第8章 平面連桿機構及其設計

連桿機構及其特點平面連桿機構的類型及應用平面連桿機構的基本知識平面四桿機構的設計本章教學內容本章教學要求◆了解平面連桿機構的組成及其主要優(yōu)缺點;◆了解平面連桿機構的基本形式及其演化和應用；◆明確四桿機構曲柄存在條件和機構急回運動及行程速比系數等概念；◆對傳動角、死點、運動連續(xù)性等有明確的概念；

◆了解平面四桿機構設計的基本問題，掌握根據具體設計條件和實際需要設計平面四桿機構的方法。重點：曲柄存在條件、傳動角、死點、急回運動、行程速比系數；平面四桿機構設計的一些基本方法。難點：平面四桿機構最小傳動角的確定；平面鉸鏈四桿機構運動連續(xù)性的判斷；根據已知條件設計平面四桿機構。第八章平面連桿機構及其設計§8-1連桿機構及其傳動特點

一.連桿機構共同特點——原動件通過不與機架相連的中間構件傳遞到從動件上。連桿機構由若干個構件通過低副連接而組成，又稱為低副機構。不與機架相連的中間構件

——連桿（Linkage）具有連桿的機構——連桿機構連桿機構根據各構件間的相對運動是平面還是空間運動分為空間連桿機構平面連桿機構優(yōu)點：①連桿機構為低副機構，運動副為面接觸，壓強小，承載能力大，耐沖擊；②運動副元素的幾何形狀多為平面或圓柱面，便于加工制造；③在原動件運動規(guī)律不變情況下，通過改變各構件的相對長度可以使從動件得到不同的運動規(guī)律；④可以連桿曲線可以滿足不同運動軌跡的設計要求。缺點：①由于運動積累誤差較大，因而影響傳動精度；②由于慣性力不好平衡而不適于高速傳動；③設計方法比較復雜。二、連桿機構的特點§8-2平面四桿機構的類型和應用四桿機構各部分的名稱：構件機架相對固定連架桿曲柄搖桿整周回轉往復擺動連桿平面運動轉動副整周回轉往復擺動周轉副擺轉副機構命名：原動件名+輸出構件名（也可以幾何特點命名）一、全轉動副四桿機構（鉸鏈四桿機構）——基本型式1.

曲柄搖桿機構

(Crank-RockerMechanism)

鉸鏈四桿機構中，若其兩個連架桿一為曲柄，一為搖桿，則此四桿機構稱為曲柄搖桿機構。功能：連續(xù)轉動往復擺動ABCD3214應用實例：飛機起落架機構縫紉機腳踏板機構雷達天線俯仰機構抽油機機構應用實例：攪拌機構拉膠片機構剪板機

碎石機

2.

雙曲柄機構

(Double-CrankMechanism) ——兩個連架桿都是曲柄的鉸鏈四桿機構功能：連續(xù)轉動連續(xù)轉動平行四邊形機構特性：▲兩曲柄同速同向轉動▲連桿作平動特例：若機構中相對兩桿平行且相等，則成為平面四邊形機構。ABCD3214應用實例：慣性篩機構機車車輪聯動機構應用實例播種機料斗機構升降車臺燈伸展機構升降機構車門開閉機構應用實例——逆平行（反平行）四邊形機構（兩相對桿長相等但不平行的雙曲柄機構）3.

雙搖桿機構(Double-RockerMechanism) ——兩個連架桿都是搖桿的鉸鏈四桿機構功能：往復擺動往復擺動特例：等腰梯形機構——兩搖桿長度相等的雙搖桿機構汽車前輪轉向機構ABCD3214應用實例：飛機起落架機構圖-22M重型轟炸機前起落架鶴式起重機應用實例：推土機鏟斗機構電風扇搖頭機構低副運動的可逆性：在低副機構中，取不同構件作為機架時，任意兩個構件間的相對運動關系不變。構件2為機架——曲柄搖桿機構構件4為機架——曲柄搖桿機構構件1為機架——雙曲柄機構構件3為機架——雙搖桿機構ABCD3214雙曲柄機構ABCD3214雙搖桿機構ABCD3214曲柄搖桿機構二、含有一個移動副的四桿機構——演化型式I變搖桿為滑塊曲柄搖桿機構偏置曲柄滑塊機構對心曲柄滑塊機構曲線導軌曲柄滑塊機構搖桿尺寸為無窮大e=01.

曲柄滑塊機構

(Slider-CrankMechanism)ABC3214對心(radial)曲柄滑塊機構ABC3214偏置

(offset)曲柄滑塊機構功能：連續(xù)轉動往復移動應用實例：壓力機雨傘發(fā)動機車門開閉機構ABC3汽缸2車門14應用實例：空氣壓縮機應用實例：送料裝置篩分機2.

導桿機構

(Crank-ShaperMechanism)ABC3214導桿★擺動導桿機構——導桿只能在一定的角度內擺動★回轉導桿機構——導桿能作整周轉動功能連續(xù)轉動往復擺動連續(xù)轉動連續(xù)轉動應用實例回轉柱塞泵早期的飛機發(fā)動機牛頭刨床3.

曲柄搖塊機構(Rock-SliderMechanism)功能：連續(xù)轉動往復擺動ABC3214搖塊應用實例自卸車4.

直動導桿機構

(Fixed-SliderMechanism)ABC3214直動導桿定塊功能：往復擺動往復移動應用實例手動抽水機爐門送料裝置ABC3214三、含有兩個移動副的四桿機構——演化型式II對心曲柄滑塊機構變連桿為滑塊正弦機構雙滑塊機構從動件3的位移與原動件1的轉角成正比：移動副可認為是回轉中心在無窮遠處的轉動副演化而來連桿尺寸為無窮大1.

正弦機構AB123AB123從動件3的位移與原動件1的轉角成正比應用實例壓縮機縫紉機進針機構2.

雙滑塊機構AB123AB123AB123(x,y)應用實例橢圓儀3.

雙轉塊機構AB123AB123AB123應用實例十字滑塊聯軸器平面四桿機構的演化方式1、改變構件的形狀和相對尺寸：轉動副移動副對心曲柄滑塊機構變連桿為滑塊雙滑塊機構ABC3214搖塊ABC3214導桿偏心輪機構曲柄滑塊機構2、改變運動副的尺寸：曲柄偏心輪擴大轉動副B的半徑超過曲柄長轉動副B的半徑擴大超過曲柄長3、選用不同構件為機架——倒置法機構的倒置：選運動鏈中不同的構件作機架以獲得不同機構的演化方法稱為機構的倒置。ABC3214曲柄滑塊機構ABC3214導桿導桿機構ABC3214搖塊曲柄搖塊機構§8-3有關平面四桿機構的基本性質運動特性1.曲柄存在條件2.急回特性3.運動連續(xù)性動力特性1.壓力角、傳動角2.死點一、鉸鏈四桿機構曲柄存在的條件——Grashoff定理曲柄搖桿機構雙曲柄機構雙搖桿機構若1和4能繞A整周相對轉動，則存在兩個特殊位置，B1、B2點為形成周轉副的關鍵點。

a+d≤b+c(1)b<c+d-a即a+b≤c+d(2)c<b+d-a即a+c≤b+d(3)(1)+(2)得a≤c(1)+(3)得a≤b(2)+(3)得a≤d由此可見，兩構件作整周相對轉動的條件：（1）此兩構件中必有一構件為運動鏈中的最短構件。（2）最短構件與最長構件的長度之和小于等于其它兩構件長度之和。ABCDabcdB1C1B2C2◆周轉副的條件：1)任意三桿長度之和第四桿長；l1+l2+l3

l42)最短桿長度+最長桿長度其余兩桿長度之和——桿長條件lmin+lmax

l4+l3

最短桿兩端的轉動副均為周轉副；其余轉動副為擺轉副。3)連架桿或機架中必有一桿是最短桿?！羟嬖跅l件：

當鉸鏈四桿機構滿足桿長條件時，討論1）最短桿的鄰邊桿為機架時ABCD3214——曲柄搖桿機構3）最短桿的對邊桿為機架時l1+l2+l3

l4?lmin+lmax

l4+l3?Y非機構N有兩個周轉副Y雙搖桿機構Nlmin為機架?lmin鄰邊為機架?NN小結Y雙曲柄機構曲柄搖桿機構Y——雙搖桿機構ABCD32142）最短桿為機架時——雙曲柄機構（含平行四邊形機構）ABCD3214

當鉸鏈四桿機構不滿足桿長條件時——雙搖桿機構（無周轉副）erlABCD例：偏置曲柄滑塊機構有曲柄的條件。解1：lmin=r；lmax=CD+e解2：AD連線為機架方向，故B1、B2為r成為曲柄的關鍵點，所以B1C1B2C2lr+elr-e思考：對心曲柄滑塊機構有曲柄的條件？二、急回運動特性(Quickreturnproperty)

1.概念極位夾角——當輸出構件在兩極位時，原動件所處兩個位置之間所夾的銳角。極位——輸出構件的極限位置擺角φ——兩極限位置所夾的銳角原動件作勻速轉動，從動件作往復運動的機構，從動件正行程的平均速度慢于反行程的平均速度的現象——急回運動(Quick-return)2.急回運動

急回運動機理

急回作用具有方向性,當原動件的回轉方向改變時,急回的行程也隨之改變。注意！a)曲柄轉過搖桿上C點擺過：所用時間：b)曲柄轉過搖桿上C點擺過：所用時間：c)設兩過程的平均速度為V1、V2：回程速度大于正行程速度。3.行程速比系數K為表明急回運動程度，用行程速度變化系數K(timeratio)來衡量，作為機構的基本運動特征參數。定義為反正行程速度比，即或：討論：當θ≠0時，機構具有急回運動特性；θK，急回運動特性愈顯著。

對心曲柄滑塊機構θ=0，K=1，無急回運動偏置曲柄滑塊機構

θ0，K1，有急回運動例：曲柄滑塊機構擺動導桿機構θ0，K1，有急回運動急回運動特性的應用三、四桿機構的壓力角與傳動角壓力角與傳動角壓力角

(Pressureangle)——不考慮摩擦時，機構輸出構件上作用的力F與該力作用點的絕對速度方向所夾的銳角。

傳動角

(Transmissionangle)——壓力角的余角機構常用傳動角大小及變化來衡量機構傳力性能的好壞。()F機構傳動越有利一般要求：DCBFVCDBCF2.最小傳動角的位置連接BD，在ABD中：——曲柄搖桿機構ABCDcbadFVC在BCD中：若此式為極值，則需取極值，即故當<90o時：=min=min當>90o時：min=180o-max結論：當=0o或180o時，有min=min{min

，(180o-max)}曲柄與機架共線時，出現最小傳動角。vcABC12FFvB3B123AC例：標出機構在圖示位置的壓力角與傳動角FB132Cv四、死點(Deadpoint)——機構傳動角γ=0o(α=90o)的位置當機構處于死點位置時，整個機構無法運動，但在外界微小擾動力的作用下，會出現運動不確定現象。以往復運動構件為主動件的機構，通常存在死點。FBVB1C234ABDabcd=90FBVBC1234ABD當輸出構件與連桿共線時，機構出現死點。

特別注意：

機構有無死點與原動件選取有關曲柄滑塊機構的死點位置曲柄搖桿機構的死點位置1、死點位置

2、機構通過死點采取的措施

對于傳動機構來講，死點是不利的，應采取措施使機構能順利通過死點位置。

利用慣性B2C2踏板縫紉機主運動機構腳AB1C1D——縫紉機腳踏板機構

使各組機構的死點相互錯開排列——機車車輪聯動機構3、死點的利用工程實踐中，常利用死點來實現特定的工作要求。飛機起落架機構AB1C1DB2C2地面工件夾緊機構注意！

機構不能運動的三種情況的區(qū)別：——死點、自鎖、F0死點——

不計摩擦時，機構傳動角γ=0o(α=90o)的特 殊位置。利用慣性或其它方法，機構可以通過該位置。自鎖——計入摩擦時，驅動力方向滿足一定幾何條件而使機 構無法運動的現象，具有方向性。F0——運動鏈為桁架。五．鉸鏈四桿機構的運動連續(xù)性1.運動連續(xù)性——當主動件連續(xù)運動時，從動件能否連續(xù)實現給定的各個位置的運動。2.可行域

——當曲柄AB連續(xù)轉動時，搖桿CD的擺動范圍或3.不可行域——由δ和δ'所決定的范圍可行域不可行域可行域不可行域運動不連續(xù)問題有：錯位不連續(xù)錯序不連續(xù)4.錯位不連續(xù)——不連通的兩個可行域內的運動不連續(xù)。1C234ABDC1C2鉸鏈四桿機構裝配模式C4C3φC″ADBφB1C1C2ADC′B2B不連通域5.錯序不連續(xù)——原動件按同一方向連續(xù)轉動時，連桿不能按順序通過給定的各個位置1C2234AB3DC1C3B1B2圖中，要求連桿依次占據B1C1、B2C2、B3C3，當AB沿逆時針轉動可以滿足要求，但沿順時針轉動，則不能滿足連桿預期的次序要求?！q鏈四桿機構的運動連續(xù)性小結▲曲柄存在條件lmin+lmax

l4+l3連架桿或機架中有一桿是最短桿▲急回特性及行程速比系數或：▲四桿機構傳動角、壓力角及死點()F機構傳動越有利曲柄與機架共線時，出現最小傳動角錯位不連續(xù)錯序不連續(xù)§8-4平面四桿機構的設計一、平面連桿設計的基本問題1.平面連桿機構設計的基本任務根據給定的設計要求選定機構型式；確定各構件尺寸，并要滿足結構條件、動力條件和運動連續(xù)條件等。2.平面連桿機構設計的三大類基本命題滿足預定運動的規(guī)律要求滿足預定的連桿位置要求滿足預定的軌跡要求（1）滿足預定運動的規(guī)律要求要求兩連架桿的轉角能夠滿足預定的對應位置關系；要求在原動件運動規(guī)律一定的條件下，從動件能夠準確地或近似地滿足預定的運動規(guī)律要求。滿足兩連架桿轉角的預定對應位置關系要求的機構示例——車門開閉機構設計時要求兩連架桿的轉角應大小相等，方向相反，以實現車門的起閉滿足預定運動的規(guī)律要求機構示例——對數計算機構近似再現函數y=logx的平面四桿機構（2）滿足預定的連桿位置要求設計時要求連桿能依次占據一系列的預定位置。(又稱為導引機構的設計

)機構示例——飛機起落架機構設計時要求機輪在放下和收起時連桿BC占據圖示的兩個共線位置。

（3）滿足預定的軌跡要求設計時要求在機構運動過程中，連桿上某點能實現預定的軌跡。(又稱為軌跡生成機構的設計)機構示例——鶴式起重機機構示例——攪拌機機構3.設計方法:1）解析法2）圖解法

3）實驗法二、用圖解法設計四桿機構

1.按給定的行程速比系數K設計四桿機構——實現給定運動要求2.按連桿預定位置設計四桿機構——實現給定連桿位置（軌跡）要求3.按兩連架桿預定的對應位置設計四桿機構——實現給定連架桿位置（軌跡）要求

1.

按給定的行程速比系數K設計四桿機構◆曲柄搖桿機構設計要求：已知搖桿的長度CD、擺角及行程速比系數K。

設計過程：計算極位夾角：選定機構比例尺，作出極位圖：GF(除弧FG以外)IMN90o-C1C2DPB1B2A聯C1C2，過C2

作C1M

C1C2

；另過C1作C2C1N=90-

射線C1N，交C1M于P點；以C1P

為直徑作圓I，則該圓上任一點均可作為A鉸鏈，有無窮多解。設曲柄長度為a，連桿長度為b，則:C2B2C1B1IGFC1C2DB1B2A——錯位不連續(xù)問題A鉸鏈不能選定在FG弧段不連通域90o-PAE2aIIOaObIC1C2D欲得確定解，則需附加條件：(1)給定機架長度d；(2)給定曲柄長度a；(3)給定連桿長度b(1)給定機架長度d的解：(2)給定曲柄長度a的解：作圖步驟：證明(3)給定連桿長度b的解：I90o-PIIIE2bAC1C2DOaOb作圖步驟：證明：◆曲柄滑塊機構已知條件：滑塊行程H、偏距e和行程速比系數K設計過程：IMN90o-PB1B2AC1C2有無窮多解設曲柄長度為a，連桿長度為b，則:◆擺動導桿機構對于擺動導桿機構,由于其導桿的擺角φ

剛好等于其極位夾角θ，因此，只要給定曲柄長度LAB

(或給定機架長度LAD)和行程速比系數K就可以求得機構。分析：由于θ與導桿擺角φ相等，設計此機構時，僅需要確定曲柄a。計算θ＝180(K-1)/(K+1)；任選D作∠mDn＝φ＝θ取A點，使得AD=d,則:a=dsin(φ/2)已知：機架長度d，K，設計此機構。φ=θmndADθφ=θBADB2.

按連桿預定位置設計四桿機構已知連桿上兩活動鉸鏈的中心B、C位置（即已知LBC）已知機架上固定鉸鏈的中心A、D位置（即已知LAD）已知連桿在運動過程中的兩個位置B1C1、B2C2

，設計四桿機構已知連桿上在運動過程中的三個位置B1C1、B2C2

、B3C3，設計四桿機構。已知連桿在運動過程中的兩個位置E1F1

、

E2F2

，設計四桿機構已知連桿上在運動過程中的三個位置E1F1、E2F2、E3F3

，設計四桿機構已知連桿上兩活動鉸鏈的中心B、C位置（即已知LBC）已知連桿在運動過程中的兩個位置B1C1、B2C2

，設計四桿機構c12設計步驟：b12設計分析：鉸鏈Ｂ和Ｃ位置已知，固定鉸鏈Ａ和Ｄ未知。鉸鏈Ｂ和Ｃ軌跡為圓弧，其圓心分別為點Ａ和Ｄ。Ａ和Ｄ分別在B1B２和C1C２的垂直平分線上。DAB1C1C2B2聯B1B２，作垂直平分線b12鉸鏈Ａ聯C1C２，作垂直平分線c12鉸鏈D有無窮多解c23b23已知連桿上在運動過程中的三個位置B1C1、B2C2

、B3C3，設計四桿機構。b12c12AB1C1C2B2B3C3D唯一解已知機架上固定鉸鏈的中心A、D位置（即已知LAD）已知連桿在運動過程中的兩個位置E1F1

、

E2F2

，設計四桿機構ADE1F1E2F2設計方法——采用轉化機構法(或反轉法)轉化機構法或反轉法——根據機構的倒置理論，通過取不同構件為機架，將活動鉸鏈位置的求解轉化為固定鉸鏈的求解設計四桿機構的方法。C2B2B2C21212AB1C1DAB1C1D1212A′D′轉化機構法(或反轉法)原理：其原理與取不同構件為機架的演化方法（稱為“機構倒置”原理）完全相同，即相對運動不變原理。當給整個機構加一個共同的運動時，雖然各構件的絕對運動改變了，但是各構件之間的相對運動并不發(fā)生變化，亦即各構件的相對尺寸不發(fā)生改變。

對轉化后的機構進行設計與對原機構設計的結果是完全一樣的，這樣就可以將活動鉸鏈位置的求解問題轉化為固定鉸鏈的求解問題。

以連桿為相對機架的情況A′D′B2C2E2F2以連桿上任一線為相對機架的情況所得結果與以連桿為相對機架時相同，故設計時可以連桿上任意線為相對機架進行，結果相同。AB1C1DA′D′1212C1B1ADE1F1E2F2A′D′已知連桿在運動過程中的兩個位置E1F1

、

E2F2

，設計四桿機構——轉化機構法(或反轉法)的應用有無窮多解ADE1F1已知連桿上在運動過程中的三個位置E1F1、E2F2、E3F3

，設計四桿機構E2F2E3F3A’2D’2A’3D’3C1B1唯一解反轉法或轉化機構法的具體作圖方法——為了不改變反轉前后機構的相對運動，作圖時將原機構每一位置的各構件之間的相對位置視為剛性體；用作全等四邊形或全等三角形的方法，求出轉化后機構的各構件的相對位置。這一方法又稱為“剛化——反轉法”。反轉作圖法只限于求解兩位置或三位置的設計問題

3.

按兩連架桿預定的對應位置設計四桿機構設計方法——采用轉化機構法(或反轉法)B2C2AB1C1D1212以連架桿為相對機架按兩連架桿兩個對應位置設計四桿機構按兩連架桿三個對應位置設計四桿機構設計問題：12B2A按兩連架桿兩個對應位置設計四桿機構已知：機架長度LAD=d

兩連架桿對應轉角12、12

。設計：四桿機構12ld12121221B1B2C1B2′-12ADd有無窮多解按兩連架桿三個對應位置設計四桿機構C1B3'_B2'B1ADC1C2C3請求出B1討論：1、哪個構件應成為相對機架？2

、反轉角為哪個？_E3E2B1ADB2B3E1已知：機架長度LAD、一連架桿長度

LAB及其起始位置、兩連架桿對應轉角12、12

、13、13

。設計四桿機構四桿機構及其特點平面四桿機構的類型平面四桿機構的基本性質平面四桿機構有曲柄的條件急回運動四桿機構傳動角及壓力角鉸鏈四桿機構的運動連續(xù)性平面四桿機構的設計

▲平面連桿機構設計的基本問題

▲設計方法：解析法、圖解法、實驗法基本型式演化型式小結重點

三．用解析法設計四桿機構

建立解析關系式——求解所需的機構尺度參數

1.按預定的運動規(guī)律設計四桿機構（1）按預定的兩連架桿對應位置設計四桿機構已知設計要求：從動件3和主動件1的轉角之間滿足一系列對應位置關系分析：設計參數——桿長a,b,c,d和0、0

令a/a=1,b/a=m,c/a=n,d/a=l。m、n、l、0、0

建立直角坐標系，并標出各桿矢，寫出矢量方程向x、y

軸投影，得將相對長度代入上式，并移項，得將等式兩邊平方和，消去2i，并整理得P2P1P0將兩連架桿的已知對應角代入上式，列方程組求解注意：方程共有5個待定參數，根據解析式可解條件：★當兩連架桿的對應位置數N=5時，可以實現精確解?！锂擭5

時，不能精確求解，只能近似設計?！锂擭5時，可預選尺度參數數目N0=5-N，故有無窮多解。注意：N=4或5時，方程組為非線性例題：試設計如圖所示鉸鏈四桿機構，要求其兩連架桿滿足如下三組對應位置關系：

11=45o,31=50o,

12=90o,

32=80o,

13=135o,

33=110o。分析：N=3則N0=2，常選0=0=0o求解：將三組對應位置值代入解析式得：P0=1.533P1=-1.0628P2=0.7805n=1.533

l

=1.442

m=1.783根據結構要求，確定曲柄長度，可求各構件實際長度。（2）按預期函數設計四桿機構★期望函數：要求四桿機構兩連架桿轉角之間實現的函數關系y=f(x)?！镌佻F函數：連桿機構實際實現的函數y=F(x)?！镌O計方法——插值逼近法（1）插值結點：再現函數和期望函數曲線的交點（2）插值逼近法：按插值結點的值來設計四桿機構（3）用插值逼近法設計四桿機構的作法在給定自變量x0~xm區(qū)間內選取結點，則有f(x)=F(x)將結點對應值轉化為兩連架桿的對應轉角代入解析方程式，列方程組求解未知參數（4）插值結點的選取在結點處應有f(x)-F(x)=0

結點以外的其他位置的偏差為結點數：最多為5個結點位置的分布根據函數逼近理論按下式選取：偏差大小取決結點數目和分布位置i=1、2、……、m;m為插值結點總數。例題：如圖所示，設兩連架桿轉角之間的對應函數關系為y=logx,1x2,其設計步驟如下：1）根據已知條件x0=1，xm=2；可求得y0=logx0=0，ym=logxm=0.301。2）根據經驗取主、從動件的轉角范圍分別為αm=60°,φm=90°,則自變量和函數與轉角的比例分別為3）由式（6-16）求插值結點處的自變量（設總數m=3），則x1=(2+1)/2-(2-1)cos[180°(2×1-1)/(2×3)]/2=1.067；x2=1.500；x3=1.933求結點處的函數值y1=log1.067=0.0282；y2=0.1761；y3=0.2862求主、從動件在結點處的相應轉角4）試取初始角α0=86°，φ0=23.5°(一般α0及φ0不同時為零)。5）將各結點的坐標值及初始角代入式cos90.02°=P0cos31.93°+P1cos58.09°+P2cos116°=P0cos76.15°+P1cos39.85°+P2cos141.98°=P0cos109.07°+P1cos32.91°+P2得解得

P0=0.568719，

P1=-0.382598，

P2=-0.280782

6）求機構各構件相對長度為

a=1，b=2.0899，c=0.56872，d=1.4865

7）檢驗偏差值Δφ

消去2，并將變量符號2換為，

3換為，得

b2=a2+d2+c2+2cdcos(φ+φ0)-2adcos(α+α0)-2accos[(α+α0)-(φ+φ0)]

令

A=sin（

+

0)

B=cos（

+

0)－d/a

C=

(a2+d2+c2-b2)/(2ac)dcos(

+

0)

則上式可化為

A=sin