空間向量的應用-求空間角與距離

空間向量的應用 ---- 求空間角與距離一、考點梳理自新教材實施以來，近幾年高考的立體幾何大題，在考查常規(guī)解題方法的同時，更多地關注向量法（基向量法、坐標法）在解題中的應用。坐標法（法向量的應用），以其問題（數(shù)量關系：空間角、空間距離）處理的簡單化，而成為高考熱點問題。可以預測到，今后的高考中，還會繼續(xù)體現(xiàn)法向量的應用價值。利用法向量求空間角和空間距離，其常用技巧與方法總結如下：求直線和直線所成的角若直線AB、CD所成的角是|AB?CD|，cos=|cosAB,CD|||CD||AB2).利用法向量求線面角為直線l與平面rr設所成的角，為直線l的方向向量v與平面的法向量n之間的夾角，則有 或 。2 2特別地 0時， ，l ； 時， 0，l 或lP 。計算公式為：2 2rrsin cos |rvgnr|或|v|g|n|sin sin()cos2

rrvgnr|v|g|n|

rrrr|vgn|rr(vgn0)|v|g|n|3).利用法向量求二面角rr分別為平面、的法向量，二面角l的大小為rr的設n、n，向量n、n1212夾角為，則有或。計算公式為：uuruuruuruurn1gn2coscosn1gn2coscosuuruuruuruur|n1|g|n2||n1|g|n2|4).利用法向量求點面距離如圖點P為平面外一點，點A為平面的任一點，平面的法向量為n,過點P作平面的垂線PO，記∠OPA=，則點P到平面的距離d|PO||PA|cosuuurruuur|n?PA||PA|ruuurr|n||PA|uuur|n?PA|uur|n|

PnAO5).法向量在距離方面除應用于點到平面的距離外，還能處理異面直線間的距離，線面間的距離，以及平行平面間的距離等。 其一，這三類距離都可以轉化為點面間的距離； 其二，r異面直線間的距離可用如下方法操作：在異面直線上各取一點A、B，AB在n上的射影長即rruuurruuur為所求。n為異面直線AD、BC公共垂直的方向向量，可由nAD0及nBC0求得，其計算公式為：uuruuurd|ngAB|r。其本質與求點面距離一致。|n|向量是新課程中引進的一個重要解題工具。 而法向量又是向量工具中的一朵廳葩， 解題方法新穎，往往能使解題有起死回生的效果，所以在學習中應起足夠的重視。二、例分析例1已知ABCD是上、下底邊長分別為2和6，高為3的等腰梯形，將它沿對稱軸OO1折成直二面角，如圖所示，（1）證明：ACBO1；（2）求二面角OACO1的大小。分析：題干給出一個直二面角和一條對稱軸OO1，易知OO1OB，OO1OA，故有著明顯的建系條件；另外給出梯形的邊長、高，則各點坐標較易求得。用坐標法求解，可避開二面角的尋找、理推等困撓，只需先求面與面OAC的法向量，再用公式計算便可。第（1）問的作用在于證明O1B面OAC，也就找到了一個法向量；而面O1AC的法ruuurruuuurx、y、z關系后，對z的取值要慎重，向量可用由nAC0及nOC0求得，只是解出1可先觀察二面角的大小是銳角、直角，還是鈍角。解：（1）證明：由題設知OO1OA、OO1OB，所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB。故可以O為原點，OA、OB、OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標第，如圖，則相關各點的坐標是：A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,1,3)，O1(0,0,uuuruuuur(0,3,3)，3)，從而，AC(3,1,3)BO1uuuruuuurACBO13330，即ACBO1。uuuruuuur（2）解：因為0CBO13330，所以OCBO1。uuuur是平面OAC的一個法向量。由（1）ACBO1，所以BO1平面OAC，BO1rruuur(x,y,z)是平面OAC的一個法向量，由nAC03xy3z0設nruuuur0y0rnO1C取z(1,0,3)。3，得nruuuurruuuur設二面角OACO1的大小為，由n、BO1的方向可知n,BO1，ruuuurruuuur3所以coscosngBO1，即二面角OACO1的大小是n,BO1ruuuur4|n|g|BO1|3arccos 。感悟：（1）用法向量的方法處理二面角的問題時，將傳統(tǒng)求二面角問題時的三步曲：“找——證——求”直接簡化成了一步曲：“計算”，這表面似乎淡化了學生的空間想象能力，但實質不然，向量法對學生的空間想象能力要求更高，也更加注重對學生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神。2）利用坐標法求解和距離，關鍵是有明顯或較為明顯的建系條件，從而建立適當?shù)目臻g直角坐標系——盡可能多地使空間的點在坐標軸上或坐標平面，正確表達已知點的坐標。在立體幾何數(shù)量關系的解決中，法向量的運用可以使問題簡單化，其難點在于掌握和應用法向量解決空間解和距離求法的常用技巧與方法，特別是體會其中的轉化和思想方法。例2．如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，AF1ADa,且2G是EF的中點，z（Ⅰ）求證平面AGC⊥平面BGC；DC（Ⅱ）求GB與平面AGC所成角的正弦值.（Ⅲ）求二面角B—AC—G的大小.B解析：如圖，以A為原點建立直角坐標系，AyFGEx則A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a,a,0)，F(xiàn)(a,0,0)（I）證明：略．uuuruuur（II）由題意可得AG(a,a,0)，AC(0,2a,2a)，uuuruuurBG(a,a,0)，BC(0,0,2a)，設平面AGC的法向量為n1(x1,y1,1)，uuuruurAGn10ax1ay0x1uuuruur11由ACn102ay12a0y11n1(1,1,1)uuurursin|BGn1|2a6uuurur|BG||n1|2a33（III）因n1(x1,y1,1)是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，平面ABCD的法向量AF(a,0,0)，得uur|n1|cos| uur|n1|

uuurAF|a3uuur3a3，arccos3|AF|∴二面角B—AC—G的大小為3．感悟：因為二面角的大小有時為鈍角，有時為銳角、直角，所以在計算之前應先依題意判斷一下所求二面解的大小，然后根據(jù)計算取“相等角”或“補角”。例3如圖，四面體 ABCD中，O、E分別BD、BC的中點,CA=CB=CD=BD=2（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求異面直線 AB與CD所成角的大小；（Ⅲ）求點 E到平面的距離.本小題主要考查直線與平面的位置關系、異面直線所成的角以及點到平面的距離基本知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。（I）證明：連結 OCQBODO,ABAD,AOBD.QBODO,BCCD,COBD.在AOC中，由已知可得AO1,CO3.而AC2,AO2CO2AC2,AOC90o,即AOOC.QBDIOCO,AO平面BCD（II）解：以O為原點，如圖建立空間直角坐標系，則B(1,0,0),D(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,1),E(1,3uuuruuur,0),BA(1,0,1),CD(1,3,0).22uuuruuuruuuruuur2cosBA.CDBA,CDuuuruuur,BACD4異面直線 AB與CD所成角的大小為 arccos 2.4r(x,y,z),則（III）解：設平面ACD的法向量為nruuur(x,y,z).(1,0,1)0,xz0,n.ADruuur(x,y,z).(0,3,1)0,3yz0.n.ACr(3,1,3)是平面ACD的一個法向量。令y1,得nuuurruuur(1,3,0),ACD的距離hEC.n321.又EC點E到平面r22n77例4、如圖，已知三棱錐OABC的側棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA1，OB OC 2，E是OC的中點．1）求O點到面ABC的距離；2）求異面直線BE與AC所成的角；3）求二面角EABC的大小．解析:(1)以O為原點,OB、OC、OA分別為x、y、z軸建立空間直角坐標系.則有A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0).ur設平面ABC的法向量為n1(x,y,z),uruuururuuur則由n1AB:n1AB2xz0;uruuururuuur取由n1AC:n1AC2yz0.uruuurur(1,1,2)，則點O到面ABC的距離為dn1OA26.n1ur4n1113uuur(2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(2)EBuuur(0,2,1).ACuuuruuur22,所以異面直線BE與AC所成的角arccos2cos<EB,AC>5.555rruuurruuur2xz0;(3)設平面EAB的法向量為n(x,y,z),則由nAB知:nABruuurruuur2xy0.r(1,2,2).由nEB知:nEB取nur由(1)知平面ABC的法向量為n1(1,1,2).rurrurnn1124776.則cos<n,n>963618nn1結合圖形可知,二面角EABC的大小為:arccos76.18例5、在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如圖1）。將△AEF沿EF折起到 A1EF的位置，使二面角 A1－EF－B成直二面角，連結 A1B、A1P（如圖2）（Ⅰ）求證： A1E⊥平面BEP；（Ⅱ）求直線 A1E與平面A1BP所成角的大??；（Ⅲ）求二面角 B－A1P－F的大小（用反三角函數(shù)表示）圖1圖2解法:（1）作AH面BCD于H,連BH、CH、DH,則四邊形BHCD是正方形,且AH1,以D為原點,以DB為x軸,DC為y軸建立空間直角坐標系如圖 ,則B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1).uuuruuur(1,