，n－1階差商的差商

稱為f(x)在x0,x1,…,xn點(diǎn)的

n階差商。差商的計(jì)算步驟與結(jié)果可列成差商表，如下湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院24xk函數(shù)值一階差商二階差商三階差商...

x0x1

x2

x3...

f(x0)

f(x1)f(x2)f(x3)...

f[x0,x1]

f[x1,x2]

f[x2,x3]

...

f[x0,x1,x2]

f[x1,x2,x3]

...

f[x0,x1,x2,x3]

......表2-2湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院25這一性質(zhì)可以用數(shù)學(xué)歸納法證明。例如性質(zhì)1差商可以表示為函數(shù)值的線性組合，即差商的性質(zhì):湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院26性質(zhì)1表明差商與節(jié)點(diǎn)的排列次序無關(guān)，即

f[x0

,x1,x2,...,xn]=性質(zhì)2(對稱性)f[x1,x0,x2,...,xn]=…=f[x1,x2,...,xn,

x0

]湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院27

性質(zhì)3

若f(x)在[a,b]上存在n階導(dǎo)數(shù),且節(jié)點(diǎn)x0,x1,…,xn

[a,b],則至少存在一點(diǎn)[a,b]

滿足下式

解

f(8)(x)=-6·8!,f[1,2,…,9]=-6,

f(9)(x)=0,f[1,2,…,10]=0.例1

f(x)=-6x8+7x5-10,求f[1,2,…,9]及f[1,2,…,10].湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院28Newton插值多項(xiàng)式首先考察待定常數(shù)與差商之間的關(guān)系.由和可知(2.10)(2.9)湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院29(2.14)對于一般的利用歸納法可以證得(2.15)事實(shí)上，由差商的定義可知：依次將后一式代入前一式，最后得：湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院30其中：

湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院31因此關(guān)于節(jié)點(diǎn)的n次插值多項(xiàng)式可以寫成(2.16)稱(2.16)為Newton插值公式，稱為n次Newton插值多項(xiàng)式。

相應(yīng)的容易驗(yàn)證滿足插值條件。湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院32所以由插值多項(xiàng)式的唯一性知,

Ln(x)Nn(x)由于Newton插值多項(xiàng)式Nn(x)與Lagrange插值多項(xiàng)式Ln(x)只是Lagrange插值問題解的兩種表示形式，通過比較(2.5)和(2.16)關(guān)于的系數(shù)可知這就證明了差商性質(zhì)1.湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院33湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院34xkf(xk)一階差商二階差商三階差商四階差商0.400.550.650.800.900.410750.578150.696750.888111.026521.116001.186001.275731.384100.280000.358930.433480.197330.213000.03134例2

已知f(x)=shx的數(shù)表,求二次牛頓插值多項(xiàng)式,并由此計(jì)算f(0.596)的近似值。解由上表可得過前三點(diǎn)的2次Newton插值多項(xiàng)式為湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院35又可得過前四點(diǎn)的3次Newton插值多項(xiàng)式故又湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院36可得過前五點(diǎn)的4次Newton插值多項(xiàng)式于是當(dāng)插值節(jié)點(diǎn)等距分布時(shí)，上述基于差商的Newton插值公式可以得到進(jìn)一步簡化湘潭大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院37Lagrange插值問題解的誤差分