第六章線性離散控制系統(tǒng)

第六章線性離散控制系統(tǒng)§6-1離散控制系統(tǒng)概述§6-2信號(hào)的采樣與保持§6-4離散系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§6-5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析§6-6采樣系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析§6-7采樣系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析第六章線性離散控制系統(tǒng)§6-3z變換主要內(nèi)容

1、基本概念、采樣定理和零階保持器2、z變換與z反變換3、差分方程及其求解4、脈沖傳遞函數(shù)的概念與系統(tǒng)的脈沖傳函5、線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析6、線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析7、線性離散系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能分析

重點(diǎn)與難點(diǎn)

1、脈沖傳遞函數(shù)2、線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析3、線性離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差分析4、線性離散系統(tǒng)的暫態(tài)性能分析脈沖傳函的求取和動(dòng)態(tài)性能分析難點(diǎn)重點(diǎn)前六章討論的是線性連續(xù)控制系統(tǒng)，其各處的信號(hào)都是時(shí)間的連續(xù)函數(shù)，也稱為模擬信號(hào)（時(shí)間上連續(xù)、幅值也連續(xù)的信號(hào)）。若系統(tǒng)的一處或數(shù)處信號(hào)不是連續(xù)的模擬信號(hào)，而是在時(shí)間上離散的脈沖序列，則稱為離散信號(hào)。它通常是按照一定的時(shí)間間隔對(duì)連續(xù)模擬信號(hào)進(jìn)行采樣而得到的，又稱為采樣信號(hào)，這樣的系統(tǒng)稱為離散系統(tǒng)或采樣系統(tǒng)，如計(jì)算機(jī)控制的各種系統(tǒng)。本章引言§6—1離散控制系統(tǒng)概述一.采樣控制系統(tǒng)：1．問(wèn)題的提出：有一類系統(tǒng)，受控對(duì)象的慣性很大且?guī)?，如工業(yè)爐溫控制系統(tǒng):爐子滯后時(shí)間大約為數(shù)秒至數(shù)十秒，其慣性時(shí)間常數(shù)高達(dá)千秒以上，此時(shí)電機(jī)的機(jī)電時(shí)間常數(shù)比起來(lái)小的可以忽略。爐溫的誤差信號(hào)經(jīng)放大后驅(qū)動(dòng)電動(dòng)機(jī)去調(diào)整燃料閥門的開(kāi)度以控制爐溫。若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)很大，系統(tǒng)對(duì)誤差信號(hào)將非常敏感，當(dāng)爐溫較低時(shí)，電動(dòng)機(jī)將迅速旋轉(zhuǎn)，開(kāi)大閥門，給爐子供應(yīng)更多的燃料。由于爐子本身的時(shí)間常數(shù)較大，爐溫上升很慢，當(dāng)爐溫升高到給定值時(shí)，閥門早已超過(guò)規(guī)定的離散系統(tǒng)概述（續(xù)）開(kāi)度，因此爐溫繼續(xù)上升，造成超調(diào)，電動(dòng)機(jī)將反方向旋轉(zhuǎn)。根據(jù)同樣的道理，又會(huì)造成爐溫的反方向超調(diào)，從而引起爐溫大幅度的振蕩，甚至使系統(tǒng)不穩(wěn)定。離散系統(tǒng)概述（續(xù)）若系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)取得很小，系統(tǒng)則很遲鈍，只有當(dāng)誤差較大時(shí)，產(chǎn)生的控制作用才能克服電動(dòng)機(jī)的“死區(qū)”而推動(dòng)閥門動(dòng)作。這樣雖不引起振蕩，但控制作用不及時(shí)，調(diào)節(jié)時(shí)間很長(zhǎng)且誤差較大。(1)設(shè),秒則離散系統(tǒng)概述（續(xù)）

離散系統(tǒng)概述（續(xù)）可見(jiàn):當(dāng)T很大又存在滯后時(shí),為得到好的動(dòng)態(tài)品質(zhì),K只能大大減小,則;此時(shí)若附加校正，由于T太大，校正裝置的時(shí)間常數(shù)也應(yīng)很大，難以實(shí)現(xiàn)。離散系統(tǒng)概述（續(xù)）2．解決方法－采用采樣控制系統(tǒng)：離散系統(tǒng)概述（續(xù)）

在誤差信號(hào)和電動(dòng)機(jī)之間加一個(gè)采樣開(kāi)關(guān)，它周期性的閉合和斷開(kāi)。當(dāng)爐溫出現(xiàn)誤差時(shí)，該信號(hào)只有在開(kāi)關(guān)閉合時(shí)才能使電動(dòng)機(jī)旋轉(zhuǎn)，進(jìn)行爐溫調(diào)節(jié)。當(dāng)開(kāi)關(guān)斷開(kāi)時(shí)，電動(dòng)機(jī)立刻停下來(lái)，閥門位置固定，讓爐溫自動(dòng)變化，直到下一次采樣開(kāi)關(guān)閉合，離散系統(tǒng)概述（續(xù)）再根據(jù)爐溫的誤差進(jìn)行調(diào)節(jié)。由于電動(dòng)機(jī)時(shí)轉(zhuǎn)時(shí)停，爐溫大幅度超調(diào)現(xiàn)象將受到抑制，即使采用較大的開(kāi)環(huán)放大倍數(shù)，系統(tǒng)仍能保持穩(wěn)定。采樣系統(tǒng)能解決連續(xù)系統(tǒng)遇到的難題的關(guān)鍵所在：1)采樣系統(tǒng)的特點(diǎn)：周期性的測(cè)量誤差信號(hào)――定時(shí)的“樣品”，亦叫采樣。采集離散系統(tǒng)概述（續(xù)）2)典型結(jié)構(gòu)圖：

K―產(chǎn)生脈沖列的裝置（采樣器），周期為T。采樣器離散系統(tǒng)概述（續(xù)）采樣就是通過(guò)采樣開(kāi)關(guān)的作用將連續(xù)信號(hào)變成脈沖序列的過(guò)程，如圖所示為周期采樣方式。所謂周期采樣，就是采樣開(kāi)關(guān)按一定的時(shí)間間隔開(kāi)閉。該時(shí)間間隔稱為采樣周期，通常用T表示。離散系統(tǒng)概述（續(xù)）若脈幅恒定，脈寬與每個(gè)采樣周期開(kāi)始時(shí)的大小成正比，再將脈沖列信號(hào)加到執(zhí)行電機(jī)上.★若脈沖幅值與每個(gè)采樣周期開(kāi)始時(shí)的大小成正比,系統(tǒng)(定寬調(diào)幅)。電機(jī)則以與不變。加在電機(jī)上時(shí)，大小成正比的速度轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)的時(shí)間相同。這屬于脈寬調(diào)幅電機(jī)軸以恒速轉(zhuǎn)動(dòng)且轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)這屬于脈沖調(diào)寬系統(tǒng)(定幅調(diào)寬)。的大小。間的長(zhǎng)短★定幅調(diào)寬定寬調(diào)幅3)控制方式：也是按偏差進(jìn)行調(diào)節(jié)的負(fù)反饋系統(tǒng)。

4)解決問(wèn)題的關(guān)鍵:離散系統(tǒng)概述（續(xù)）②可以允許系統(tǒng)在閉環(huán)期間有較大的①使系統(tǒng)容易穩(wěn)定；工作狀態(tài)：所以,系統(tǒng)大部分時(shí)間處于開(kāi)環(huán)狀態(tài)，改變了系統(tǒng)的2．?dāng)?shù)字控制系統(tǒng)：離散系統(tǒng)概述（續(xù)）隨著控制系統(tǒng)復(fù)雜性的增加，特別是隨著數(shù)字計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展，離散控制系統(tǒng)在控制精度、控制速度以及性價(jià)比等方面都比模擬控制系統(tǒng)表現(xiàn)出明顯的優(yōu)越性。如圖所示為以數(shù)字計(jì)算機(jī)為核心組成的一個(gè)典型計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)原理方框圖。采樣信號(hào)依次為:等等，這也是一種離散系統(tǒng)，稱為數(shù)字控制系統(tǒng)。如：計(jì)算機(jī)、單片機(jī)、PLC等控制的系統(tǒng)均為數(shù)字控制系統(tǒng)。離散系統(tǒng)概述（續(xù)）數(shù)字控制系統(tǒng)方框圖離散系統(tǒng)概述（續(xù)）除了周期采樣以外，還有其他采樣形式：①等周期同步采樣：多個(gè)采樣開(kāi)關(guān)等周期同時(shí)開(kāi)閉。②等周期異步采樣：多個(gè)采樣開(kāi)關(guān)等周期但不同時(shí)開(kāi)閉。③多階采樣：各采樣開(kāi)關(guān)以不同的周期開(kāi)閉。④隨機(jī)采樣：開(kāi)關(guān)動(dòng)作隨機(jī)，沒(méi)有周期性。二.采樣系統(tǒng)的研究方法:系統(tǒng)中存在脈沖或數(shù)字信號(hào)，且作用過(guò)程是斷續(xù)的，從時(shí)間上看控制過(guò)程也是斷續(xù)的。所以，連續(xù)系統(tǒng)中的拉氏變換、傳遞函數(shù)和頻率響應(yīng)法及根軌跡法都不再適用。通常采用z變換法，使用差分方程和脈沖傳遞函數(shù)，通過(guò)z變換這個(gè)有力的數(shù)學(xué)工具，將上述各概念應(yīng)用于采樣系統(tǒng)。離散系統(tǒng)概述（續(xù)）§6–2信號(hào)的采樣與保持將連續(xù)信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)槊}沖信號(hào)需要使用采樣器；而為了控制連續(xù)式元部件，又需要使用保持器將脈沖信號(hào)轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)信號(hào)。為了定量研究采樣系統(tǒng)，必須對(duì)信號(hào)的采樣過(guò)程和保持(復(fù)現(xiàn))過(guò)程用數(shù)學(xué)方法來(lái)加以描述。一、采樣過(guò)程:采樣器等效于一個(gè)理想的單位脈沖序列發(fā)生器:采樣器實(shí)用中無(wú)論是調(diào)寬還是調(diào)幅，都有采樣過(guò)程可看作是一個(gè)脈沖調(diào)制過(guò)程，理想的后面系統(tǒng)連續(xù)部分的最大時(shí)間常數(shù)，所以可以認(rèn)為單位脈沖序列：采樣器的輸出可表示為采樣過(guò)程（續(xù)）控制系統(tǒng)中通常當(dāng)時(shí)，則改寫(xiě)為：采樣過(guò)程（續(xù)）對(duì)于實(shí)際采樣過(guò)程，將連續(xù)信號(hào)加到采樣開(kāi)關(guān)的輸入端，采樣開(kāi)關(guān)每隔周期T秒閉合一次，每次閉合持續(xù)時(shí)間為，于是在采樣開(kāi)關(guān)的輸出端得到寬度為的調(diào)幅脈沖序列

實(shí)際采樣過(guò)程

采樣過(guò)程（續(xù)）由于采樣開(kāi)關(guān)閉合時(shí)間很小，遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于采樣周期T，故在時(shí)間內(nèi)變化甚微，可以近似認(rèn)為在該時(shí)間內(nèi)采樣值不變。所以可近似視為一個(gè)寬度為，高度為的矩形脈沖序列，即表示在nT時(shí)刻，一個(gè)高度為

1，寬度為的矩形脈沖，再與相乘，就表示在nT時(shí)刻，一個(gè)高度為，寬度為的矩形脈沖，所以有

說(shuō)明（1）如果采樣信號(hào)未經(jīng)保持器直接加到后續(xù)系統(tǒng)中，則每個(gè)脈沖的強(qiáng)度正比于閉合時(shí)間，故后面系統(tǒng)的放大倍數(shù)將擴(kuò)大才符合實(shí)際情況。若使原系統(tǒng)的總增益在采樣前后保持不變，則需增加一個(gè)增益為的放大器。（2）如果采樣信號(hào)經(jīng)保持器加到后續(xù)系統(tǒng)中，那就可不考慮脈寬對(duì)系統(tǒng)增益的影響，采樣信號(hào)可直接按理想采樣開(kāi)關(guān)輸出的信號(hào)來(lái)處理。由于大多數(shù)離散控制系統(tǒng)，特別是數(shù)字控制系統(tǒng)均屬于這種情況，因此，通常將采樣開(kāi)關(guān)視作其它時(shí)間其乘積為0。采樣時(shí)間由載波信號(hào)決定,即只有在采樣點(diǎn)上才存在，與的乘積才有值,而采樣信號(hào)的幅值則由決定。1．采樣信號(hào)的拉氏變換：二、采樣定理:采樣過(guò)程（續(xù)）理想采樣開(kāi)關(guān)，而采樣信號(hào)描述為根據(jù)拉氏變換的位移定理有：

2.采樣信號(hào)的頻譜：先從為使復(fù)現(xiàn)采樣前的頻譜入手。

不能給出連續(xù)信號(hào)在采樣間隔之間的信又從上面與有關(guān)。

可知瞬時(shí)的數(shù)值,值描述了在采樣采樣定理（續(xù)）息，即采樣信號(hào)的信息不等于連續(xù)信號(hào)的全部信息。因此，采樣信號(hào)的頻譜與連續(xù)信號(hào)的頻譜相比，要發(fā)生變化。研究采樣信號(hào)的頻譜，目的是找出之間的相互聯(lián)系。是一個(gè)周期函數(shù)，可以展開(kāi)為傅氏級(jí)數(shù)，并寫(xiě)成其復(fù)數(shù)形式：——采樣角頻率。其中采樣定理（續(xù)）故兩邊取拉氏變換，并由其位移定理已知的頻率特性，的幅頻特性或稱頻譜。故有時(shí)才有值,且由于在區(qū)間中,只在采樣定理（續(xù)）可見(jiàn)：采樣后的信號(hào)頻譜由無(wú)數(shù)條頻譜疊加而成，每一條頻譜曲線是采樣前信號(hào)的頻率特性，的頻譜。后的結(jié)果。顯然每?jī)蓷l頻譜的距離為而幅值下降到的頻譜的倍。時(shí)頻譜分量稱為主頻譜,它是頻譜的一般說(shuō)來(lái)，的頻譜是一個(gè)單一的連續(xù)頻譜,采樣定理（續(xù)）故可認(rèn)為是有限值。能否使復(fù)現(xiàn)取決于能否通過(guò)信號(hào)濾波從中復(fù)檢出，即各個(gè)頻譜分量不重疊。是無(wú)限大的。但因?yàn)楫?dāng)◆由下圖可見(jiàn)：時(shí)，通過(guò)濾波可以濾除中高于的頻譜，剩下的就與采樣定理（續(xù)）采樣定理（續(xù)）形狀相同，否則會(huì)使中各個(gè)波形互相搭接，

就無(wú)法通過(guò)濾波來(lái)復(fù)現(xiàn)也就無(wú)法恢復(fù)到。這就是香農(nóng)采樣定理。3．采樣定理：如果采樣周期滿足下列條件：則采樣信號(hào)可以完滿的復(fù)現(xiàn)原輸入信號(hào)需經(jīng)過(guò)理想濾波器，但實(shí)際中沒(méi)有。★要完全復(fù)現(xiàn)工程上最常用的、最簡(jiǎn)單的是零階保持器。采樣定理（續(xù)）e*(t)t在每個(gè)采樣區(qū)間內(nèi)的值均為常值且其導(dǎo)數(shù)為零，故叫零階保持器。三、零階保持器:1．概念及其作用：eh(t)t

零階保持器e*(t)eh(t)使每個(gè)采樣瞬間的采樣值一直保持到下一個(gè)采樣瞬時(shí),使信號(hào)

階梯信號(hào)

近似為連續(xù)信號(hào)。

階梯信號(hào)假如某一環(huán)節(jié)在單位理想脈沖

2．傳函與頻率特性：表示其輸出，分解為兩

作用下，輸出是幅值為1、持續(xù)時(shí)間為T的一個(gè)脈

沖--即為一個(gè)零階保持器。用

個(gè)單位階躍函數(shù)之和：零階保持器（續(xù)）其中零階保持器（續(xù)）可見(jiàn)：零階保持器（續(xù)）從幅頻特性上看，零階保持器具有低通濾波特性，但不是理想的低通濾波器。零階保持器除了允許采樣信號(hào)的主頻分量通過(guò)外，還允許部分高頻分量通過(guò)。因此，零階保持器復(fù)現(xiàn)出的連續(xù)信號(hào)與原信號(hào)是有差別的。同時(shí)，由于離散控