物理競賽輔導(dǎo)力學(xué)講座1

物理競賽輔導(dǎo)講座——力學(xué)部分1一、理論的補(bǔ)充內(nèi)容

2知識(shí)點(diǎn)一：

與質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心相關(guān)的內(nèi)容質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心坐標(biāo)系柯尼希定理剛體平面運(yùn)動(dòng)的基本方程3一.質(zhì)點(diǎn)系的質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系（含剛體）的質(zhì)心C，是一個(gè)假想的質(zhì)點(diǎn)。它的質(zhì)量等于質(zhì)點(diǎn)系的總質(zhì)量，它的坐標(biāo)定義為：即(1)(1')對(duì)于給定的質(zhì)點(diǎn)系，質(zhì)心坐標(biāo)取決于坐標(biāo)系的選擇。但它的相對(duì)位置不因此而變。4CCCC對(duì)于質(zhì)量對(duì)稱分布的質(zhì)點(diǎn)系，其質(zhì)心就在它的對(duì)稱中心。舉例如下：5二.質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理(1)對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，即得質(zhì)心速度：(2)（2）式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，即得質(zhì)心加速度：（4）(3)質(zhì)心的動(dòng)量即質(zhì)心動(dòng)量就是系統(tǒng)動(dòng)量。又（5）6（6）式可寫成：(6）或（7）是質(zhì)心運(yùn)動(dòng)滿足的微分方程，稱為質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理。它在形式上與一個(gè)單質(zhì)點(diǎn)的牛頓方程相同。注意內(nèi)力對(duì)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)不起作用。合外力為零時(shí)，質(zhì)心加速度為零，質(zhì)心動(dòng)量守恒（即系統(tǒng)動(dòng)量守恒）。（7）因系統(tǒng)內(nèi)力滿足牛頓第三定律，內(nèi)力之和應(yīng)為零，故有（6）7在一般情況下，物體受力后，質(zhì)心按（7）產(chǎn)生質(zhì)心加速度。若合力作用線不通過質(zhì)心，物體將同時(shí)受一對(duì)質(zhì)心的力矩的作用，得到繞質(zhì)心旋轉(zhuǎn)的角加速度：（8）8三.質(zhì)心坐標(biāo)系

以質(zhì)心為原點(diǎn)的平動(dòng)坐標(biāo)系稱為質(zhì)心坐標(biāo)系（C系）。質(zhì)心坐標(biāo)系在質(zhì)點(diǎn)系力學(xué)中具有極其重要的作用。與觀測(cè)儀器相連的坐標(biāo)系稱為實(shí)驗(yàn)室坐標(biāo)系（L系）。一般地說，L系適用于測(cè)定數(shù)據(jù)，C系適用于理論分析。CL系C系om1m2m39四.質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能的分解

此中ui是第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)在C系中的速率。（8）稱為柯尼希定理。證明從略。在許多情況下，用（8）式計(jì)算系統(tǒng)動(dòng)能極其方便。（8）在任何坐標(biāo)系L中，系統(tǒng)的動(dòng)能恒可分解為質(zhì)心在L系中的動(dòng)能與系統(tǒng)在C系中的動(dòng)能之和：系統(tǒng)在L系中的動(dòng)能系統(tǒng)質(zhì)心C在L系中的動(dòng)能系統(tǒng)在C系中的動(dòng)能10例.計(jì)算沿平面直線滾動(dòng)的均質(zhì)實(shí)心輪子的動(dòng)能Ek。已知輪子半徑為R，質(zhì)量為M,滾動(dòng)角速度為.解：在地面坐標(biāo)系（L系）中，輪子質(zhì)心速度為質(zhì)心在L系中的動(dòng)能為RvCML系輪子在C系中作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能為輪子在L系中的動(dòng)能為11五.剛體的平面平行運(yùn)動(dòng)CC過質(zhì)心C的轉(zhuǎn)軸垂直圖面上圖顯示剛體運(yùn)動(dòng)時(shí)其上一個(gè)截面的運(yùn)動(dòng)。該截面過質(zhì)心C，并保持在屏幕平面內(nèi)。同時(shí)，剛體繞過質(zhì)心C且垂直于圖面的軸轉(zhuǎn)動(dòng)。剛體的這種運(yùn)動(dòng)方式稱為平面平行運(yùn)動(dòng)。C質(zhì)心C的軌跡12CCC剛體的這種運(yùn)動(dòng)可分解為隨質(zhì)心的平動(dòng)加繞質(zhì)心定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。（7）（8）質(zhì)心C的軌跡隨質(zhì)心的平動(dòng)規(guī)律與質(zhì)心的運(yùn)動(dòng)規(guī)律相同：即13可見，剛體的平面運(yùn)動(dòng)滿足3個(gè)獨(dú)立投影方程。（9）是剛體對(duì)過質(zhì)心轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的規(guī)律為合外力矩以沿平面直線滾動(dòng)的輪子為例：平動(dòng)方程轉(zhuǎn)動(dòng)方程vCCxdRf滾動(dòng)摩擦F拉力14

知識(shí)點(diǎn)二：

剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的基本方程——角動(dòng)量定理15轉(zhuǎn)軸剛體角位移的大小剛體初始位置剛體末位置剛體角位移矢量剛體角速度矢量轉(zhuǎn)軸外力在轉(zhuǎn)軸的垂直平面內(nèi)外力對(duì)O點(diǎn)的矩外力的作用點(diǎn)oo16剛體的角加速度矢量由于轉(zhuǎn)軸方向不變，上述關(guān)系可簡寫成投影關(guān)系：剛體的角速度矢量角坐標(biāo):角速度:角加速度:剛體的角位移剛體角速度的增量逆關(guān)系為:17角動(dòng)量在轉(zhuǎn)軸上的投影是：

L=mvr=mr2moz?對(duì)于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的質(zhì)點(diǎn)，恒有，因而質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量：18剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上所有質(zhì)點(diǎn)繞轉(zhuǎn)軸的角速度為一共同量。

按照質(zhì)點(diǎn)動(dòng)量定義p=mv，質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量L=mr2也可視為慣量與角速度的乘積，mr2就是質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，以字符J記之：J=mr2，它體現(xiàn)了質(zhì)點(diǎn)作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)慣性的大小。剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，其上所有質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和，稱為剛體對(duì)轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：LArdm19（5）稱為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的角動(dòng)量定理，又稱剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律。當(dāng)（5）中外力矩M=0時(shí)，剛體角動(dòng)量L=J=常值。此即剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)下的角動(dòng)量守恒定律。它類似于平動(dòng)問題中的動(dòng)量守恒定律。剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程：（4）因只有一個(gè)分量，可寫成投影式：（5）20外力矩M=0時(shí)，定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量L=J=常值，是一條應(yīng)用極廣的定律。離心節(jié)速器21平行軸定理dLCL若剛體對(duì)過其質(zhì)心C的軸LC的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為已知，則該剛體對(duì)另一平行軸L的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：此處d為兩平行軸間的垂距。證明從略。質(zhì)心C平行軸22已知均質(zhì)圓盤繞過中心C的垂直軸LC的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為:則該圓盤對(duì)過邊緣的垂直軸L的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：RCLLC平行軸定理應(yīng)用舉例：23當(dāng)系統(tǒng)質(zhì)點(diǎn)排成一直線時(shí)，質(zhì)心坐標(biāo)公式成為24解：1）過O點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：挖去部分的質(zhì)量OR/2252）過新質(zhì)心點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量：C首先找出新質(zhì)心位置作如圖坐標(biāo)系令挖后質(zhì)心坐標(biāo)為

XC’，有：挖前質(zhì)心坐標(biāo)：Ox+=26平行軸定理：本題結(jié)束COx+=R/627垂直軸定理

如右圖所示,對(duì)于勻質(zhì)薄剛體，x、y軸在剛體內(nèi)且相互垂直,z軸垂直于剛體.則剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量等于其對(duì)x、y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量之和。28垂直軸定理應(yīng)用舉例xyzab已知矩形均質(zhì)薄剛體，邊長各為a,b,對(duì)x軸與y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量各為：由垂直軸定理知，剛體對(duì)z軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為：29已知圓盤初始角速度,圓盤與水平板之間的摩擦系數(shù)為.求：（1）圓盤所受摩擦力矩；（2）圓盤放在平板上經(jīng)多長時(shí)間后停止轉(zhuǎn)動(dòng)？例題Rm圓盤側(cè)視圖30rr+drR解（1）:將圓盤分解成許多寬為dr的同心圓環(huán)。圓環(huán)面積為dS=2rdr,

圓盤單位面積質(zhì)量為=m/R2,園環(huán)質(zhì)量為dm=dS,園環(huán)受的摩擦力為df=gdm,摩擦力矩為負(fù)號(hào)表示力矩的方向與初始角速度方向相反。dS圓盤俯視圖31答(1):

對(duì)r積分，得總摩擦力矩：解(2):

將總摩擦力矩的值代入轉(zhuǎn)動(dòng)定律（角動(dòng)量定理）中：

分離變量：32設(shè)t=t1時(shí)刻圓盤停止，便有：答（2）：t=t1=3R/4g

時(shí)圓盤停止。33將轉(zhuǎn)動(dòng)定律代入上式右方，得元功定軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能定理定義力矩M的元功：此處為定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能。(6)式表明：力矩的元功轉(zhuǎn)化為剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的元增量——此稱定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的動(dòng)能定理的微分形式。(6)34動(dòng)能定理的積分形式是：即，外力矩作的總功等于定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體動(dòng)能的增量。(7)（7）式僅適用于J不變的場(chǎng)合。當(dāng)J改變時(shí)，（7）應(yīng)改為：(8)35沖擊力問題沖擊力的特點(diǎn)是力F很大而作用時(shí)間極短。因而積分值（沖量）既不是無限大，也不是無限小，而是有限非零值。當(dāng)已知時(shí)，按動(dòng)量定理（1）（2）（2）是動(dòng)量定理的積分形式，適用于沖擊力造成剛體平動(dòng)的場(chǎng)合。沖擊力的沖量動(dòng)量增量36（3）（3）是角動(dòng)量定理的積分形式，適用于沖擊力造成剛體旋轉(zhuǎn)的場(chǎng)合。沖量矩角動(dòng)量增量將（2）改寫成：沖擊力矩問題沖擊力問題的一個(gè)共同特點(diǎn)是，在力作用時(shí)間內(nèi)，剛體的動(dòng)量或角動(dòng)量有明顯改變，但剛體的位移則可以忽略不計(jì)。原因是，前者是時(shí)間的同級(jí)小量，而后者是時(shí)間的二級(jí)小量。37沖擊力矩例題·OmlA一質(zhì)量為m，長為l的均勻細(xì)棒AO，支點(diǎn)在棒端O點(diǎn)。開始時(shí)，棒自由懸掛。以不變的沖力打擊它的下端點(diǎn)A，力作用的時(shí)間為。若棒原先靜止，求打擊后瞬間棒的角動(dòng)量L以及棒的最大偏角。解.打擊前，棒的角動(dòng)量為零。沖擊力對(duì)棒上O點(diǎn)的矩為：沖擊力作用點(diǎn)按角動(dòng)量定理，有C懸掛點(diǎn)打擊后瞬間棒的角速度38·OmlF·Om打擊后瞬間棒的角速度為：打擊后棒的初動(dòng)能：由機(jī)械能守恒求出棒的最大偏角：打擊后棒得到的角動(dòng)量為重心C提升高度CCC重心棒受打擊后瞬間的動(dòng)能39剛體定軸旋轉(zhuǎn)中的機(jī)械能守恒例題t=0時(shí)刻t時(shí)刻CCL水平軸均勻細(xì)棒AB質(zhì)量為m，長為L,可繞過A端的水平軸旋轉(zhuǎn)。將棒置于水平位置，然后將B端放開任其自由落下。求細(xì)棒的角速度和角加速度與角位移的關(guān)系。

AABBB質(zhì)心C下降了(L/2)sin40CCL勢(shì)能改變量：動(dòng)能改變量：機(jī)械能守恒定律：水平軸t=0時(shí)刻t時(shí)刻質(zhì)心C下降了(L/2)sin41將（2）對(duì)t求導(dǎo)：注意，有：（4）解出：（3）（2）即：（1）也可用轉(zhuǎn)動(dòng)定律得到42典型難題：彈簧與非彈性碰撞mL0m′Ov0v初態(tài)LkmL0m′Ov0初態(tài)彈簧開始轉(zhuǎn)動(dòng)后的瞬態(tài)m+m′OvLkL0m+m′O碰撞后瞬間u光滑水平面上有一輕質(zhì)彈簧，勁度系數(shù)為k。它一端固定，另端系一質(zhì)量為m的滑塊。最初滑塊靜止時(shí)，彈簧呈自然長度L0,今有一質(zhì)量為m的子彈以速度v0

沿水平方向并垂直于彈簧軸線射向滑塊并留在其中，使滑塊在水平面內(nèi)滑動(dòng)。當(dāng)彈簧長度被拉伸至L時(shí)，求滑塊速度的大小v和方向角。43L0m+m′O碰撞后瞬間u(1)解得：子彈射入滑塊可視為沖擊過程。它是完全非彈性碰撞過程，歷時(shí)很短，可認(rèn)為子彈停留在滑塊中后，滑塊才攜子彈開始運(yùn)動(dòng)