模糊綜合評(píng)判與模糊聚類

模糊理論建模copyright@新余高專數(shù)模組一模糊集合及其運(yùn)算二模糊模式識(shí)別四模糊聚類分析模糊理論建模三模糊綜合評(píng)判一、模糊集合及其運(yùn)算模糊理論建模一、經(jīng)典集合與特征函數(shù)集合：具有某種特定屬性的對(duì)象集體。通常用大寫字母A、B、C等表示。論域：對(duì)局限于一定范圍內(nèi)進(jìn)行討論的對(duì)象的全體。通常用大寫字母U、V、X、Y等表示。論域U中的每個(gè)對(duì)象u稱為U的元素。模糊集合及其運(yùn)算在論域U中任意給定一個(gè)元素u及任意給定一個(gè)經(jīng)典集合A，則必有或者，用函數(shù)表示為：其中函數(shù)稱為集合A的特征函數(shù)。經(jīng)典集合有關(guān)概念經(jīng)典集合具有三個(gè)性質(zhì):確定性、互斥性、無(wú)序性羅素（Russell）悖論：在一個(gè)孤島上唯一的一個(gè)理發(fā)師，其工作是“專門替那些不給自己刮胡子的人刮胡子”，現(xiàn)問理發(fā)師本人該不該給自己刮胡子？取論域U={全島刮胡子的人}，集合A={不給自己刮胡子的人}，用特征函數(shù)刻畫為問題：顯然理發(fā)師，那么理發(fā)師是否屬于A？羅素（Russell）悖論二、模糊集合及其運(yùn)算美國(guó)控制論專家Zadeh教授正視了經(jīng)典集合描述的“非此即彼”的清晰現(xiàn)象，提示了現(xiàn)實(shí)生活中的絕大多數(shù)概念并非都是“非此即彼”那么簡(jiǎn)單，而概念的差異常以中介過(guò)渡的形式出現(xiàn)，表現(xiàn)為“亦此亦彼”的模糊現(xiàn)象。基于此，1965年，Zadeh教授在《InformationandControl》雜志上發(fā)表了一篇開創(chuàng)性論文“FuzzySets”,標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)的誕生。模糊數(shù)學(xué)的誕生1、模糊子集模糊子集有關(guān)概念設(shè)U是論域，稱映射A(x)：U→[0,1]確定了一個(gè)U上的模糊子集A，映射A(x)稱為A的隸屬函數(shù)，它表示x對(duì)A的隸屬程度.使A(x)=0.5的點(diǎn)x稱為A的過(guò)渡點(diǎn)，此點(diǎn)最具模糊性.當(dāng)映射A(x)只取0或1時(shí)，模糊子集A就是經(jīng)典子集，而A(x)就是它的特征函數(shù).可見經(jīng)典子集就是模糊子集的特殊情形.模糊子集通常簡(jiǎn)稱模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法這里表示對(duì)模糊集A的隸屬度是。如“將一1,2,3,4組成一個(gè)小數(shù)的集合”可表示為可省略模糊集合常見表示方法（3）向量表示法（2）序偶表示法若論域U為無(wú)限集，其上的模糊集表示為：模糊集合常見表示方法2、模糊集的運(yùn)算定義：設(shè)A，B是論域U的兩個(gè)模糊子集，定義相等：包含：并：交：余：表示取大；表示取小。模糊集的運(yùn)算幾個(gè)常用的算子：（1）Zadeh算子（2）取大、乘積算子（3）環(huán)和、乘積算子模糊集的常用算子（4）有界和、取小算子（5）有界和、乘積算子（6）Einstain算子模糊集的常用算子3、模糊矩陣定義：設(shè)稱R為模糊矩陣。當(dāng)只取0或1時(shí)，稱R為布爾（Boole）矩陣。當(dāng)模糊方陣的對(duì)角線上的元素都為1時(shí)，稱R為模糊自反矩陣。（1）模糊矩陣間的關(guān)系及運(yùn)算定義：設(shè)都是模糊矩陣，定義相等：包含：模糊矩陣及其運(yùn)算并：交：余：例：模糊矩陣及其運(yùn)算（2）模糊矩陣的合成定義：設(shè)稱模糊矩陣為A與B的合成，其中。例：模糊矩陣及其運(yùn)算其中的“?！背Ｓ肸adeh算子（3）模糊矩陣的轉(zhuǎn)置定義：設(shè)稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，其中。（4）模糊矩陣的截矩陣定義：設(shè)對(duì)任意的稱為模糊矩陣A的截矩陣，其中模糊矩陣及其運(yùn)算例：模糊矩陣及其運(yùn)算三、隸屬函數(shù)的確定1、模糊統(tǒng)計(jì)法模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)的四個(gè)要素：（1）論域U；（2）U中的一個(gè)固定元素（3）U中的一個(gè)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)集合（4）U中的一個(gè)以作為彈性邊界的模糊子集A，制約著的運(yùn)動(dòng)。可以覆蓋也可以不覆蓋致使對(duì)A的隸屬關(guān)系是不確定的。隸屬函數(shù)的確定特點(diǎn)：在各次試驗(yàn)中，是固定的，而在隨機(jī)變動(dòng)。模糊統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)過(guò)程：（1）做n次試驗(yàn)，計(jì)算出（2）隨著n的增大，頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定，此穩(wěn)定值即為對(duì)A的隸屬度：隸屬函數(shù)的確定與概率統(tǒng)計(jì)類似，但有區(qū)別：若把概率統(tǒng)計(jì)比喻為“變動(dòng)的點(diǎn)”是否落在“不動(dòng)的圈”內(nèi)，則把模糊統(tǒng)計(jì)比喻為“變動(dòng)的圈”是否蓋住“不動(dòng)的點(diǎn)”.2、指派方法這是一種主觀的方法，但也是用得最普遍的一種方法。它是根據(jù)問題的性質(zhì)套用現(xiàn)成的某些形式的模糊分布，然后根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)確定分布中所含的參數(shù)。3、模糊統(tǒng)計(jì)法求隸屬函數(shù)隸屬函數(shù)的確定模糊統(tǒng)計(jì)法的步驟：（1）確定論域與因素集。（2）要求參與實(shí)驗(yàn)者就論域中各給出的點(diǎn)是否屬于因素集的各元素進(jìn)行投票。（3）統(tǒng)計(jì)投票結(jié)果，求出隸屬函數(shù)。4、其它方法德爾菲法：專家評(píng)分法；二元對(duì)比排序法：把事物兩兩相比，從而確定順序，由此決定隸屬函數(shù)的大致形狀。主要有以下方法：相對(duì)比較法、擇優(yōu)比較法和對(duì)比平均法等。隸屬函數(shù)的確定例設(shè)論域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(單位：cm)表示人的身高，請(qǐng)確定U上的一個(gè)模糊集“高個(gè)子(A)”和隸屬函數(shù)A(x)。

Zadeh表示法

隸屬函數(shù)的確定向量表示法

A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)隸屬函數(shù)A(x)可主觀的定為：模糊集“矮個(gè)子”的隸屬函數(shù)如何定義?例：設(shè)論域U年齡={20，35，50，65}，因素A={年青人，老年人}，20個(gè)人參與投票，結(jié)果如表所示：隸屬函數(shù)的確定

U∈A的次數(shù)

uA20355065年表人201620老年人001819

投票結(jié)果表試確定各年齡論域?qū)σ蛩丶疉的隸屬度μ20對(duì)“年青人”這一概念的隸屬度：μ20=20/20=1μ20對(duì)“老年人”這一概念的隸屬度：μ20=0/20=0

所以，μ20={1，0}。同理可求出年齡中各點(diǎn)對(duì)于因素集的隸屬度

μ35={0.8，0}μ50={0.1，0.9}μ65={0，0.95}二、模糊模式識(shí)別模糊模式識(shí)別模式識(shí)別的本質(zhì)特征：一是事先已知若干標(biāo)準(zhǔn)模式，稱為標(biāo)準(zhǔn)模式庫(kù)；二是有待識(shí)別的對(duì)象。所謂模糊模式識(shí)別，是指在模式識(shí)別中，模式是模糊的，或說(shuō)標(biāo)準(zhǔn)模式庫(kù)中提供的模式是模糊的。一最大隸屬原則最大隸屬原則Ⅰ：最大隸屬原則Ⅱ：模糊模式識(shí)別(一個(gè)對(duì)象有多個(gè)模式，確定最優(yōu)模式)(多個(gè)對(duì)象一個(gè)模式，確定最優(yōu)對(duì)象)按最大隸屬原則，該人屬于老年。解：模糊模式識(shí)別模糊模式識(shí)別模糊模式識(shí)別閾值原則：模糊模式識(shí)別二、擇近原則1、貼近度表示兩個(gè)模糊集A，B之間的貼近程度。模糊模式識(shí)別⊙C=⊙C=故B比A更貼近于Ｃ.模糊模式識(shí)別模糊模式識(shí)別模糊模式識(shí)別2、擇近原則模糊模式識(shí)別模糊模式識(shí)別模糊模式識(shí)別三、模糊綜合評(píng)判一級(jí)模糊綜合評(píng)判1多級(jí)模糊綜合評(píng)判2模糊(Fuzzy)綜合評(píng)判模糊(Fuzzy)綜合評(píng)判對(duì)方案、人才、成果的評(píng)價(jià)，人們的考慮的因素很多，而且有些描述很難給出確切的表達(dá)，這時(shí)可采用模糊評(píng)判方法。它可對(duì)人、事、物進(jìn)行比較全面而又定量化的評(píng)價(jià)，是提高領(lǐng)導(dǎo)決策能力和管理水平的一種有效方法。模糊(Fuzzy)綜合評(píng)判有關(guān)概念的說(shuō)明一級(jí)綜合評(píng)判基本步驟步驟：常用AHP法得出權(quán)重集一級(jí)綜合評(píng)判基本步驟根據(jù)運(yùn)算的不同定義，對(duì)有以下不同模型：幾種常見模型

最常用模型幾種常見模型幾種常見模型其中：幾種常見模型模糊綜合評(píng)判的應(yīng)用舉例設(shè)有兩類顧客，他們據(jù)自己的喜好對(duì)服裝各因素關(guān)心的程度分別為

針對(duì)這兩類顧客對(duì)此服裝進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。

評(píng)語(yǔ)指標(biāo)歡迎較歡迎不太歡迎不歡迎花色2000500020001000式樣7000200010000耐穿程度0400050001000價(jià)格2000300050000模糊綜合評(píng)判的應(yīng)用舉例模糊綜合評(píng)判的應(yīng)用舉例單因素評(píng)判結(jié)果往往根據(jù)多人投票統(tǒng)計(jì)得到模糊綜合評(píng)判的應(yīng)用舉例模糊綜合評(píng)判的應(yīng)用舉例例：要對(duì)某品牌電視機(jī)進(jìn)行模糊綜合評(píng)價(jià)，用戶關(guān)心的主要評(píng)價(jià)因素有圖象、聲音、價(jià)格，假定這三個(gè)因素的權(quán)系數(shù)向量{圖象評(píng)價(jià)，聲音評(píng)價(jià)，價(jià)格評(píng)價(jià)}={0.5,0.3,0.2}，下面為很多用戶對(duì)這種電視機(jī)各因素評(píng)價(jià)的統(tǒng)計(jì)結(jié)果評(píng)語(yǔ)指標(biāo)很好較好一般不好圖象30%50%20%0聲音40%30%20%10%價(jià)格10%10%30%50%請(qǐng)給出用戶對(duì)這種電視機(jī)的綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。模糊綜合評(píng)判的應(yīng)用舉例模糊綜合評(píng)判的應(yīng)用舉例模糊綜合評(píng)判的應(yīng)用舉例二、多級(jí)模糊綜合評(píng)判（以二級(jí)為例）問題：對(duì)高等學(xué)校的評(píng)估可以考慮如下方面多級(jí)模糊綜合評(píng)判二級(jí)模糊綜合評(píng)判的步驟：二級(jí)模糊綜合評(píng)判二級(jí)模糊綜合評(píng)判二級(jí)模糊綜合評(píng)判二級(jí)模糊綜合評(píng)判二級(jí)模糊綜合評(píng)判二級(jí)模糊綜合評(píng)判二級(jí)模糊綜合評(píng)判二級(jí)模糊綜合評(píng)判一、確定因素集U二、確定評(píng)語(yǔ)集V三、決定各級(jí)因素集的權(quán)重A和Ai四、確定二級(jí)模糊關(guān)系矩陣Ri

五、求出一級(jí)模糊關(guān)系矩陣R六、求出最終的綜合評(píng)判結(jié)果并歸一化七、給出模糊綜合評(píng)判結(jié)論二級(jí)模糊綜合評(píng)判的具體步驟

例：要對(duì)某校學(xué)生的學(xué)習(xí)成效進(jìn)行綜合評(píng)判，建立的綜合評(píng)判指標(biāo)體系如下：

學(xué)生學(xué)習(xí)成效綜合評(píng)判情意領(lǐng)域（因素集U1）興趣（子因素U11）態(tài)度（子因素U12）價(jià)值觀（子因素U13）認(rèn)知領(lǐng)域（因素集U2）技能領(lǐng)域（因素集U3）知識(shí)（子因素U21）理解（子因素U22）應(yīng)用（子因素U23）分析（子因素U24）知覺（子因素U31）反應(yīng)（子因素U32）適應(yīng)（子因素U33）創(chuàng)新（子因素U34）學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評(píng)判

(1)確定評(píng)判因素集學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評(píng)判

學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評(píng)判

(2)確定評(píng)語(yǔ)集(3)確定各因素集之權(quán)重用統(tǒng)計(jì)的方法，請(qǐng)數(shù)位教育專家分別對(duì)各子因素集中之各因素填入權(quán)重比例后平均得：學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評(píng)判

(4)對(duì)第二級(jí)因素集進(jìn)行單因素評(píng)判構(gòu)建第二級(jí)

模糊關(guān)系矩陣學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評(píng)判

請(qǐng)教育專家就各因素集中每一因素在V中四個(gè)等級(jí)打勾，最后經(jīng)算術(shù)平均得到數(shù)據(jù)，統(tǒng)計(jì)錄表如下：

學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評(píng)判

V

U1優(yōu)甲乙丙興趣

u110.10.300.500.10態(tài)度

u120.150.650.20

0價(jià)值觀u130.100.550.300.05對(duì)于U1，可得到模糊關(guān)系矩陣R1

學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評(píng)判

同理對(duì)于U2，U3可得到模糊關(guān)系矩陣R2

,R3

學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評(píng)判

學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評(píng)判

(5)求出一級(jí)模糊關(guān)系矩陣R(6)

求出最終的綜合評(píng)判結(jié)果學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評(píng)判

對(duì)B進(jìn)行歸一化得(7)

給出模糊綜合評(píng)判結(jié)果學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評(píng)判

方法1：

據(jù)最大隸屬度原則，綜合評(píng)定為“甲”

上述結(jié)論是用主因決定型模型得出，總評(píng)價(jià)只和起主要用用的因素有關(guān)，其它因素不影響評(píng)判結(jié)果，其得出的結(jié)論可能不太令人信服。為綜合考慮各種因素，可采用等級(jí)賦值法。學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評(píng)判

方法2：

采用等級(jí)賦值法，對(duì)各評(píng)語(yǔ)等級(jí)賦值

優(yōu)=4，甲=3，乙=2，丙=1那么等級(jí)賦值矩陣為

λ=(4321)等級(jí)賦值一般按等差數(shù)列排列學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評(píng)判