現(xiàn)代控制工程-第7章最優(yōu)控制

第7章最優(yōu)控制教材：王萬良，現(xiàn)代控制工程，高等教育出版社，2011如果系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，則總可以設計一個狀態(tài)反饋矩陣，使系統(tǒng)的閉環(huán)極點等于期望極點，以達到預期的動態(tài)特性要求。在實際控制問題中，常常希望在控制過程中使一些指標最小，或者最大。例如，控制過程中，要求系統(tǒng)消耗的能量最少、時間最少等，或者達到最大的產(chǎn)量、最好的經(jīng)濟效益等。最優(yōu)控制是控制系統(tǒng)設計的一種方法，它研究的中心問題是如何選擇控制信號，使控制系統(tǒng)的性能在某種意義上是最優(yōu)的。下面首先介紹最優(yōu)控制的概念，然后介紹用變分法求解最優(yōu)控制問題的方法，和龐德里亞金的極小值原理，最后著重討論線性二次型最優(yōu)控制問題。第7章最優(yōu)控制2第7章最優(yōu)控制7.1最優(yōu)控制的概念7.2變分法與泛函的極值條件7.3變分法求解無約束最優(yōu)控制問題7.4極小值原理7.5線性二次型最優(yōu)控制37.1最優(yōu)控制的概念設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為最優(yōu)性能指標所謂最優(yōu)控制，就是要確定在中的最優(yōu)控制，將系統(tǒng)的狀態(tài)從轉(zhuǎn)移到，或者的一個集合，并使性能指標最優(yōu)。最優(yōu)控制問題從數(shù)學上看，就是求解一類帶有約束條件的條件泛函極值問題，可以用變分法求解。工程中很多控制問題的控制信號是受限制的，例如，任何系統(tǒng)中能夠得到的燃料、電壓、允許的溫度等都是有限制的，不可能取任意大的值?？刂菩盘柺芟薜淖顑?yōu)控制問題不能用變分法求解，而需要用龐德里亞金極小值原理或者貝爾曼的動態(tài)規(guī)劃求解。41.泛函的概念如果對于自變量t，存在一類函數(shù)，對于每個函數(shù)，有一個值與之對應，則變量稱為依賴于函數(shù)的泛函數(shù)，簡稱為泛函，記作。如果泛函滿足下列關系，則泛函是線性泛函。7.2變分法與泛函的極值條件2.泛函的變分泛函的變量的變分，定義為，其中，為一標稱函數(shù)（即最優(yōu)控制中的最優(yōu)軌線），為鄰域內(nèi)與屬于同一函數(shù)類的某一函數(shù)。57.2變分法與泛函的極值條件如果泛函的增量可以表示為其中，是的線性泛函，且當時，則線性泛函稱為泛函的變分（一階變分），記作。由變分的定義可以看出，泛函的變分是一種線性映射，它的運算規(guī)則類似于函數(shù)的線性運算，有如下的變分規(guī)則：63.泛函的極值若泛函在附近的任一曲線上的值不小于，即，則泛函在曲線上達到極小值。泛函在曲線上達到極小值的必要條件為（證明略）7.2變分法與泛函的極值條件在實際問題中，泛函極值問題的最優(yōu)軌線通常是受到各種約束的。例如，最優(yōu)控制性能指標（7.2）中的u和x的選擇，要滿足狀態(tài)方程（7.1），這是一個等式約束。在等式約束下的泛函極值問題，稱為條件泛函極值問題。用拉格朗日乘子法將條件泛函極值問題轉(zhuǎn)化為無約束條件極值問題。最優(yōu)控制問題就是一類帶有約束條件的條件泛函極值問題。7*7.3變分法求解無約束最優(yōu)控制問題設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為性能指標為上面的最優(yōu)控制問題中，因為對控制變量沒有約束，所以通常稱為無約束最優(yōu)控制問題。無約束最優(yōu)控制問題是一個求有等式約束的泛函極值問題，可以用拉格朗日乘子法把有約束條件問題轉(zhuǎn)化為無約束條件問題。構造增廣泛函為構造哈密頓函數(shù)為則增廣泛函為設初始時刻及其狀態(tài)給定為。根據(jù)終端狀態(tài)邊界條件，可按以下幾種情況討論。8*7.3變分法求解無約束最優(yōu)控制問題1.給定，終端自由，即任意增廣泛函為取一階變分并令其為零，得由于9*7.3變分法求解無約束最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制問題（7.7），（7.8）取極值的必要條件為狀態(tài)方程伴隨方程控制方程橫截條件聯(lián)立求解上述正則方程和控制方程，就可求得性能指標達到極值時的最優(yōu)控制、最優(yōu)狀態(tài)軌線及最優(yōu)協(xié)態(tài)軌線。10*7.3變分法求解無約束最優(yōu)控制問題例7.1已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為初始條件為性能指標解本題為給定、終端自由的最優(yōu)控制問題。由于控制變量不受約束，所以，可以用變分法求解。構造哈密頓函數(shù)為由伴隨方程得因此，常數(shù)。由橫截條件得由控制方程得即代入狀態(tài)方程，得上面這個微分方程的解為11*7.3變分法求解無約束最優(yōu)控制問題當時，有最優(yōu)控制為最優(yōu)性能指標為12*7.3變分法求解無約束最優(yōu)控制問題2.給定，終端約束設終端約束為構造增廣泛函為對增廣泛函取一階變分并令其為零，經(jīng)過與上面類似的推導，得13*7.3變分法求解無約束最優(yōu)控制問題最優(yōu)控制問題（7.7），（7.8）取極值的必要條件為狀態(tài)方程伴隨方程控制方程橫截條件聯(lián)立求解上述方程，就可求得性能指標達到極值時的最優(yōu)控制、最優(yōu)狀態(tài)軌線及最優(yōu)協(xié)態(tài)軌線。邊界條件14*7.3變分法求解無約束最優(yōu)控制問題例7.2已知系統(tǒng)初始條件為性能指標解本題為給定、終端受約束的最優(yōu)控制問題。由于控制變量不受約束，所以，可以用變分法求解。構造哈密頓函數(shù)為由于終端約束條件為15所以*7.3變分法求解無約束最優(yōu)控制問題由初始條件得因為由橫截條件得將和代入上式，得16*7.3變分法求解無約束最優(yōu)控制問題求解以作為未知數(shù)的聯(lián)立方程組

可得則所求最優(yōu)控制為17*7.4極小值原理利用變分法求解最優(yōu)控制問題時，要使極值條件有意義，需要假定控制是不受約束的，其變分是任意的。因此，在無約束最優(yōu)控制問題中，要求控制變量不受任何限制，但是，在實際控制工程中，控制變量往往受到一定限制。例如，電動機的轉(zhuǎn)矩、閥門開度等都有上限。控制變量只能在某個有界的閉域里取值。控制變量受到限制時的最優(yōu)控制問題，通常稱為有約束最優(yōu)控制問題。對于有約束最優(yōu)控制問題，不能應用變分法求解，而需要采用本節(jié)所介紹的極小值原理求解。極小值原理是由前蘇聯(lián)學者龐德里亞金1956年提出的。由于極大和極小可以認為只差一個負號，所以龐德里亞金極小值原理又稱為極大值原理。由于極小值原理是由變分法引申而來，因此，它的結論與變分法的結果有許多相似之處。但由于它能求解控制變量受到邊界限制的最優(yōu)控制問題，并且不要求哈密頓函數(shù)對控制量可微，所以獲得了廣泛的應用。18設系統(tǒng)的狀態(tài)方程為7.4.1連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理不等式約束為要求終端狀態(tài)滿足等式約束性能指標為則最優(yōu)控制、最優(yōu)軌跡和最優(yōu)伴隨向量必須滿足下列條件：設哈密頓函數(shù)為（1）沿最優(yōu)軌線滿足正則方程（2）橫截條件和邊界條件（3）在最優(yōu)軌跡上與最優(yōu)控制相對應的函數(shù)取絕對極小值，即197.4.1連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理例7.4已知系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：初始狀態(tài)和終端狀態(tài)分別為控制量受到不等式的約束求最優(yōu)控制，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)的時間最短。解這是最短時間的最優(yōu)控制問題，因此，系統(tǒng)的性能指標為解得207.4.1連續(xù)系統(tǒng)的極小值原理由于控制是受約束的，所以要用極小值原理求解。哈密頓函數(shù)為由于，當并且的符號與相反時，可使H為最小，所以最優(yōu)控制為217.4.2離散系統(tǒng)的極小值原理求解離散系統(tǒng)的最優(yōu)控制的方法，與上述連續(xù)系統(tǒng)的方法相似。離散系統(tǒng)極小值原理與連續(xù)系統(tǒng)極小值原理的對應關系如表7.2所示。227.5線性二次型最優(yōu)控制在最優(yōu)控制問題中，若系統(tǒng)是線性的，且性能指標為二次型函數(shù)，則稱為線性二次型調(diào)節(jié)器問題，簡稱LQR(LinearQuadraticRegulator)問題。由于二次型性能指標具有鮮明的物理意義，代表了大量工程實際問題中提出的性能指標要求，并且在數(shù)學上容易處理，而且可以得到線性狀態(tài)反饋的最優(yōu)控制律，易于工程實現(xiàn)，因而在實際工程問題中得到了廣泛的應用。237.5.1線性二次型最優(yōu)控制問題設線性系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的最優(yōu)控制的性能指標為狀態(tài)向量和控制向量的二次型函數(shù)上述問題稱為線性二次型最優(yōu)控制問題。線性二次型調(diào)節(jié)器問題的提法具有普遍的意義。例如，在化工過程控制中，給定一個設計的操作工況，希望設計一個控制系統(tǒng)，使生產(chǎn)過程恒定在該工況下，這就是所謂的定值調(diào)節(jié)系統(tǒng)。LQR調(diào)節(jié)器問題的物理概念與定值調(diào)節(jié)的概念是一致的，若系統(tǒng)受外界擾動，偏離平衡點(不失一般性，可假定平衡點為零狀態(tài))到某一初始狀態(tài)，LQR調(diào)節(jié)器問題就是設計一控制律使系統(tǒng)狀態(tài)回到零狀態(tài)附近，并滿足二次型目標函數(shù)為最小。247.5.2連續(xù)系統(tǒng)有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器定理：設線性時變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為二次型性能指標為則最優(yōu)控制存在且唯一，并由下式確定25例7.6設被控系統(tǒng)為

7.5.2連續(xù)系統(tǒng)有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器性能指標為求系統(tǒng)的最優(yōu)控制律。解設正定對稱矩陣滿足黎卡提矩陣微分方程：26得到下列線性代數(shù)方程組：7.5.2連續(xù)系統(tǒng)有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器

利用計算機解上述微分方程，可以得到從到的的值，從而得到最優(yōu)控制為由于狀態(tài)反饋系數(shù)是時變的，所以在設計最優(yōu)控制系統(tǒng)時需要先求出和的值，并存儲在計算機中，在控制時再取出所需要的和的值。277.5.3連續(xù)系統(tǒng)無限時間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器設線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程為設系統(tǒng)完全可控，狀態(tài)向量，控制向量不受約束，性能指標為則最優(yōu)控制存在且唯一，并由下式確定其中，K為正定對稱矩陣，是下列黎卡提矩陣代數(shù)方程的唯一解而最優(yōu)狀態(tài)則是下列線性微分方程的解性能指標的最小值為28例7.7設7.5.3連續(xù)系統(tǒng)無限時間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器確定最優(yōu)控制。解系統(tǒng)可控性判別矩陣為所以，系統(tǒng)完全可控。設K矩陣為由矩陣K是正定的要求得即將K代入黎卡提矩陣代數(shù)方程，得29系統(tǒng)的最優(yōu)控制為7.5.3連續(xù)系統(tǒng)無限時間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器解得30設線性離散系統(tǒng)的狀態(tài)方程為7.5.4線性離散系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)器1.有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器有限時間狀態(tài)調(diào)節(jié)器的二次型性能指標為最優(yōu)控制規(guī)律為31離散系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)器的結構圖如圖7.5所示。7.5.4線性離散系統(tǒng)狀態(tài)調(diào)節(jié)器327.5.4線性