模糊綜合評判與模糊聚類

模糊理論建模copyright@新余高專數(shù)模組一模糊集合及其運算二模糊模式識別四模糊聚類分析模糊理論建模三模糊綜合評判一、模糊集合及其運算模糊理論建模一、經(jīng)典集合與特征函數(shù)集合：具有某種特定屬性的對象集體。通常用大寫字母A、B、C等表示。論域：對局限于一定范圍內(nèi)進行討論的對象的全體。通常用大寫字母U、V、X、Y等表示。論域U中的每個對象u稱為U的元素。模糊集合及其運算在論域U中任意給定一個元素u及任意給定一個經(jīng)典集合A，則必有或者，用函數(shù)表示為：其中函數(shù)稱為集合A的特征函數(shù)。經(jīng)典集合有關(guān)概念經(jīng)典集合具有三個性質(zhì):確定性、互斥性、無序性羅素（Russell）悖論：在一個孤島上唯一的一個理發(fā)師，其工作是“專門替那些不給自己刮胡子的人刮胡子”，現(xiàn)問理發(fā)師本人該不該給自己刮胡子？取論域U={全島刮胡子的人}，集合A={不給自己刮胡子的人}，用特征函數(shù)刻畫為問題：顯然理發(fā)師，那么理發(fā)師是否屬于A？羅素（Russell）悖論二、模糊集合及其運算美國控制論專家Zadeh教授正視了經(jīng)典集合描述的“非此即彼”的清晰現(xiàn)象，提示了現(xiàn)實生活中的絕大多數(shù)概念并非都是“非此即彼”那么簡單，而概念的差異常以中介過渡的形式出現(xiàn)，表現(xiàn)為“亦此亦彼”的模糊現(xiàn)象?；诖?，1965年，Zadeh教授在《InformationandControl》雜志上發(fā)表了一篇開創(chuàng)性論文“FuzzySets”,標(biāo)志著模糊數(shù)學(xué)的誕生。模糊數(shù)學(xué)的誕生1、模糊子集模糊子集有關(guān)概念設(shè)U是論域，稱映射A(x)：U→[0,1]確定了一個U上的模糊子集A，映射A(x)稱為A的隸屬函數(shù)，它表示x對A的隸屬程度.使A(x)=0.5的點x稱為A的過渡點，此點最具模糊性.當(dāng)映射A(x)只取0或1時，模糊子集A就是經(jīng)典子集，而A(x)就是它的特征函數(shù).可見經(jīng)典子集就是模糊子集的特殊情形.模糊子集通常簡稱模糊集，其表示方法有：（1）Zadeh表示法這里表示對模糊集A的隸屬度是。如“將一1,2,3,4組成一個小數(shù)的集合”可表示為可省略模糊集合常見表示方法（3）向量表示法（2）序偶表示法若論域U為無限集，其上的模糊集表示為：模糊集合常見表示方法2、模糊集的運算定義：設(shè)A，B是論域U的兩個模糊子集，定義相等：包含：并：交：余：表示取大；表示取小。模糊集的運算幾個常用的算子：（1）Zadeh算子（2）取大、乘積算子（3）環(huán)和、乘積算子模糊集的常用算子（4）有界和、取小算子（5）有界和、乘積算子（6）Einstain算子模糊集的常用算子3、模糊矩陣定義：設(shè)稱R為模糊矩陣。當(dāng)只取0或1時，稱R為布爾（Boole）矩陣。當(dāng)模糊方陣的對角線上的元素都為1時，稱R為模糊自反矩陣。（1）模糊矩陣間的關(guān)系及運算定義：設(shè)都是模糊矩陣，定義相等：包含：模糊矩陣及其運算并：交：余：例：模糊矩陣及其運算（2）模糊矩陣的合成定義：設(shè)稱模糊矩陣為A與B的合成，其中。例：模糊矩陣及其運算其中的“?！背Ｓ肸adeh算子（3）模糊矩陣的轉(zhuǎn)置定義：設(shè)稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，其中。（4）模糊矩陣的截矩陣定義：設(shè)對任意的稱為模糊矩陣A的截矩陣，其中模糊矩陣及其運算例：模糊矩陣及其運算三、隸屬函數(shù)的確定1、模糊統(tǒng)計法模糊統(tǒng)計試驗的四個要素：（1）論域U；（2）U中的一個固定元素（3）U中的一個隨機運動集合（4）U中的一個以作為彈性邊界的模糊子集A，制約著的運動?？梢愿采w也可以不覆蓋致使對A的隸屬關(guān)系是不確定的。隸屬函數(shù)的確定特點：在各次試驗中，是固定的，而在隨機變動。模糊統(tǒng)計試驗過程：（1）做n次試驗，計算出（2）隨著n的增大，頻率呈現(xiàn)穩(wěn)定，此穩(wěn)定值即為對A的隸屬度：隸屬函數(shù)的確定與概率統(tǒng)計類似，但有區(qū)別：若把概率統(tǒng)計比喻為“變動的點”是否落在“不動的圈”內(nèi)，則把模糊統(tǒng)計比喻為“變動的圈”是否蓋住“不動的點”.2、指派方法這是一種主觀的方法，但也是用得最普遍的一種方法。它是根據(jù)問題的性質(zhì)套用現(xiàn)成的某些形式的模糊分布，然后根據(jù)測量數(shù)據(jù)確定分布中所含的參數(shù)。3、模糊統(tǒng)計法求隸屬函數(shù)隸屬函數(shù)的確定模糊統(tǒng)計法的步驟：（1）確定論域與因素集。（2）要求參與實驗者就論域中各給出的點是否屬于因素集的各元素進行投票。（3）統(tǒng)計投票結(jié)果，求出隸屬函數(shù)。4、其它方法德爾菲法：專家評分法；二元對比排序法：把事物兩兩相比，從而確定順序，由此決定隸屬函數(shù)的大致形狀。主要有以下方法：相對比較法、擇優(yōu)比較法和對比平均法等。隸屬函數(shù)的確定例設(shè)論域U={x1(140),x2(150),x3(160),x4(170),x5(180),x6(190)}(單位：cm)表示人的身高，請確定U上的一個模糊集“高個子(A)”和隸屬函數(shù)A(x)。

Zadeh表示法

隸屬函數(shù)的確定向量表示法

A=(0,0.2,0.4,0.6,0.8,1)隸屬函數(shù)A(x)可主觀的定為：模糊集“矮個子”的隸屬函數(shù)如何定義?例：設(shè)論域U年齡={20，35，50，65}，因素A={年青人，老年人}，20個人參與投票，結(jié)果如表所示：隸屬函數(shù)的確定

U∈A的次數(shù)

uA20355065年表人201620老年人001819

投票結(jié)果表試確定各年齡論域?qū)σ蛩丶疉的隸屬度μ20對“年青人”這一概念的隸屬度：μ20=20/20=1μ20對“老年人”這一概念的隸屬度：μ20=0/20=0

所以，μ20={1，0}。同理可求出年齡中各點對于因素集的隸屬度

μ35={0.8，0}μ50={0.1，0.9}μ65={0，0.95}二、模糊模式識別模糊模式識別模式識別的本質(zhì)特征：一是事先已知若干標(biāo)準(zhǔn)模式，稱為標(biāo)準(zhǔn)模式庫；二是有待識別的對象。所謂模糊模式識別，是指在模式識別中，模式是模糊的，或說標(biāo)準(zhǔn)模式庫中提供的模式是模糊的。一最大隸屬原則最大隸屬原則Ⅰ：最大隸屬原則Ⅱ：模糊模式識別(一個對象有多個模式，確定最優(yōu)模式)(多個對象一個模式，確定最優(yōu)對象)按最大隸屬原則，該人屬于老年。解：模糊模式識別模糊模式識別模糊模式識別閾值原則：模糊模式識別二、擇近原則1、貼近度表示兩個模糊集A，B之間的貼近程度。模糊模式識別⊙C=⊙C=故B比A更貼近于Ｃ.模糊模式識別模糊模式識別模糊模式識別2、擇近原則模糊模式識別模糊模式識別模糊模式識別三、模糊綜合評判一級模糊綜合評判1多級模糊綜合評判2模糊(Fuzzy)綜合評判模糊(Fuzzy)綜合評判對方案、人才、成果的評價，人們的考慮的因素很多，而且有些描述很難給出確切的表達，這時可采用模糊評判方法。它可對人、事、物進行比較全面而又定量化的評價，是提高領(lǐng)導(dǎo)決策能力和管理水平的一種有效方法。模糊(Fuzzy)綜合評判有關(guān)概念的說明一級綜合評判基本步驟步驟：常用AHP法得出權(quán)重集一級綜合評判基本步驟根據(jù)運算的不同定義，對有以下不同模型：幾種常見模型

最常用模型幾種常見模型幾種常見模型其中：幾種常見模型模糊綜合評判的應(yīng)用舉例設(shè)有兩類顧客，他們據(jù)自己的喜好對服裝各因素關(guān)心的程度分別為

針對這兩類顧客對此服裝進行綜合評價。

評語指標(biāo)歡迎較歡迎不太歡迎不歡迎花色2000500020001000式樣7000200010000耐穿程度0400050001000價格2000300050000模糊綜合評判的應(yīng)用舉例模糊綜合評判的應(yīng)用舉例單因素評判結(jié)果往往根據(jù)多人投票統(tǒng)計得到模糊綜合評判的應(yīng)用舉例模糊綜合評判的應(yīng)用舉例例：要對某品牌電視機進行模糊綜合評價，用戶關(guān)心的主要評價因素有圖象、聲音、價格，假定這三個因素的權(quán)系數(shù)向量{圖象評價，聲音評價，價格評價}={0.5,0.3,0.2}，下面為很多用戶對這種電視機各因素評價的統(tǒng)計結(jié)果評語指標(biāo)很好較好一般不好圖象30%50%20%0聲音40%30%20%10%價格10%10%30%50%請給出用戶對這種電視機的綜合評價結(jié)果。模糊綜合評判的應(yīng)用舉例模糊綜合評判的應(yīng)用舉例模糊綜合評判的應(yīng)用舉例二、多級模糊綜合評判（以二級為例）問題：對高等學(xué)校的評估可以考慮如下方面多級模糊綜合評判二級模糊綜合評判的步驟：二級模糊綜合評判二級模糊綜合評判二級模糊綜合評判二級模糊綜合評判二級模糊綜合評判二級模糊綜合評判二級模糊綜合評判二級模糊綜合評判一、確定因素集U二、確定評語集V三、決定各級因素集的權(quán)重A和Ai四、確定二級模糊關(guān)系矩陣Ri

五、求出一級模糊關(guān)系矩陣R六、求出最終的綜合評判結(jié)果并歸一化七、給出模糊綜合評判結(jié)論二級模糊綜合評判的具體步驟

例：要對某校學(xué)生的學(xué)習(xí)成效進行綜合評判，建立的綜合評判指標(biāo)體系如下：

學(xué)生學(xué)習(xí)成效綜合評判情意領(lǐng)域（因素集U1）興趣（子因素U11）態(tài)度（子因素U12）價值觀（子因素U13）認(rèn)知領(lǐng)域（因素集U2）技能領(lǐng)域（因素集U3）知識（子因素U21）理解（子因素U22）應(yīng)用（子因素U23）分析（子因素U24）知覺（子因素U31）反應(yīng)（子因素U32）適應(yīng)（子因素U33）創(chuàng)新（子因素U34）學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評判

(1)確定評判因素集學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評判

學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評判

(2)確定評語集(3)確定各因素集之權(quán)重用統(tǒng)計的方法，請數(shù)位教育專家分別對各子因素集中之各因素填入權(quán)重比例后平均得：學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評判

(4)對第二級因素集進行單因素評判構(gòu)建第二級

模糊關(guān)系矩陣學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評判

請教育專家就各因素集中每一因素在V中四個等級打勾，最后經(jīng)算術(shù)平均得到數(shù)據(jù)，統(tǒng)計錄表如下：

學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評判

V

U1優(yōu)甲乙丙興趣

u110.10.300.500.10態(tài)度

u120.150.650.20

0價值觀u130.100.550.300.05對于U1，可得到模糊關(guān)系矩陣R1

學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評判

同理對于U2，U3可得到模糊關(guān)系矩陣R2

,R3

學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評判

學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評判

(5)求出一級模糊關(guān)系矩陣R(6)

求出最終的綜合評判結(jié)果學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評判

對B進行歸一化得(7)

給出模糊綜合評判結(jié)果學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評判

方法1：

據(jù)最大隸屬度原則，綜合評定為“甲”

上述結(jié)論是用主因決定型模型得出，總評價只和起主要用用的因素有關(guān)，其它因素不影響評判結(jié)果，其得出的結(jié)論可能不太令人信服。為綜合考慮各種因素，可采用等級賦值法。學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評判

方法2：

采用等級賦值法，對各評語等級賦值

優(yōu)=4，甲=3，乙=2，丙=1那么等級賦值矩陣為

λ=(4321)等級賦值一般按等差數(shù)列排列學(xué)生學(xué)習(xí)成效模糊綜合評判