第二章濾波器內(nèi)容

第2章變換(ZT)與DTFT2.1序列的Z變換2.2離散時間傅里葉變換--DTFT2.3拉普拉斯變換，Z變換與傅里葉變換的關系2.4離散線性移不變系統(tǒng)的頻域表征時域分析方法變換域分析方法： 連續(xù)時間信號與系統(tǒng)

Laplace變換

Fourier變換 離散時間信號與系統(tǒng)

z變換

Fourier變換信號與系統(tǒng)的分析方法§2.1序列的Z變換一、Z變換的定義若序列為，定義序列的Z變換為二、Z變換的收斂域

收斂域：對任意給定序列，使其Z變換收斂的所有值的集合，稱為收斂域(ROC)

。

按照級數(shù)理論，變換式中級數(shù)收斂的充分必要條件是滿足絕對可和的條件，即三、4種典型序列的Z變換的收斂域1．有限長序列

在有限區(qū)間之內(nèi)序列具有非零的有限值，在此區(qū)間之外，序列值都是零。其變換為：要使其收斂，則要求：由于有界，故要求：

顯然，在上，都滿足這個條件，也就是說，收斂域是除及外的開域，即“有限平面”。由、的取值不同，收斂域可進一步擴大（僅僅是擴大或兩個收斂值）2．右邊序列只在時，有值，在時，。其ZT為：收斂域為因果序列：即在時，才有非零值，時其ZT中只有Z的零冪和負冪項，因此級數(shù)收斂域可包括所以處ZT收斂是因果序列的特征。3．左邊序列只在時，有非零值，時，。其ZT為：收斂域為：如果，則右端第二項不存在，收斂域應包括，即4．雙邊序列

為任意值時，都有非零值的序列，可以看成是左邊序列與右邊序列之和。收斂域是：右邊序列與左邊序列收斂域的重疊部分。如果，則存在公共收斂域，則右邊序列收斂域為左邊序列收斂域為∴ROC：整個Z的閉平面（）例2.1

，求其ZT及ROC解：例2.2，求其ZT及ROC。解：只有在時，即處收斂。∴ROC：

例2.3，求ZT及ROC解：其ROC為：，即。一般來說，左邊序列的ZT的ROC一定在模值最小的有限極點所在圓之內(nèi)。右邊序列的Z變換的ROC一定在模值最大的有限極點所在圓之外。例2.4,求ZT及ROC解：如果則可得ROC：具有三個極點，其可能的收斂域形式為四Z反變換反變換：從給定的變換閉合式中還原出原序列。表示式為：

通常有三種方法求出IZT：圍線積分法（留數(shù)法）部分分式展開法長除法要求掌握前兩種方法。1、圍線積分法（留數(shù)法）

根據(jù)復變函數(shù)的理論，若函數(shù)在環(huán)狀區(qū)域（）是解析的，則在此區(qū)域內(nèi)可展開成羅朗級數(shù)：其中為：跳過比較羅朗級數(shù)與ZT定義式可知，就是羅朗級數(shù)的系數(shù)，所以用圍線積分表示的IZT公式為：將看成是柯西積分定理中的，即時即證明：令由柯西積分定理：證畢。根據(jù)留數(shù)定理，若函數(shù)在圍線C上連續(xù)，在C以內(nèi)有K個極點，在C以外有M個極點(M、K為有限值)，則有或：(2)式應用條件：的分母多項式的階次比分子多項式Z的階次高二階或二階以上。由于，可得：留數(shù)的計算（1）是的單（一階）極點，則有（2）是的多重極點（點），則有注意：具體計算時，盡量避免求高階極點處的留數(shù)。求解中，極點階數(shù)與n相關，需對n進行區(qū)間求解。例2.6已知，求IZT。解：當時，在圍線C內(nèi)只有處的一個一階極點，因此：當時，函數(shù)在圍線C的外部只有一個一階極點且符合使用的條件：的分母階次減去分子階次結果是。而在C的內(nèi)部則有處一階極點及處階極點。例2.7已知:求IZT解：當時，圍線C的內(nèi)部有兩個極點，當時，利用圍線C的外部沒有極點，而且分母階次比分子階次高2階或2階以上，故選C外部的極點求留數(shù)，其留數(shù)必為0，得到還可以這樣考慮，由于收斂域為圓的外部，而且，即在處不是極點，因而序列一定是因果序列，可以判斷得到：

綜合以上，得：2、部分分式展開法在實際應用中，一般是的有理分式，可表示成

都是變量的實系數(shù)多項式，并且沒有公因式。則如果可以表示成有理分式：系數(shù)那么可展成：根據(jù)留數(shù)定理，系數(shù)可用下式求得：:可用長除法求得。系數(shù)可用下式求得：當為Z的正冪有理分式時，可以按如下方式展開。例2.8已知:求IZT將給定改寫成：將兩端同乘，得：展開：由給定ROC可知，此序列為因果序列，解：∴∴可得：綜合以上得：

本例是右邊序列，對于左邊序列或雙邊序列，部分分式法同樣適用，但要注意：哪些極點對應于右邊序列，哪些極點對應于左邊序列。

五Z變換的基本性質(zhì)和定理1、線性滿足比例性、可加性。若那么：注意：線性組合中某些零點與極點互相抵消，則ROC可能擴大。例2.13：已知，求ZT。解：由2、序列的移位討論序列移位后其ZT與原序列ZT的關系。若有：那么：式中為任意整數(shù)，，則為延遲，則為超前序列移位后，收斂域不變。只是對單邊序列在或處可能有例外。

例如，在平面處處收斂，但，在處不收斂，而，在處不收斂。證明：按ZT定義：例2.14：已知，求ZT解：已知：又：∴3、乘以指數(shù)序列（Z域尺度變換）序列乘以指數(shù)序列，是常數(shù)若那么：尺度變換對零極點的位置有影響。4、序列的線性加權（Z域求導數(shù)）若那么：其中：5、共軛序列一個復序列的共軛序列為，若則：6、翻褶序列若則：7、初值定理對于因果序列，即：，則有：8、終值定理

設為因果序列，的極點處于單位圓以內(nèi)（單位圓最多在處可有一階極點）則有：9、有限項累加特性是因果序列，若則：10、序列的卷積和（時域卷積和定理）設為與的卷積和則有：

時域為卷積和，則域為相乘，ROC為重疊部分。如果ROC邊界上一個ZT的零點與另一個ZT的極點相互抵消，則ROC可能擴大。證：例2.17：設，求：解：已知：∴

11、序列相乘（z域復卷積定理）且若則：，[即]

其中c是變量平面上，與的公共ROC內(nèi)環(huán)繞原點的一條反時針旋轉(zhuǎn)的單封閉圍線，滿足將此兩式相乘，得12、帕塞瓦定理（ParsevalTheorem）利用復卷積定理可得到重要的帕塞瓦定理。且若則：圍線C應在和的公共ROC內(nèi)，即

一個線性移不變系統(tǒng)可用常系數(shù)線性差分方程來描述。其一般形式：如果系統(tǒng)起始狀態(tài)為零，且輸入為因果序列，則可直接對上式取單邊ZT，得：六利用Z變換求解差分方程例：若離散時間系統(tǒng)可用如下一階差分方程表示：設輸入為初始條件為求系統(tǒng)輸出?！?.2離散時間傅里葉變換（DTFT）正變換逆變換DTFT是分析信號的頻譜，研究離散時間系統(tǒng)的頻域特性以及信號通過系統(tǒng)后的頻譜特性的主要分析工具。序列絕對可和，是DTFT存在且連續(xù)的充分條件。DTFT的存在條件（1）一致收斂（2）均方收斂當滿足時，序列的能量有限，也是DTFT存在的充分條件。（3）對于某些特殊的序列，比如周期序列，階躍序列，引入沖激函數(shù)后可得到它們的傅里葉變換。例題：求矩形序列的N點DTFT。解：DTFT的性質(zhì)DTFT的一些對稱性質(zhì)1、對稱與反對稱：（1）共軛對稱序列：滿足的序列。當是實序列時，則(偶對稱序列)。即滿足實部偶對稱，虛部奇對稱。（2）共軛反對稱序列：滿足的序列。當是實序列時，則(奇對稱序列)。即滿足實部奇對稱，虛部偶對稱。證明：取、為以下兩式即可：從以上兩式看出，、滿足其定義。根據(jù)以上兩個定義，任意序列總能表示為：

同樣：一個序列的FT也可以分解成共軛對稱分量與共軛反對稱分量之和。其中：FT函數(shù)為實函數(shù)時：⑴滿足共軛對稱，則稱為頻率的偶函數(shù)。即⑵滿足共軛反對稱，則稱為頻率的奇函數(shù)。即2、FT的對稱性質(zhì)由以上性質(zhì)，可用一個FFT運算完成兩個實序列的FFT運算。(1)(2)(3)(4)將表示成極坐標形式：對實序列：(5)如果是實序列，則其FT滿足共軛對稱性。即由此得出：即實序列的FT的實部是的偶函數(shù)，而虛部是的奇函數(shù)。任意實序列總可以分解為偶對稱分量和奇對稱分量的和。對于因果序列=對于因果序列=根據(jù)以上結論，如果x(n)為實因果序列，則可根據(jù)求得x(n)；也可以根據(jù)求得x(n)，n>0的部分?！?.3序列的ZT與連續(xù)信號的LT、FT的關系一、ZT與LT的關系序列的ZT與理想抽樣信號的LT的關系。

設連續(xù)信號為，理想抽樣后的抽樣信號為，則其LT為：將代入上式得抽樣序列的ZT為：抽樣序列的ZT就等于其理想抽樣信號的LT，寫出如下形式：這兩種變換的關系：由的映射，映射關系為：討論映射關系:將S平面用直角坐標表示：Z平面用極坐標表示：

1．與的關系：⑴（平面的虛軸）對應于（平面單位圓）⑵（的左半平面）對應于（平面單位圓內(nèi)部）⑶（的右半平面）對應于（平面單位圓外部）

2．與的關系：⑴(平面實軸)對應于（平面的正實軸）⑵(常數(shù))(平面平行于實軸的直線）對應于(平面始于原點輻角為的輻射線)

通過平行于實軸的直線，對應于平面的負實軸,抽樣角頻率為，因此每增加一個抽樣角頻率，則相應地增加一個，也就是說，是的周期函數(shù)。因此平面到平面是多值映射。

在連續(xù)時間信號的抽樣中，一個連續(xù)時間信號經(jīng)過理想抽樣后，其頻譜產(chǎn)生周期延拓。即：Go6.5同樣地，一個連續(xù)時間信號經(jīng)理想抽樣后，信號的LT在平面上沿虛軸周期延拓，也就是說在平面虛軸上是周期函數(shù)。將這個式子代入則得到與的關系二、ZT與FT的關系

我們知道，F(xiàn)T是LT在虛軸上的特例，即，因而映射到平面上為單位圓，代入得：抽樣序列在單位圓上的ZT，就等于其理想抽樣信號的FT。由：得：

我們已經(jīng)知道：頻譜是頻譜的周期延拓，那么表現(xiàn)在平面的單位圓上就是：是的周期函數(shù)，即它在單位圓上循環(huán)出現(xiàn)。

在今后的討論中，我們用數(shù)字頻率來作為平面上單位圓的參數(shù)，即

與（模擬角頻率）的關系：從上式看出：相對頻率是模擬角頻率對抽樣頻率的歸一化值。

這說明：單位圓上的ZT是與信號的頻譜相聯(lián)系的，因此我們稱單位圓上序列的ZT為序列的FT。將上式代入得§2.4離散系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)及系統(tǒng)的頻率響應

一個線性移不變系統(tǒng)在時域可用單位抽樣響應表示，那么對于任意的輸入，當取ZT，得∴線性移不變系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，是單位抽樣響應的Z變換。即

這樣，在單位圓上()的系統(tǒng)函數(shù)就是系統(tǒng)的頻率響應，即FT。一、因果穩(wěn)定系統(tǒng)一個線性移不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：而Z變換的ROC滿足

要使一個系統(tǒng)的存在且連續(xù)，那么系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包括單位圓，即系統(tǒng)是穩(wěn)定的。反之，如果系統(tǒng)是穩(wěn)定的，那么系統(tǒng)函數(shù)的收斂域應包括單位圓。因果系統(tǒng)的單位抽樣響應為因果序列，其ROC形式為對于因果穩(wěn)定的系統(tǒng)，系統(tǒng)函數(shù)的全部極點必須在單位圓內(nèi)。二、系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的關系

一個線性移不變系統(tǒng)可用常系數(shù)線性差分方程來描述。其一般形式：如果系統(tǒng)起始狀態(tài)為零，可直接對上式取ZT，得：由此看出：系統(tǒng)函數(shù)取決于差分方程的系數(shù)。將系統(tǒng)函數(shù)分子分母多項式分解：(：系統(tǒng)函數(shù)的零點，：系統(tǒng)函數(shù)的極點)注意：我們并沒有給出的的ROC,也就是說可以代表不同的系統(tǒng)。對于因果穩(wěn)定系統(tǒng)，其ROC為

通常我們在平面上用零極點描述系統(tǒng)函數(shù)，因此一般要畫出單位圓，以便看出零極點在單位內(nèi)部還是外部。三、系統(tǒng)頻率響應的意義

如果輸入為復指數(shù)或正弦信號，那么它的響應稱為系統(tǒng)頻率響應。下面研究系統(tǒng)的頻域表示法。設輸入序列是頻率的復指數(shù)序列，即那么輸出（卷積和）：可表示成：下面證明一個重要結論。

當系統(tǒng)輸入為正弦序列時，則輸出為同頻的正弦序列，其幅度受頻率響應幅度加權，而輸出相位則為輸入相位與系統(tǒng)相位響應之和。證明：設輸入為由得的響應：同理可得：的響應∴

由于是實序列，故滿足共軛對稱條件，即那么:所以：寫成極坐標的形式

由此看出為的周期函數(shù)，周期為。雖然是離散序列，但是

的連續(xù)函數(shù)。而且有，系統(tǒng)的頻率響應正是系統(tǒng)函數(shù)在單位圓上的值。即

通過系統(tǒng)頻率響應這個概念，對于LSI系統(tǒng)，可以建立任意輸入情況下，輸入與輸出兩者的傅里葉變換的關系，由卷積和與FT的性質(zhì)可得：即：

由上式可知：對于LSI系統(tǒng)，輸出序列的FT等于輸入序列的FT與系統(tǒng)頻率響應的乘