高中數(shù)學(xué)全一冊學(xué)案(含解析)新人教A版必修5

sinsinsinCsinAsinBsin60°sinCsinsinsinCsinAsinBsin60°sinC1.1.1

正弦定理正弦定理[提出問題如圖，在eq\o\ac(△,Rt)中，A＝30°斜邊2.問題1：求△的他邊和角．提示：＝60°C＝90°，＝，＝3.a問題2：試計算，，的，三者有何關(guān)系？提示：

ab3＝，＝＝，＝，三者的值相等．問題3：對于任意的直角三角形否也有類似的結(jié)論？a提示：是．如圖，∵sin＝，c∴

a＝.sinAbb∵sinB＝，∴＝.csina∵sinC＝，＝＝sinsinsinC問題4：在鈍角△中B＝＝30°＝3，試求其他邊和角．提示：如圖，△為角三角形，＝30°AC＝3，則AD

32

3，＝，2BC＝32＝3，∠BAC＝120°.問題5：問題4中得數(shù)字滿足題3中結(jié)論嗎？提示：滿足．問題6：若是銳角三角形，上述論還成立嗎？1

sinABsinAB提示：成立．[導(dǎo)入新知1．正弦定理a在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即＝＝.sinsin2．解三角形一般地，把三角形的三個角A和們的對bc做三角形的元素，已知三角形的幾個元素，求其他元素的過程叫做解三角形．[化解疑難對正弦定理的理解(1)適用范圍：正弦定理對任意三角形都成立．(2)結(jié)構(gòu)形式：分子為三角形的長，分母為相應(yīng)邊所對角的正弦的連等式．(3)揭示規(guī)律：正弦定理指出的三角形中三條邊與對應(yīng)角的正弦之間的一個關(guān)系式，它描述了三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系．(4)主要功能：正弦定理的主要能是實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的轉(zhuǎn).已知兩角及一邊解三角形[例1]在ABC中，已知a＝，＝60°＝75°求A，，.[解]＝180°－＋＝180°－(60°＋75°)＝45°.由

basinB83sin＝得＝＝＝46sinBsinAsinAsin45°2＋683acsinC83sin4由＝得＝＝＝＝4(3＋．sinAsinCsinAsin45°22∴＝45°＝46，＝4(3＋1)．[類題通法已知三角形任意兩角和一邊解三角形的基本思路(1)由三角形的內(nèi)角和定理求出三個角；(2)由正弦定理公式的變形，求外的兩條邊．注意：若已知角不是特殊角時，往往先求出其正弦(時應(yīng)注意角的拆并，即將非特2

殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)再根據(jù)上述思路求解．[活學(xué)活用在△ABC中，已知＝10，A＝45°，＝30°，這個三角形．解：∵＝45°C＝30°，∴＝180°(＋)＝105°.由由

acsinA103sin45°＝得＝＝＝102.sinAsinCsinCsin30°bcsinB103sin105°＝得＝＝＝20sin75°，sinBsinCsinCsin30°∵sin75°＝sin(30°＝sin30°cos45°＋cos30°sin＝

2＋64

，∴＝203

2＋64

＝2＋6.∴＝105°＝102，52＋6.已知兩邊及一邊的對角解三角形[例2]根下列條件解三角形．(1)△ABC中已知b＝3，＝60°c＝；(2)△ABC中已知c＝6，＝45°a＝2.[解](1)由弦定理知csinB13sin60°1sinC＝＝＝，C＝30°或C＝150°.b32∵＋＋C＝180°，∴＝150°不符合題意，舍去．∴＝90°＝b＋＝2.故＝，＝90°，＝30°.cA(2)由正弦定理得sin＝＝a

645°3＝.22故＝60°＝120°.sinB675°當(dāng)＝60°＝75°，b＝＝＝3＋1.sinCsin60°csinB615°當(dāng)＝120°時＝15°，b＝＝＝3－1.sinCsin120°故＝3，＝75°，＝60°或b＝3－，＝15°C＝120°.3

[類題通法已知三角形兩邊和其中一邊的對角解三角形時的方法(1)首先由正弦定理求出另一邊角的正弦值；(2)如果已知的角為大邊所對的時，由三角形中大邊對大角，大角對大邊的法則能判斷另一邊所對的角為銳角，由正弦值可求銳角唯一；(3)如果已知的角為小邊所對的時，則不能判斷另一邊所對的角為銳角，這時由正弦值可求兩個角，要分類討論．[活學(xué)活用π在△ABC中，若＝6，C，＝，求，，.3aasinC解：由＝，sin＝＝sinAsinCπ3π∴＝或＝.44又∵c＞，∴＞，π∴只能取A，4ππ5∴＝π－＝，3412

2.2csinBb＝＝sinC

62sinπsin3

512

＝3＋判斷三角形的形狀[例3]在中，sinA＝＋sinC，sin＝2sinBcosC，試判eq\o\ac(△,斷)ABC的形狀．a(chǎn)bc[解]由弦定理，得A＝，sin＝，C＝.(為△ABC外接圓半)222R∵sin

＝sin＋sin

C，a∴即c

，故＝90°.∴＝90°，＝sin

B.∴2sinBcosC2sin

＝sin＝1.∴sinB＝

22

.4

∴＝45°＝135°(＋B＝225°＞180°，故舍)．∴△ABC是等腰直角三角形．[類題通法1．判斷三角形的形狀，可以從查三邊的關(guān)系入手，也可以從三個內(nèi)角的關(guān)系入手，從條件出發(fā)利用正弦定理進(jìn)行換化呈出邊與邊的關(guān)系或求出角與角的關(guān)系或大小，從而作出準(zhǔn)確判斷．2．判斷三角形的形狀，主要看是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、鈍角三角形或銳角三角形，要特別注意“等腰直角三角形”與“等腰三角形或直角三角形”的區(qū)別．[活學(xué)活用在△ABC中，若＝cosC，試斷該三角形的形狀．a(chǎn)b解：∵＝cos，＝＝，(為外圓半徑sinAsinB∴sinB＝A2cos.∵＝π＋)，∴sin(A＋)＝2cos.即sincosCcosAsinC＝sinA2cos，∴cosAsinC＝0，∵，∈(0，)，∴cos＝，π∴＝，2∴△ABC為直角三角形．1.警惕三角形中大邊對大角[典例]在ABC中已知a23，＝，A＝60°，則B＝________.sinAsin60°1[解析]由弦定理，得sinB＝b3＝23＝.∵0°＜＜180°，a232＝30°＝150°.∵b＜據(jù)三角形中大邊對大角可知＜B不合條件，應(yīng)舍去，∴＝30°.[答案]30°[易錯防范5

sinsinsinA3sinsinsinA311．由sinB＝得＝30°150°，而忽視＝＝23，而出錯．22．在求出角的正弦值后，要根“大邊對大角”和“內(nèi)角和定理”討論角的取舍．[成功破障在△ABC中，，分是角，，所應(yīng)邊，且＝，＝3，＝30°求的值a解：由正弦定理＝得bsinA6sin30°3sinB＝＝＝a232由條件b＝6a＝3，＞知B＞.∴＝60°120°.①當(dāng)＝60°，＝180°－－＝180°－30°－60°＝90°.在Rt△ABC中，C＝90°＝3，＝，c＝43，∴＝33424.②當(dāng)＝120°時，＝180°－－B＝180°－30°－120°＝30°∴＝，則有a＝＝3.∴ac＝3323＝12.[隨即時演練]1．(廣東高)在△ABC中，若＝60°B＝45°BC32則()A．43

B．23C.3

D.

32BC解析：選B由弦定理得＝，sin即

32＝，sin60°sin45°322所以AC3＝3，故選B.222．在△中，15，＝，＝60°則B值為)22A．－3

22B.36

sinAsinBsin60°sinBsinAsinBsin60°sinBC．－

63

D.

63ab1510解析：選D根正弦定理＝可得＝，解得sinB

33

，又因為ba，所以<，故為角，所以cosB1－sin

＝

63

.3．在△中，若sinA＋sin)(sin－＝sin形．

C，eq\o\ac(△,則)是________三角解析：由已知得sinA－sinB＝sinC，根據(jù)弦定理知asinA＝，＝，sinC＝，22R2Ra所以2即c，故＋c＝.所以△是直角三角形．答案：直角454．(全國甲卷eq\o\ac(△,))的內(nèi)角A，的邊分別為，，＝，cos＝，513a＝，b______.45解析：在△中，∵＝，cos＝，51331235412∴sinA＝sinC＝，sin＝sin(＋)C＋Asin＝3＋351351351363＝.656313aaB6521又∵＝，b＝＝＝.sinAsinsinA313521答案：135．不解三角形，判斷下列三角解的個數(shù)．(1)＝，b＝，＝120°；(2)＝，b＝14，＝150°7

B.sinAaB.sinAa(3)＝，b＝10，＝60°.bsin120°433解：(1)sin＝＝3＜，a522所以△有一解．bsin150°(2)sinB＝＝，所以△ABC無．a(chǎn)bsin60°10353353(3)sinB＝＝3＝，而＜＜，a9292953所以當(dāng)B為角時，滿足sin＝的B的取范圍為＜90°；9當(dāng)為角時有90°B＜120°，也滿足AB＜180°，所以△有兩解．[課達(dá)標(biāo)檢測]一、選擇題sinA1．在△中，下列式子與的相等的()aA.

bc

sinBsinAC.

sinCc

D.

csinCac解析：選C由弦定理得＝，sinsinAsin所以＝.2．在△中，若sin>sin，則A與的小關(guān)系()A．>C．≥

B．<D．，的大小系不確定解析：選A∵sinA>sinB，∴RsinA>2sin，即>，故>B.3三角形的兩個角分別等于120°45°所對的邊長是46120°角所對邊長()A．4C．43

B．123D．12解析：選D若120°角所對邊長為，8

2sinBsinC2sinBsinCx46則由正弦定理可得＝，sin120°sin45°3463462sin120°2于是＝＝＝，選D.sin45°24．在△中，已知b＝，＝，C＝60°，則此三角形的解的情況()A．有一解B有兩解C．無解D有解但解的個數(shù)不確定bc解析：選C由弦定理得＝，3403bsinC2∴sinB＝＝＝3>1.c20∴角不在，即滿足條件的三角形不存在．5．以下關(guān)于正弦定理或其變形敘述錯誤的(A．在△中，b∶＝sinA∶sin∶sinCB．在△中，若sin2A＝sin2，則＝C．在△中，若sin＞sin，則A＞，＞，則sinA＞sin成立abcD．在△中，＝sinsinB＋sinC解析：選B由弦定理易知A，D確．對于B，由2sin2B，可得＝，或A＋B＝，π即＝，AB＝，2∴＝，或b＝，誤二、填空題26．(北京高)在△ABC中，a3，＝6∠＝，則∠B________.3a解析：在△中，根據(jù)正弦定＝，sinAsin362有＝，得sinB＝.2sinB2sin3π因為∠為鈍角所以＝.49

π答案：47．在△中，＝30°C＝120°，則a∶∶c＝________.解析：＝180°－－＝30°由正弦定理得a∶∶＝sinAsinB∶，即∶∶＝sin30°∶sin∶sin120°＝∶∶3.答案：∶∶38．在△中，若A＝120°，AB＝5，＝7，sinB＝________.解析：由正弦定理，得AB2sinA5sin120°53sinC＝＝＝.BC714可知為角，11∴cosC＝1－sin＝.14∴sinB－120°－)＝sin(60°C33＝sin60°2cos－cos60°2sin＝1433答案：14三、解答題9．在△中，角A，，C的對分別為，b，，知2B＝＋，＋2＝，求sinC的．解：∵B＝＋，＋＋＝180°∴＝60°＋C＝120°，∴0°<，0°<<120°且A＝120°－.∵＋2＝，由正弦定理得sinA＋2sin＝2sinC，∴sin(120°－)＋

62

＝2sinC，即

316cosC＋sinC＋＝C，222336∴sinCcos＝22210

πcosBcosBcosAπcosBcosBcosA∴sin(－30°)＝

22

.∵－30°<－0°<90°，∴－30°＝45°＝75°.sinC＝sin(45°＋30°)＝sin45°cos30°45°sin30°

6＋24

.10．(天津高考)在△ABC中內(nèi)角，BC所對邊分別為b，已知2B＝3bsin.(1)求；1(2)若cosA＝，求sin的．3解：(1)由sin2＝3bsinA正弦定理得2sinBB3sinA3asin，所以cosB

3，所以＝.26122(2)由cosA＝，可得sinA＝，33sinC＝sin[π－A＋)]＝sin(＋B＝sin＝

3126＋1sinA＋cosA＝.226asinsin11．在△中，已知＝，試判斷△ABC的形狀．cosBcosAasinbsinA解：∵＝，cosa＝RsinA，＝sin，∴

4sinAsinB4sinBsin＝.又∵sinAB，∴sinAcosA＝BB，即sin2＝sin2，∴A＝B，或2A＋π，π即＝，AB＝.211

故△ABC是等腰三角形或直角三形．12．已知方程－bcos)＋acosB＝的根之積等于兩根和，且a，為ABC的兩邊，，為內(nèi)角，試判定這個三角形的形狀．解：設(shè)方程的兩根為、x，，由根與系數(shù)的關(guān)系，B∴cosAacosB由正弦定理得：Bcos＝sinAcosB，∴sinAcosB－sinB＝，sin(－)＝∵、為ABC的內(nèi)角，∴0<A<，π，<A－π.∴－＝，即＝.故△ABC為等腰三角形．1.1.2

余定理余弦定理[提出問題在△ABC中，若AB＝，AC＝，＝60°.問題1：這個三角形確定嗎？提示：確定．問題2：你能利用正弦定理求出BC嗎？提示：不能．問題3：能否利用平面向量求邊BC？如何求得？提示：能．→→∵＝－AB，→→→→∴BC|＝AB|＋AC|－2→→→→＝AB|＋AC|－|||cos＝＋－23233cos60°12

＝7.→∴BC|＝7.問題4：利用問題的推方法，能否推導(dǎo)出用b，，表提示：能．[導(dǎo)入新知余弦定理a＝＋－bccos_，公式表達(dá)

bc

＝＋＝＋

－accos_B，－abcos_余弦定理

語言敘述推論

三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍＋c－cos＝，2bc＋c－cos＝，2ac＋b－cos＝2ab[化解疑難對余弦定理的理解(1)適用范圍：余弦定理對任意三角形都成立．(2)結(jié)構(gòu)特征：“平方”“夾角“余弦”．(3)揭示的規(guī)律：余弦定理指的三角形中三條邊與其中一個角的余弦之間的關(guān)系式，它描述了任意三角形中邊與角的一種數(shù)量關(guān)系．(4)主要功能：余弦定理的主要能是實現(xiàn)三角形中邊角關(guān)系的互化．已知三角形的三邊解三角形[例1]在ABC中：(1)＝，b＝，＝37求最大角；13

22(2)∶∶＝∶3∶，，B，的?。甗解](1)由>b>，知大，a＋－3＋－1∵cosC＝＝＝－，2233342∴＝120°.(2)∵∶∶＝∶3∶，∴設(shè)＝，則＝x，＝(>0)．由余弦定理，得bcosA＝

＋－3＋x－3＝＝，23222∴＝30°.1同理cosB，cosC＝，2∴＝60°＝90°.[類題通法已知三角形的三邊解三角形的方法(1)先利用余弦定理求出一個角余弦，從而求出第一個角；再利用余弦定理或由求得的第一個角，利用正弦定理求出第二個角；最后利用三角形的內(nèi)角和定理求出第三個角．(2)利用余弦定理求三個角的余，進(jìn)而求三個角．[活學(xué)活用在△ABC中，已知＝7，＝3，＝，求最大角和另外兩角的余弦值．解：∵>b，∴為大角，b＋－3＋－21由余弦定理得，A＝＝＝－，2bc233352又∵0°<，A＝120°.a＋－7＋－13cosB＝＝＝；22373514b＋－3＋－11cosC＝＝＝.22373314已知三角形的兩邊及其夾角解三角形[例2]在ABC中，已知a＝，＝60°＝3＋1)解此三角形．[解]由弦定理得：b

＝＋－accosB＝＋[4(3＋－23834(＋1)2cos14

sinAsinB＝sinAsinB＝1＝64＋16(4＋23)－64(3＋1)396，2∴＝46.b＋－法一：由cos＝2bc＝

96＋163＋1－642346343＋1＝

22

，∵0°A，＝45°.故＝180°－＝180°－45°－60°＝75°.a法二：由正弦定理＝，∴

8462＝，sin＝.b＞，＞，sinAsin60°2∴最，即A銳角．因此＝45°.故＝180°－＝180°－45°－60°＝75°.[類題通法已知三角形的兩邊及其夾角解三角形的方法先利用余弦定理求出第三邊余角的求解有兩種思路是用余弦定理的推論求出其余角；二是利用正弦定(已兩邊和一邊的對)求解．若用正弦定理求解，需對角的取值進(jìn)行取舍，而用余弦定理就不存在這些問[在(0，π)上，余弦值所對角的值是唯一，故用余弦定理求解較好．[活學(xué)活用在△ABC中，已知＝22，＝3，＝15°解此三角形．解：c＝＋－abcosC＝(22)＋(23)2－23223233cos(45°＝－3＝6－2)，∴＝6－2.法一：由余弦定理的推論得bcosA＝

＋－2

23＋6－2－232336－2

2＝.2∵0°＜＜180°，＝45°15

cc從而＝120°.6－2223sinC法二：由正弦定理得sinA＝6－2∵＜，∴＜，又∵0°＜＜180°∴必銳角，A＝45°，而得＝120°.

2＝.2已知三角形的兩邊和其中一邊的對角解三角形[例3]在ABC中，已知b＝，＝，B＝30°，求，，a.[解]法：由余弦定理b＝a＋－accosB得3＝(33)－3333cos30°，∴9＋＝0，得a＝或6.當(dāng)＝，＝30°∴＝120°.163aB2當(dāng)＝，由正弦定理得＝＝＝1.b3∴＝90°∴＝60°.133法二：由bc，＝30°b＞sin30°＝333＝知題有兩解．22csinB由正弦定理得sinC＝＝b

133323＝32

，∴＝60°120°，當(dāng)＝60°＝90°，△ABC為角三角形．由勾股定理得a＝b＋＝3＋3＝，當(dāng)＝120°時＝30°，△為等腰三角形，∴＝3.[類題通法已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形的方法可根據(jù)余弦定理列一元二次方程求出第三(注意邊的取)利用正弦定理求其他的兩個角可由正弦定理求出二個(注意角的取)利用三角形內(nèi)角和定理求出第三個角，最后再利用正弦定理求出第三邊．[活學(xué)活用16

....3已知在△中，cos＝，a＝，＝，則＝________.5解析：為b，的角，由余弦定理得a

＝＋－bccosA，3∴16＝＋－63c，5整理得5c－18－＝0.7解得＝5或＝－舍．5答案：判斷三角形的形狀[例4]在ABC中，若已知a＋＋)2(b－＝ab并且sinC＝2sincosA，試判斷△的形狀．b[解]由弦定理，可得sin＝，C＝.2R2由余弦定理，得cos＝

＋－2代入sinC2sinBcosA，b得＝2

＋－2整理得a＝.又因為a＋＋)(＋－)3ab所以＋－＝aba＋－1π即cos＝＝.故＝.223又因為a＝，所以△為等邊三角形．[類題通法判斷三角形的形狀的方法判斷三角形的形狀應(yīng)圍繞三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行思考用正弦理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系通因式分解配等方式得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；也17

可利用正余定理將已知條件化為角與角之間的關(guān)系過三角變換得三角形各內(nèi)角之間的關(guān)系，從而判斷三角形的形狀．[活學(xué)活用sinB在△ABC中，若cosA＝，判斷其形狀．sinCsin解：由cosA＝得sinbb＋－bcosA＝，＝，c2bc∴－＝，a＋＝c，因此△是以為角的直角三角形．1.利用正、余弦定理求解平面圖中線段長[典例](12分如所示，在四形中⊥，＝，AB＝14，∠＝60°，＝135°，的．[解題流程[規(guī)范解答]18

＝＝.＝＝.[活學(xué)活用如圖所示，在△ABC中，已知B＝45°D是BC邊上一點，＝，AC＝，＝，AB的長．解：在△中，cos＝AC＋－7＋－112222373314又∵0°＜＜180°53∴sinC＝.14ACAB在△ABC中，＝，sinsinCsinC5356∴＝2227.sinB142[隨即時演練]1．在△中，5，＝5，A＝30°，則a等()A．5C．3

B．4D．10解析A由弦定理a＝b＋－bccos＝＋(53)2－2353533cos30°＝，∴a＝5.－－2．在△中，角A，，C的對分別為，b，，＞，eq\o\ac(△,則)ABC()2A．一定是銳角三角形B．一定是直角三角形C．一定是鈍角三角形D．是銳角或直角三角形19

c解析：選C由

－－＞得－cos＞，2所以cosC，從而C為鈍角，因此△一定是鈍角三角形．3．(天津高考改編)在△中若AB13，BC＝，＝120°，則＝________.解析：由余弦定理得AB＝＋－AC22cosC，即13＝＋－AC333cos120°，化簡得AC＋AC40，解得AC1或＝－舍去．答案：14．在ABC中＝1b＝cosC＝，則4解析：根據(jù)余弦定理，1c＝＋－abcosC＝＋－231323＝，4故＝1因為cosC，4

c＝________sinA＝________.于是sinC

11－

15＝，41513asinC415于是，由正弦定理得sin＝＝＝或：由a＝1，＝，＝，cosc282＋－7A＝＝，是sin＝23232815答案：8

71－

15＝.85．在△ABC中，知a＝，＝，角C的弦是方程＋x＝的，求第三邊c的長解：5＋x－＝可化(x－3)2(＋＝0.3∴＝，＝2(去．53∴cosC＝.5根據(jù)余弦定理，20

＝＝c

＝＋－abcosC＝＋

3－235333＝16.5∴＝，即第三邊長為[課達(dá)標(biāo)檢測]一、選擇題1．在△中，若b＝，＝3，＝60°則此三角形外接圓的半徑()A.

823

14B.3C.

773D.33解析：選D由弦定理，得a

＝＋－bccosA＝＋

1－238333＝，2a∴＝7.由正弦定理，得＝2，sinA73∴＝.3132．在△中，若a＝，＝7，C＝，則最大角的余弦值(14

)1A．－51C．－7

1B．－61D．－8解析：選C由弦定理，得13c＝＋－abcosC＝＋－238373＝，14所以＝，故最，所以最大角的余弦值為bcosA＝

＋－2

7＋－1＝－2373373．在△中，＝60°b

＝，此三角形一定是()A．直角三角形B．等邊三角形C．等腰直角三角形D鈍角三角形解析：選B由弦定理，得b＝＋－ac又∵b＝，∴－ac＝，(c＝0，∴＝.21

∵＝60°＝＝60°.故△ABC是等邊三角形．4(全國乙卷eq\o\ac(△,))的內(nèi)角的邊分別為a，c，已知a＝5＝cosA2＝，b＝()3A.2C．2解析：選D由弦定理得5＝b

B.3D．321＋－23323，解b＝或＝－(去，故選33D.5．在△中，

≤sinBsin

－sinBsinC則A的取范圍是)πA.

B.，C.

π

D.，解析：選C∵sin

≤sin＋sin－BC∴由正弦定理得a≤＋c－，即a

≥，b＋－bc1由余弦定理得cosA＝≥＝，2bc22π∴0<A≤.3二、填空題6．(福建高)在△ABC中A＝60°，＝，＝3，則等________AC解析：在△中，根據(jù)正弦定，得＝，sinBsinA23所以＝，得sin＝，sinBsin60°因為0°＜＜180°，所以＝90°所以AB2－3＝答案：27．(北京高)在△ABC中，∠＝，＝3，則＝________.32解析：在△中，∠＝，322

2∴＋－bccos，＝＋＋.3∵＝3，∴3c＝＋c＋bc∴＋bc2c＝0，b∴b＋cb－)＝，∴－＝0，∴＝，∴＝1.c答案：8．在△中，若sin∶sin∶sinC＝∶∶，則＝________.解析：因為sinsinB∶sinC＝∶∶，由正弦定理可得a∶∶c＝∶∶，設(shè)＝(k＞0)，b＝，＝7，＋－1由余弦定理的推論得cosC＝－，22又0°＜＜180°所以＝120°.答案：120°三、解答題9．在△中，asin，＝cos，試判斷△的形狀．解：由余弦定理知B＝

a

＋－，代入＝acos，2aca得＝2

＋－，∴＋b＝.2∴△ABC是以A為直角的直角三角形．c又∵b＝sinC，∴＝2.∴＝c.a∴△也是等腰三角形．綜上所述，ABC是腰直角三角形．110．天津高考改)在△中內(nèi)角B，所的邊分別是c.已知－c＝42sinB3sinC，求cosA的值3解：由2sinB3sinC及正弦理得＝3，即b＝.21又－＝，411∴c＝a，即a＝c.24由余弦定理得23

aa93c＋－c－b＋－44cosA＝＝＝＝.233423211．在△ABC中，角的對邊分別為，且22cA＝2cosAa2cosC.(1)求角A的大小；(2)若＝7，＋＝，求的值．解：(1)根據(jù)正弦定理得22cosA＝2cosA＋2cosC2cosA＝sincos＋cossin＝A＋)sin，∵sinB≠0，1∴cosA＝.2∵0°A，∴＝60°.(2)由余弦定理得7＝＝＋－22cos＝－bc＝(＋)－bc，把b＋＝入得bc＝，故＝3.12．△的三個內(nèi)角，B，所的邊分別為a，，，AB＋cosA＝2.b(1)求；(2)若＝＋3a

，求.解：(1)由正弦定理得，sinsinB＋sinBcos＝2sinA，即sin(sin＋cos)＝2sinAb故sin＝2sinA，所以＝2.a(2)由余弦定理和＝＋3，＋3a得cos＝.2由1)知＝a，＝(2＋3)a.可得

1B＝，cosB，2

24

故cos＝

22

.所以＝45°.1

正余定在際的用測量中的基本術(shù)語[提出問題李堯出校門向南前進(jìn)米再東走了米，回到自己家中．問題1：李堯家在學(xué)校的哪個方？提示：東南方向．問題2：能否用角度再進(jìn)一步確其方位？提示：可以，南偏東45°或東偏45°.[導(dǎo)入新知實際測量中的有關(guān)名稱、術(shù)語稱基線仰角俯角方向角

定義在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時與水平線的夾角在同一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線下方時與水平線的夾角從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角定方向線是指正北或正南或正東或正西，方向角小于90°)

圖示南偏西60°(以正南方向為始邊，轉(zhuǎn)向目標(biāo)方向線形成的)25

方位角

從正北的方向線按順時針到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角[化解疑難解三角形實際問題的一般步驟弄題意的基礎(chǔ)上作出示意圖圖形中分析已知三角形中哪些元素，需求哪些量．用正、余弦定理解三角形是解題的關(guān)鍵環(huán).測量高度問題[例1]如，為了測量河對岸的塔高A，不同的方案，其中之一是選取與塔底在一水平面內(nèi)的兩個測點C，測得＝200米在C點和D點測塔頂A的角分別是45°，且CBD＝30°求塔高.[解]在Rt△中＝45°AB＝BC＝Rt△中，∠＝30°則＝3.在△BCD中，由余弦定理可得CD＝＋－2222cos∠CBD，即200＝＋3h)－222h2

32

，所以＝200，解得＝h＝－舍去)，即塔高AB為米[類題通法測量高度問題的要求及注意事項(1)依題意畫圖是解決三角形應(yīng)題的關(guān)鍵題果既有方向(它是在水平面上所成的角，又有仰(俯角它在鉛垂面上所成的)，在繪制圖形時，可畫立體圖形和平面圖形兩個圖，以對比分析求解．(2)方向角是相對于在某地而言，因此在確定方向角時，必須先弄清楚是哪一點的方向角．從這個意義上來說，方向角是一個動態(tài)角，在理解題意時，應(yīng)把它看活，否則在理解題意時將可能產(chǎn)生偏差．26

[活學(xué)活用(湖北高考如一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛處測得公路北側(cè)一山頂D在西北30°的方向上行駛m后達(dá)處測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°則此山的高CD________m.解析：由題意，在△ABC，∠BAC＝30°，∠ABC＝180°－75°，ACB＝45°.600又AB600，故由正弦定理得＝，sin45°sin30°解得BC3002m.在eq\o\ac(△,Rt)BCD中，CD＝BC2tan30°＝30023答案：6

3＝1006(m)．3測量角度問題[例2]如，在海岸A處發(fā)現(xiàn)北偏東45°方向，距A處3－1)nmile的B處有一艘走私船A處偏西75°方向離A處nmile的C處緝私船奉命以103nmile/h的度追截走私船．此時，走私船正以10nmile/h的度向北偏東30°向逃竄，問：緝私船沿著什么方向能最快追上走私船？[解]設(shè)私船用h在D處追上走私船，則有CD103，BD＝10t，在△ABC中，∵AB＝3，＝，∠BAC＝120°∴由余弦定理，得BC＝

＋

－AB22cos∠＝3－

＋

－22(3－1)222cos120°＝，∴＝6AC且sin∠＝2sin∠＝BC

26

2

32＝.2227

∴∠ABC＝45°.∴與北方向垂直．∵∠CBD＝90°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得BD2sin∠CBD10sin120°1sin∠BCD＝＝，CD1032∴∠BCD＝30°.即緝私船沿東偏北30°方向能快追上走私船．[類題通法解決追及問題的步驟(1)把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題(2)畫出表示實際問題的圖形，在圖中標(biāo)出有關(guān)的角和距離，這樣借助于正弦定理或余弦定理，就容易解決問題了；(3)最后把數(shù)學(xué)問題還原到實際題中去．[活學(xué)活用某貨船在索馬里海域航行中遭海盜襲擊，發(fā)出呼叫信號，如圖，我海軍護(hù)航艦在A處悉后，立即測出該貨船在方位角為，距離為10海里的C處并測得貨船正沿方位角為105°的方向，以10海/小時的速度向前行駛，我海軍護(hù)航艦立即以103海里/小時的速度去營救，求護(hù)航艦的航向和靠近貨船所需的時間．解：設(shè)護(hù)航艦靠近貨船所用時間為t?。凇髦?，根據(jù)余弦定理，有AB＝

＋

－AC2120°，可得(103)＝＋t)－2310310cos120°，1整理得2t－－＝，得＝t＝－舍去)．2所以護(hù)航艦靠近貨船需要1小．此時AB103，＝10又AC10，所以＝30°所以護(hù)航艦航行的方位角為75°.1.探究距離測量問題28

sinCBsinCB測量距離問題分為三種類型兩間不可通又不可視兩間可視但不可達(dá)兩點都不可達(dá)解此問題的方法是：選合適的輔助測量點，構(gòu)造三角形，將問題轉(zhuǎn)化為求某個三角形的邊長問題，從而利用正弦、余弦定理求解．【角度一】

兩點間不相通的距離[例1]如所示，要測量一水塘兩側(cè)AB兩間的距離，其方法為先選定適當(dāng)?shù)奈恢肅，用經(jīng)儀測出角α，分別測出的長b，，可求出，兩點的距離．即AB＋b－2cosα.若測得CA＝400m，＝m∠ACB＝60°，試計算的度[解]在ABC中由余弦定理得AB＝

＋

－AC22cos∠ACB∴＝400＋600－2340036003cos60°280000.∴AB＝2007m.即，兩間距離為m.【角度二】

兩點間可視但有一點不可到達(dá)[例2]如所示，，兩在一條河的兩岸，測量者在A的同，且B點可到達(dá)，要測出A，的離，其方法為在所在的岸邊選定一點C，可測出，的距，再借助儀器，測出∠ACB，∠＝，△中，運用正弦定理就可以求出.若測出AC＝60m，∠BAC＝75°BCA，兩間的距離為_______m.[解析]∠＝180°－75°－45°＝60°，ABAC所以由正弦定理得＝，sinAC2sinC603sin45°∴＝＝＝6(m)．sinBsin60°即，兩間距離為206m.[答案]206【角度三】

兩點都不可到達(dá)[例3]如兩在河的同側(cè)，且兩均不可到達(dá)，測出的離，其方法為測量者可以在河岸邊選定兩點C，，得CD＝，同時在，兩點別得∠BCA＝α，ACD＝β，CDB＝γ，BDA＝δ.在△和△中，由正弦定理分別計算出AC29

和BC，再在△ABC，應(yīng)用余弦定理計算出.若測得CD＝間的距離．

32

km，∠ADB＝∠＝30°∠ACD＝60°，∠＝45°求A，兩[解]∵∠ADC∠ADB＋∠CDB＝60°，ACD＝60°，∴∠DAC＝60°，∴＝＝

3.2在△BCD中，∠DBC＝45°，正弦定理，得3DC26BC＝2sinBDC2sin30°＝.sin∠DBCsin45°4在△ABC中，由余弦定理，得AB＝＋－AC22cos45°333623＝＋－2333＝.482428∴＝

64

km.∴，兩間距離為

64

km.[隨即時演練]1．若在Q北偏東44°50方向上，則Q在的()A．東偏北45°10′方向上B．北偏東45°50′方向上C．南偏西44°50′方向上D．西偏南45°50′方向上解析：選C如所示，點Q在點P的南偏西44°50′的方向上30

33332．海上有AB兩個小島相距10海里從A島C島島的視角，從島C島和A島成75°視角，則B，間距離()A．103海里C．52海里

106B.海3D．56海解析：選D如，＝180°－60°－75°＝45°＝，10BC由正弦定理得＝，sin45°sin60°∴＝6(里，故選D.3．如圖，線段，分表示甲、乙兩樓⊥BD⊥，從甲樓頂部A處得乙樓頂部處仰角為α＝30°，測得乙樓部D的俯角＝60°已知甲樓高＝24米，乙樓高＝________米．解析：過A作AE(圖略，垂足為E，ED＝＝米則AE＝ED24＝＝3(米．tan60°在eq\o\ac(△,Rt)ACE中，CE＝AE2tan30°＝833

33

＝米，∴＝＋＝＋2432()．答案：4.如圖，為了測量河的寬度，在岸邊選定兩點A，，望對岸的標(biāo)記物C測得∠＝45°，∠CBA＝75°AB＝120米則河的寬度________米解析：∠ACB＝180°－45°＝60°，AB在△ABC中，＝.sin∠ACBsinCABsin45°1202∴＝1202＝，sin60°1202河寬為BCCBA＝sin75°20(3＋3)米.3答案：3＋5.如圖于A處的信息中心獲悉其東方向相距40海的處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南31

偏西30°距20海的處乙船乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往處援，求cos的值．解：如題中圖所示，在△ABC中，AB＝40，＝20，∠BAC＝120°由余弦定理知，BC＝

＋

－AB22cos120°＝2800207.ABBC由正弦定理，得＝sin∠sin∠BACABsin∠ACB2s∠BACBC

217

.由∠BAC＝120°，知∠為銳角，27則∠＝.7由θ＝ACBcosθ＝cos(∠＋30°)cosACB30°∠ACBsin30°＝

2114

.

[課時達(dá)標(biāo)檢]一、選擇題1．從處處仰角為α，B處望A處的俯角為，則α，的系()A．＞βC．＋β＝90°

B．＝βD．＋β＝180°解析：選B根題意和仰角、俯角的概念畫出草圖如下圖．知α＝β，應(yīng)選B.2．兩燈塔AB與海觀察站C的距都等于a，塔北偏東30°，B在南偏東，則A，之的距離()A.2kmC．km

B.3kmD．2akm解析：選A△中AC＝＝km，∠ACB＝90°，＝2akm.3．有一長為10m的坡，傾角為75°在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過加長坡面的方法將它的傾斜角改為30°則坡底要延長的長(單位：是)A．5B1032

22C．102D．103解析：選C如，設(shè)將坡底加長到′時，傾斜角為，eq\o\ac(△,在)ABB′中，利用正弦定理可求得BB′的長度．在△ABB中，′，∠BAB′＝75°－30°＝45°AB＝10m，由正弦定理，得103ABsin45°BB′＝＝sin30°12

22＝102(m)．∴坡底延伸102時，坡的傾斜角將變?yōu)?0°.4．一船自西向東勻速航行，上10時到達(dá)一座燈塔的偏西距塔68海里處，下午時到這座燈塔的東南方向的處則這只船的航行速度()A.

1762

海里/小時B．346海里/小時C.

1722

海里/小時D．342海里/小時PM解析：選A如所示，eq\o\ac(△,在)中，＝，sin45°sin120°683317∴＝＝346，∴v＝＝6海里小時．425.如圖甲船以每小時302海的速度向正北方向航行船按固定方向勻速直線航行當(dāng)船位于A時乙位于甲船的北偏西105°方向的B處此時兩船相距20里；當(dāng)甲船航行20分鐘到達(dá)A處，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的處，此兩船相距102海里，則乙船每小時航()33

33A．102海里C．30海

B．202海D．302海解析：選D如，連接AB，eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)AB，易知∠＝60°，1又易求得A＝3023102＝，∴△A為三角形，∴A＝102.在△AB中易知AB＝45°，∴＝400200－232031023

22

＝，∴＝2，乙船每小時航行302里．二、填空題6．某人從A處出，沿北偏東60°走33km到B處再沿正東方向行走2kmC處，則A，兩距離為________km.解析：如圖所示，由題意可知＝3，BC＝，ABC＝150°.由余弦定理，得AC＝＋－2333323cos150°49AC＝7.則，兩距為7km.答案：7．(四川高)如圖，從氣球A上得正前方的河流的兩岸BC的角分別為67°30°，此時氣球的高是46m，河流的寬度BC約________m．用四舍五入法將結(jié)果精確到個位考數(shù)據(jù)67°≈0.9267°≈0.39≈0.6037°≈0.80，3≈1.73)34

解析：過A作BC邊上的高AD，為垂足．在eq\o\ac(△,Rt)ACD中，AC＝，在△ABC中，由正弦定理，AC92得BC3sin＝3sin37°≈sin∠ABCsin67°920.92

30.6060(m)．答案：8．某船開始看見燈塔在南偏東30°向，后來船沿南偏東方向航行30n后，看見燈塔在正西方向，則這時船與燈塔的距離________mile.解析：如圖所示，B是塔，A是船的初始位置是航行后的位置，則BCAD∠DAB＝30°，∠DAC＝60°，在Rt△ACD中，DC＝sin∠＝30sin60°＝3n，AD＝cos∠＝30cos60°15mile則在eq\o\ac(△,Rt)ADB中，DB＝tan∠DAB＝15tan30°＝3nmile，則BCDCDB15－53＝3mile.答案：3三、解答題9．某地電信局信號轉(zhuǎn)播塔建在山坡上圖示，施工人員欲在山坡上A兩處測量與地面垂直的塔的，地測得塔頂C的角分別為60°45°又知AB的長為40m，斜坡與水平面成30°，求該轉(zhuǎn)播塔的高度．35

＝，＝，解：如圖所示，由題意，得∠ABC＝45°－30°，∠DAC＝60°＝30°.∴∠BAC＝150°，ACB＝15°，∴＝＝，ADC＝120°ACD＝30°，在△ACD中，由正弦定理，得sin∠CADCD＝2sin∠ADC＝

sin30°240sin120°＝

4033

(m)．403故轉(zhuǎn)播塔的高度為m.310．某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進(jìn)40m后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為30°，求高．解：設(shè)B為正東方向一點，AE塔，沿南偏西行走40m后達(dá)，即BC40，且∠CAB＝135°，∠ABC＝30°，如圖在△中，ACsin∠ABCsin∠CAB即

AC40＝，sin30°sin135°∴＝2.點ABC作垂線AG此時仰角∠最等于30°.在△ABC中，∠ACB＝180°－30°＝15°AG＝sin15°＝2sin15°＝10(3－1)．36

10－3∴＝2tan＝.3103－3即塔高為m.311．甲船在A處察到乙船在它的北偏東60°方向的B，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船速度是乙船速度的，問：甲船應(yīng)往什么方向前進(jìn)才能在最短時間內(nèi)追上乙船？此時乙船行駛多少海里？解：設(shè)甲沿直線與乙船同時到達(dá)點則，，構(gòu)一個△ABC，如圖，設(shè)乙船速度為，則甲船速度為3，到達(dá)C處時為.由題意BC＝，＝3，∠＝120°.在△ABC中，由余弦定理得AC＝＋－AB22cos120°∴vt＝＋t＋.a∴vt－－＝，得＝－舍或vt＝.2∴＝.在△ABC中＝＝，∴∠BACACB＝30°.答：甲船應(yīng)往北偏東30°的方向追乙，此時乙船行駛a海里．12．，，一條直路上的三點BC＝1，這三點分別遙望一座電視發(fā)射塔P在A處看見塔在東北方向處見塔在正東方向C處看見塔在南偏東60°方向，求塔到直路的距離．解：如圖所示，過、、分作⊥l、⊥、⊥，垂足分別為M、、.設(shè)BN，即PQ，＝2，∵＝，37

∴＝BN2，PC＝PQ＝x在△PAC中，由余弦定理得：AC＝

＋

－PA22cos75°即4＝x4x－22

6－24

，2＋3解得＝13過作⊥，足為D則線段PD的長為塔到直路的距．∵sin∠BANx，cos∠BAN＝1，∴sin∠CAP－BAN)＝PD＝sin∠＝(x＋1－)＝＋x1x

22

(＋1－)＝

8＋2313

＋

8＋235－2331313＝

8＋2328－638＋3331753＋＝＋＝53答：塔到直路的距離為km.131.2.2

正余定在角中應(yīng)三角形的面積公式[提出問題在△ABC中，若AC＝，BC＝，＝60°.問題1：△的高為多少？33提示：＝2sinC＝33sin60°＝.2問題2：△的面積為多少？38

eq\o\ac(△,S)ABC2sinCsinBeq\o\ac(△,S)ABC2sinCsinB1133提示：＝2343＝3.222問題3：若ACb，＝，發(fā)現(xiàn)的面積S可直接用ab，表嗎？1提示：能．＝sinC2[導(dǎo)入新知三角形的面積公式1(1)＝a2表a邊的高．a(chǎn)111(2)＝ab＝bcsinA＝acsin222

B.[化解疑難11三角形的面積公式＝sinC與來的面積公式S＝a2為a邊的高的系22為：h＝sinC，實質(zhì)上bsinC就是ABC中a邊的高．三角形的面積計算[例1]在ABC中，已知C＝120°，＝3，＝，eq\o\ac(△,求)的積．AB[解]由弦定理知＝，即

2321＝，以sinB＝，sin120°sinB由于ABAC所以＞，故＝30°.從而＝180°－120°－30°＝30°.所以△的面積1S＝AB22sinA21＝223222sin30°2＝3.[類題通法1．求三角形面積時，應(yīng)先根據(jù)目給出的已知條件選擇最簡便、最快捷的計算方法，這樣不僅能減少一些不必要的計算，還能使計算結(jié)果更加接近真實值．39

2eq\o\ac(△,S)ABCc＋－2a2sinAsin＝.法二：左邊＝2eq\o\ac(△,S)ABCc＋－2a2sinAsin＝.法二：左邊＝1112．事實上，在眾多公式中，最用的公式是＝absinCsinA＝acsinB，222即給出三角形的兩邊和夾(其某邊或角需求求三角形面積反過來給出三角形的面積利用上述公式也可求得相應(yīng)的邊或角，應(yīng)熟練應(yīng)用此公式．[活學(xué)活用1．在△中，若A＝60°，＝，＝3，則c＝________.eq\o\ac(△,S)ABC1解析：由已知得＝22sinA，eq\o\ac(△,S)ABC1即643＝31633sin60°，得c＝16.2答案：2．在△中，若a＝，＝2，＝，其面積等________．＋－4＋－11解析：由余弦定理得cosA＝＝，22323416所以sinA1－

315A＝，16于是

11315315＝bcA＝32343＝.22164315答案：4三角形中的恒等式證明問題a－cosBsinB[例2]在ABC中，求證：＝.b－cosAsinA＋－ba－2[證明]法：左邊＝b－2bc＝

a－＋22b－＋b2sinBsinB＝＝＝＝邊，其中為△ABC接圓的半徑．∴＝

a－cosBsinb－cosAsinAsin－sincosBsin－sincosAsin＋－Ccossin＋－Ccos40

＝.ab2abc2abc2＝.ab2abc2abc2aba＝∴

sinBcosCsin＝＝邊，(cos≠0)sinAcosCsina－2cossinBb－2cossinA[類題通法解決此類問題要用到三角形中特有的恒等變形公式要到任意角三角函數(shù)的恒等變形公式，兩者要結(jié)合，靈活運用．三角形邊和角的相互轉(zhuǎn)換公式，主要是正弦定理、余弦定理這兩個定理，因此這類題型都可用不同的途徑求解．[活學(xué)活用aBcosA在△ABC中，角，，所的邊分別為ab，c，求證：－＝－證明：由余弦定理的推論得a＋－＋c－cosB＝，cos＝，22bc代入等式右邊，得－＋－右邊＝－2－a－＝＝＝－＝左邊

.aBcos∴－＝c－

.三角形中的綜合問題[例3](浙江高考在中，內(nèi)角A，，C所對邊分別為a，，c，已知b＋＝2acos.(1)證明：＝；a(2)若△的面積S＝，角A的大小．4[解](1)證：由正弦定理得sin＋sinC＝sinA，故2sinAcosB＝sinB＋sin(A＋)＝sinB＋AcosB＋cossinB，于是sinB＝sin(－)．又，∈，π)，故0＜－＜π所以＝π－－B或＝A－，因此＝π(舍去)或A＝，所以A2Ba1a11(2)由＝得sinC＝，有sinBsinC＝sinA＝sin＝sinBcosB.4242241

因為sinB≠0，以sin＝cosB.π又，∈，π)，所以＝±.2ππ當(dāng)＋＝時＝；22ππ當(dāng)－＝時＝.24ππ綜上，＝或＝.24[類題通法]解決三角形的綜合問題除活用正弦余定理及三角形的有關(guān)知識外般還要用到三角函數(shù)、三角恒等變換、方程等知識．因此，掌握正弦、余弦定理，三角函數(shù)的公式和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．[活學(xué)活用已知是△ABC中角AC的對邊是ABC的面積若4＝＝3，求.1解：∵＝abC，21∴3＝3435sinC，2∴sinC＝

32

.而0°<C<180°于是＝60°120°.又b－2cos，∴當(dāng)＝60°，＝＋－23435cos60°21∴＝21.當(dāng)＝120°時＝＋－23435cos120°＝，∴＝61故的為2161.42

2.破解多邊形中的幾何問題1[典](12分)圖，在四邊中，＝＝AB＝1，2AB2＝，3sin∠BCD5(1)求邊BC的長；(2)求四邊形的積．[解題流程[規(guī)范解答1(1)∵＝＝＝，2→∴2＝AB|2||2cos＝[名師批注→向量數(shù)量積運算公式易用錯，在中AB和角有時誤認(rèn)為是∠，而不得分．2cos∠BAC1，1∴cos∠BAC＝，BAC＝60°.(3分)2在△ABC中，由余弦定理有：1BC＝＋－AB22cos∠BAC＝＋－232313＝，＝3.(6分2(2)由(1)知，在△ABC中有：＝＋，∴△為直角三角形，且ACB＝90°(7分43

eq\o\ac(△,S)ABCeq\o\ac(△,S)ACDeq\o\ac(△,S)ABCeq\o\ac(△,S)ACD∴

113＝BC23331＝.(8分222又∠BCDACBACD＝90°＋∠，33sin∠BCD，∴cosACD，(9分55[名師批注利用了誘導(dǎo)公式求cos∠ACD，解時對取正負(fù)號要特別注.4∴sin∠ACD＝1cos∠＝，分5∴

114＝AC22sin∠ACD＝31313＝.(11分2255∴

＝＋＝ABCDeq\o\ac(△,S)eq\o\ac(△,S)ACD

324＋3＋＝2510

.(12分)[活學(xué)活用27在△ABC中AB＝2，cosC＝，是上點AD＝，且cos757∠＝.14→→求：(1)∠的大小(2)AD2.解：(1)由已知cos∠DBC

5714

，2721cosC＝，而知∠＝，714sinC＝

217

，∴cos∠BDA＝cos(DBC∠)＝

5727212113－3＝，1471472π∴∠BDA＝.3(2)設(shè)DC，則AD＝x，＝，設(shè)BC＝，x則在△中，由正弦定理得＝，sin∠DBCsin∠BDC∴＝7.在△ABC中，由余弦定理得274＝(3)＋7)－22327x2.744

eq\o\ac(△,S)ABCABsinCcosCeq\o\ac(△,S)ABCABsinCcosC→→→解得＝，∴|AC|＝，AD|2，|BC|＝7.→∴2＝AD|2||cos(－)27＝23737

＝－4.[隨即時演練]31．已知△ABC的積為，且＝，＝3，A的大小()2A．60°或120°C．120°

B．60°D．30°或150°131解析：選A由＝bcsinA得＝32333sin，222所以sinA

32

，故＝60°120°故選A.ACcosB2．在△中，若＝，則()ABcosA．＝C．＝

B．＝D．以上都不正確ACsinBcosB解析：選C∵＝＝，∴sinBcosC＝sinC.∴sin(－C＝0.又∵－π＜－＜，∴－＝，即＝.3．等腰△ABC中頂角A＝120°，腰長AB1，則底邊BC長為________．BC1解析：易知B＝＝30°，由正弦定理知：＝，sin120°sin30°∴＝3.答案：34．三角形的兩邊分別為3cm,5cm，它們所夾角的余弦值為方程5－x－＝的，則這個三角形的面積.3解析：方程5－－6＝的根為＝，＝，53因此兩邊夾角的余弦值等于－，545

2222224并可求得正弦值為，5于是三角形面積14S＝33353＝6(cm25

)．答案：5．在△中，若B＝30°，＝3，AC＝，△ABC面積．解：∵＝3，＝2＝30°∴根據(jù)正弦定理，有1233AB2sinB23sinC＝＝＝，AC22又∵＞，∴＞，則有解，①當(dāng)為角時＝60°＝90°，1∴＝2A＝3.eq\o\ac(△,S)ABC②當(dāng)為角時＝120°，＝30°1∴＝2A＝3.eq\o\ac(△,S)ABC綜上可知，ABC的積為2或3.[課達(dá)標(biāo)檢測]一、選擇題1△中知＝＝eq\o\ac(△,，)的面積為4∠ABC＝cosθ是

)A.

35

3B．－53C．±5

4D．±51解析：選C∵＝AB2∠eq\o\ac(△,S)ABC1＝32353sinθ＝，24∴sinθ＝.53又θ∈，)cosθ＝±－sinθ＝±52．在△中，已知A＝30°，＝，b＝3，則△的面積()46

2eq\o\ac(△,S)ABCeq\o\ac(△,S)ABC122eq\o\ac(△,S)ABCeq\o\ac(△,S)ABC12A．323B．16C．323或16D323或163a解析：選D在ABC中，由正定理＝，sinAsinBbsinAsinB＝＝a

183328

＝

3，2又＞，∴B＝60°或120°.當(dāng)＝60°＝180°－30°－60°＝90°，1∴＝38383＝3；eq\o\ac(△,S)ABC當(dāng)＝120°時＝180°－30°－120°＝30°，111＝ab＝383833163.∴2223．在△中，＝60°＝，＝eq\o\ac(△,S)ABC

32

，則邊的長為

)A.3B．C.7D．解析：選A∵

13＝2A＝，22∴＝，由余弦定理可得BC＝

＋

－AB2A＝＋－232313cos60°3.即BC3.4．△ABC的長為20，面積為10，＝60°，則BC邊長等于A．5B6C．7D8

)解析：選C如，由題意得a＋＋＝，①sin60°103，②a＝＋－bccos60°.③47

2sinA82sinA8由②得bc＝40，由③得ab＋c－＝b＋)－bc＝(20－)－3340∴＝7.5．某人從出發(fā)點A向東走xm后B，向左150°向前走m到C測得△33的面積為m，此人這時離出發(fā)點的距離()4A．3mB.2mC．23D.3m1解析：選D在ABC中＝3B，2∴

331＝3333sin30°x＝3.42由余弦定理，得AC＝＋－AB33cosB＝3＋9－＝3(m)．二、空題16．△ABC的邊長分別為2,3，其夾角的余弦值為，則其外接圓的半徑為________31解析：不妨設(shè)b＝，＝，cosA＝，3則c－22cos＝，∴＝又∵sin＝1

A＝

223

，∴外接圓半徑為R＝

a392＝＝.2222392答案：87船以4的度沿著與水流方向成1的方向航行河水流速為2km/h，則經(jīng)過3h，船實際航程________km.解析：如圖所示，eq\o\ac(△,在)ACD，AC＝3，＝3，∠＝60°48

1428.1428.1∴＝1248－232343336，2∴＝，即該船實際航程為km.答案：8．在中＝＋2＝c＋，又知最大角的正弦等于

32

，則三邊長________．解析：由題意知a邊最，sinA＝

32

，∴＝120°，a＝＋－bccos.∴(－＋－(a－a－．∴9＋＝0，＝舍去，＝∴＝－＝5，c＝－＝3.答案：＝，＝，＝3三、解答題79．在△中，若c＝，＝7，邊的中線AD的長，求長.2解：∵是邊的中線，∴可設(shè)CD＝＝，則＝＝x.7∵＝，＝7，＝，277＋－在△ACD中，有cosC＝，23737＋24在△ABC中，有cosC＝，23732∴

4949＋－449＋x－＝，9解得＝∴＝＝9.2－10．在△中，角A，，C所應(yīng)的邊分別為a，，求證：＝c

sin－sinC證明：法一：由余弦定理a＝＋

－cos，b

＝＋－accosB，得b－＋(cosB－cosA，49

csinCcsinc＝.sinCsinCsinAsinBsinCsinCcsin＝2－2－csinCcsinc＝.sinCsinCsinAsinBsinCsinCcsin＝2－2－＝.即

＝(cosB－bcos)，a變形得

－cosB－cosAa＝＝cosBcos，由正弦定理＝＝ccccsinAsinsinasinAsinB得＝，＝，∴

a

－sinAB－BcossinC＝

sin－sinCsin－sincos－cossin法二：＝＝

sinAsinBcosB－cos，sinCsinCa由正弦定理＝＝，sinAasinB得：＝，＝，由余弦定理推論得，a＋－＋c－cosB＝，cos＝，22bc代入上式得sin－a＋－bb＋－sinCc22bc＝＝

a＋－＋c－222－a－2c∴原等式成立．11．全國甲卷)△的角，B，的對邊分別為a，，c，已知2cosacosB＋bcos)＝.(1)求；33(2)若＝7，△的面積為，△的周長．2解：(1)由已知及正弦定理得2cosC(sinAcos＋sincos)＝sinC，即2cosCsin(A＋)sinC，50

sinAcosBbsinBsinAcosBbsinB故2sinCC＝.1π可得cosC，所＝.23133(2)由已知得absin＝.22π又＝，所以＝6.3由已知及余弦定理得

－abcosC，故13，從而a＋)＝25.所以△的周長為57.cos－2cosC2－12．在△中，內(nèi)角，B，的邊分別為，，.已知＝.cosBbsinC(1)求的；1(2)若cosB＝，b＝，△的面積．4解：(1)由正弦定理得＝sinA，b＝RsinB，＝sin，cosA－2cosC2－a2sin－sinA所以＝＝，即sincosA2sincosC＝2sincosB－cosB，即有AB＝2sin(＋)，sinC即sin＝2sinA所以＝2.sinAcsinC(2)由(1)知：＝＝，即＝2，又因為＝2，以由余弦定理得：b＝＋asinA11－cos即2＝a＋－323解得＝1所c2.又為cos＝所以sin44B＝

1511515.故△ABC的面積為sinB31323＝.42244第課

數(shù)的項式遞公數(shù)列的遞推關(guān)系[提出問題某劇場有30排座位一有20個位第排起一排都比前一排多2個座．51

問題1：寫出前五排座位數(shù)．提示：問題2：第n排與n＋排座數(shù)有何關(guān)系？提示：第n1排比n排座位．問題3：第n排座數(shù)a與第＋1排座數(shù)能等式表示嗎？提示：能．＝a＋n[導(dǎo)入新知如果已知數(shù){的一(或前幾且任一項a與的前一項(或前幾項)間的n關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．[化解疑難1數(shù)列的遞推公式是給出數(shù)列另一重要形式遞公式可以依次求出數(shù)列的各項．2．有些數(shù)列的通