Logistic回歸的參數(shù)估計(jì)

Logistic回歸分析(LogisticRegressionAnalysis）Logistic回歸分析多重線性回歸分析的前提條件線性；獨(dú)立；正態(tài)；等方差

醫(yī)學(xué)中還常研究二分類因變量（如患病與未患病、陽性與陰性等）或多分類因變量與一組自變量（X1，X2，．．．Xm，）的關(guān)系，線性回歸分析方法就無能為力。

Logistic回歸分析Logistic回歸分析可解決:應(yīng)變量為:二分類;無序多分類;有序多分類;本次教學(xué)主要介紹應(yīng)變量為二分類的Logistic回歸分析Logistic回歸分析按設(shè)計(jì)，Logistic回歸分析分為：成組：非條件Logistic回歸分析配對(duì)：條件Logistic回歸分析Logistic回歸模型

例

為探討超重和肥胖對(duì)高血壓病的影響，2004年，某研究者采用整群抽樣的方法，對(duì)某地6個(gè)鎮(zhèn)35周歲以上的常住人口進(jìn)行高血壓普查，同時(shí)收集了身高、體重等相關(guān)信息。整理后資料見下表。目的：建立高血壓患病率與體質(zhì)指數(shù)間的數(shù)量關(guān)系模型，估計(jì)超重與肥胖對(duì)高血壓患病的風(fēng)險(xiǎn)。不同體質(zhì)指數(shù)組高血壓患病率體質(zhì)指數(shù)X調(diào)查人數(shù)患病Y=1未患病Y=0患病率（%）正常X=067921331546119.60超重或肥胖X=141481656249239.92合計(jì)109402987795327.30Logistic回歸模型因變量為二分類變量，不滿足線性回歸分析條件，首先對(duì)進(jìn)行數(shù)據(jù)變換：這個(gè)變換將取值在0-1間的值轉(zhuǎn)換為值域在（）的值。建立與X的線性模型：

或

Logistic回歸模型求解

右端在數(shù)學(xué)上屬于Logistic函數(shù)，所以稱其為Logistic回歸模型。Logistic回歸模型若自變量擴(kuò)展到個(gè)P個(gè)，（X1，X2，．．．XP，），則多個(gè)自變量的回歸模型為模型參數(shù)的意義

Β0：常數(shù)項(xiàng)（截距），表示模型中所有自變量均為0時(shí)，的值；β1，β2、．．．βP：回歸系數(shù)，表示在控制其他自變量時(shí)，自變量變化一個(gè)單位所引起的改變量。模型參數(shù)的意義由于模型參數(shù)的意義例中“超重或肥胖”組（X=1）患高血壓的優(yōu)勢為：“正?！苯M（X=0）患高血壓的優(yōu)勢為：兩組的優(yōu)勢比(oddsratio,OR)為：模型參數(shù)的意義一般地，根據(jù)多個(gè)自變量的回歸模型，在其他變量取值不變的情形下，與變量Xj的二個(gè)水平C1與C2（C2>C1）相對(duì)應(yīng)的事件的優(yōu)勢比為：當(dāng)XJ的二個(gè)水平相差1個(gè)單位時(shí)，模型參數(shù)的意義Logistic回歸分析廣泛用于流行病學(xué)中前瞻性的隊(duì)列研究、回顧性的病例-對(duì)照研究以及現(xiàn)況研究。當(dāng)變量Xj的回歸系數(shù)Βj>0時(shí)，Xj增加1個(gè)單位后與增加前相比，事件的優(yōu)勢比ORj>1，表明Xj為危險(xiǎn)因素；Βj<0時(shí)，Xj增加1個(gè)單位后與增加前相比，事件的優(yōu)勢比ORj<1，表明Xj

為保護(hù)因素；Βj=0，Xj增加1個(gè)單位后與增加前相比，事件的優(yōu)勢比，ORj=1,表明Xj對(duì)結(jié)果變量不起作用。Logistic回歸的參數(shù)估計(jì)Logistic回歸模型中的參數(shù)β1，β2、…βP需要通過樣本資料，按照一定方法進(jìn)行估計(jì)，估計(jì)量記為b1，b2、…bP。參數(shù)估計(jì)方法有多種，極大似然估計(jì)（MLE）最為常用Logistic回歸的參數(shù)估計(jì)極大似然估計(jì)基本思想選擇能有最大概率獲得當(dāng)前樣本的參數(shù)值作為參數(shù)的估計(jì)值。Logistic回歸的參數(shù)估計(jì)假設(shè)n例觀察對(duì)象彼此獨(dú)立，其自變量為，因變量為Yi（0-1變量），。對(duì)于第i個(gè)體，給定Ｘi時(shí)，出現(xiàn)觀察結(jié)果Yi的概率為：Logistic回歸的參數(shù)估計(jì)對(duì)于n個(gè)獨(dú)立個(gè)體，給定自變量時(shí)，出現(xiàn)當(dāng)前觀察結(jié)果的概率為上述n個(gè)概率的乘積Logistic回歸的參數(shù)估計(jì)上式為似然函數(shù)(likelihoodfunction)，記為L。求解β0，