空間向量的應(yīng)用-求空間角與距離

空間向量的應(yīng)用 ---- 求空間角與距離一、考點(diǎn)梳理自新教材實(shí)施以來(lái)，近幾年高考的立體幾何大題，在考查常規(guī)解題方法的同時(shí)，更多地關(guān)注向量法（基向量法、坐標(biāo)法）在解題中的應(yīng)用。坐標(biāo)法（法向量的應(yīng)用），以其問(wèn)題（數(shù)量關(guān)系：空間角、空間距離）處理的簡(jiǎn)單化，而成為高考熱點(diǎn)問(wèn)題。可以預(yù)測(cè)到，今后的高考中，還會(huì)繼續(xù)體現(xiàn)法向量的應(yīng)用價(jià)值。利用法向量求空間角和空間距離，其常用技巧與方法總結(jié)如下：求直線和直線所成的角若直線AB、CD所成的角是|AB?CD|，cos=|cosAB,CD|||CD||AB2).利用法向量求線面角為直線l與平面rr設(shè)所成的角，為直線l的方向向量v與平面的法向量n之間的夾角，則有 或 。2 2特別地 0時(shí)， ，l ； 時(shí)， 0，l 或lP 。計(jì)算公式為：2 2rrsin cos |rvgnr|或|v|g|n|sin sin()cos2

rrvgnr|v|g|n|

rrrr|vgn|rr(vgn0)|v|g|n|3).利用法向量求二面角rr分別為平面、的法向量，二面角l的大小為rr的設(shè)n、n，向量n、n1212夾角為，則有或。計(jì)算公式為：uuruuruuruurn1gn2coscosn1gn2coscosuuruuruuruur|n1|g|n2||n1|g|n2|4).利用法向量求點(diǎn)面距離如圖點(diǎn)P為平面外一點(diǎn)，點(diǎn)A為平面的任一點(diǎn)，平面的法向量為n,過(guò)點(diǎn)P作平面的垂線PO，記∠OPA=，則點(diǎn)P到平面的距離d|PO||PA|cosuuurruuur|n?PA||PA|ruuurr|n||PA|uuur|n?PA|uur|n|

PnAO5).法向量在距離方面除應(yīng)用于點(diǎn)到平面的距離外，還能處理異面直線間的距離，線面間的距離，以及平行平面間的距離等。 其一，這三類距離都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面間的距離； 其二，r異面直線間的距離可用如下方法操作：在異面直線上各取一點(diǎn)A、B，AB在n上的射影長(zhǎng)即rruuurruuur為所求。n為異面直線AD、BC公共垂直的方向向量，可由nAD0及nBC0求得，其計(jì)算公式為：uuruuurd|ngAB|r。其本質(zhì)與求點(diǎn)面距離一致。|n|向量是新課程中引進(jìn)的一個(gè)重要解題工具。 而法向量又是向量工具中的一朵廳葩， 解題方法新穎，往往能使解題有起死回生的效果，所以在學(xué)習(xí)中應(yīng)起足夠的重視。二、例分析例1已知ABCD是上、下底邊長(zhǎng)分別為2和6，高為3的等腰梯形，將它沿對(duì)稱軸OO1折成直二面角，如圖所示，（1）證明：ACBO1；（2）求二面角OACO1的大小。分析：題干給出一個(gè)直二面角和一條對(duì)稱軸OO1，易知OO1OB，OO1OA，故有著明顯的建系條件；另外給出梯形的邊長(zhǎng)、高，則各點(diǎn)坐標(biāo)較易求得。用坐標(biāo)法求解，可避開二面角的尋找、理推等困撓，只需先求面與面OAC的法向量，再用公式計(jì)算便可。第（1）問(wèn)的作用在于證明O1B面OAC，也就找到了一個(gè)法向量；而面O1AC的法ruuurruuuurx、y、z關(guān)系后，對(duì)z的取值要慎重，向量可用由nAC0及nOC0求得，只是解出1可先觀察二面角的大小是銳角、直角，還是鈍角。解：（1）證明：由題設(shè)知OO1OA、OO1OB，所以AOB是所折成的直二面角的平面角，即OAOB。故可以O(shè)為原點(diǎn)，OA、OB、OO1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)第，如圖，則相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)是：A(3,0,0)，B(0,3,0)，C(0,1,3)，O1(0,0,uuuruuuur(0,3,3)，3)，從而，AC(3,1,3)BO1uuuruuuurACBO13330，即ACBO1。uuuruuuur（2）解：因?yàn)?CBO13330，所以O(shè)CBO1。uuuur是平面OAC的一個(gè)法向量。由（1）ACBO1，所以BO1平面OAC，BO1rruuur(x,y,z)是平面OAC的一個(gè)法向量，由nAC03xy3z0設(shè)nruuuur0y0rnO1C取z(1,0,3)。3，得nruuuurruuuur設(shè)二面角OACO1的大小為，由n、BO1的方向可知n,BO1，ruuuurruuuur3所以coscosngBO1，即二面角OACO1的大小是n,BO1ruuuur4|n|g|BO1|3arccos 。感悟：（1）用法向量的方法處理二面角的問(wèn)題時(shí)，將傳統(tǒng)求二面角問(wèn)題時(shí)的三步曲：“找——證——求”直接簡(jiǎn)化成了一步曲：“計(jì)算”，這表面似乎淡化了學(xué)生的空間想象能力，但實(shí)質(zhì)不然，向量法對(duì)學(xué)生的空間想象能力要求更高，也更加注重對(duì)學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了教育改革的精神。2）利用坐標(biāo)法求解和距離，關(guān)鍵是有明顯或較為明顯的建系條件，從而建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系——盡可能多地使空間的點(diǎn)在坐標(biāo)軸上或坐標(biāo)平面，正確表達(dá)已知點(diǎn)的坐標(biāo)。在立體幾何數(shù)量關(guān)系的解決中，法向量的運(yùn)用可以使問(wèn)題簡(jiǎn)單化，其難點(diǎn)在于掌握和應(yīng)用法向量解決空間解和距離求法的常用技巧與方法，特別是體會(huì)其中的轉(zhuǎn)化和思想方法。例2．如圖，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，AF1ADa,且2G是EF的中點(diǎn)，z（Ⅰ）求證平面AGC⊥平面BGC；DC（Ⅱ）求GB與平面AGC所成角的正弦值.（Ⅲ）求二面角B—AC—G的大小.B解析：如圖，以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，AyFGEx則A(0,0,0)，B(0,2a,0)，C(0,2a,2a)，G(a,a,0)，F(xiàn)(a,0,0)（I）證明：略．uuuruuur（II）由題意可得AG(a,a,0)，AC(0,2a,2a)，uuuruuurBG(a,a,0)，BC(0,0,2a)，設(shè)平面AGC的法向量為n1(x1,y1,1)，uuuruurAGn10ax1ay0x1uuuruur11由ACn102ay12a0y11n1(1,1,1)uuurursin|BGn1|2a6uuurur|BG||n1|2a33（III）因n1(x1,y1,1)是平面AGC的法向量，又AF⊥平面ABCD，平面ABCD的法向量AF(a,0,0)，得uur|n1|cos| uur|n1|

uuurAF|a3uuur3a3，arccos3|AF|∴二面角B—AC—G的大小為3．感悟：因?yàn)槎娼堑拇笮∮袝r(shí)為鈍角，有時(shí)為銳角、直角，所以在計(jì)算之前應(yīng)先依題意判斷一下所求二面解的大小，然后根據(jù)計(jì)算取“相等角”或“補(bǔ)角”。例3如圖，四面體 ABCD中，O、E分別BD、BC的中點(diǎn),CA=CB=CD=BD=2（Ⅰ）求證：AO⊥平面BCD；（Ⅱ）求異面直線 AB與CD所成角的大?。唬á螅┣簏c(diǎn) E到平面的距離.本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力。（I）證明：連結(jié) OCQBODO,ABAD,AOBD.QBODO,BCCD,COBD.在AOC中，由已知可得AO1,CO3.而AC2,AO2CO2AC2,AOC90o,即AOOC.QBDIOCO,AO平面BCD（II）解：以O(shè)為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則B(1,0,0),D(1,0,0),C(0,3,0),A(0,0,1),E(1,3uuuruuur,0),BA(1,0,1),CD(1,3,0).22uuuruuuruuuruuur2cosBA.CDBA,CDuuuruuur,BACD4異面直線 AB與CD所成角的大小為 arccos 2.4r(x,y,z),則（III）解：設(shè)平面ACD的法向量為nruuur(x,y,z).(1,0,1)0,xz0,n.ADruuur(x,y,z).(0,3,1)0,3yz0.n.ACr(3,1,3)是平面ACD的一個(gè)法向量。令y1,得nuuurruuur(1,3,0),ACD的距離hEC.n321.又EC點(diǎn)E到平面r22n77例4、如圖，已知三棱錐OABC的側(cè)棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA1，OB OC 2，E是OC的中點(diǎn)．1）求O點(diǎn)到面ABC的距離；2）求異面直線BE與AC所成的角；3）求二面角EABC的大?。馕?(1)以O(shè)為原點(diǎn),OB、OC、OA分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.則有A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0).ur設(shè)平面ABC的法向量為n1(x,y,z),uruuururuuur則由n1AB:n1AB2xz0;uruuururuuur取由n1AC:n1AC2yz0.uruuurur(1,1,2)，則點(diǎn)O到面ABC的距離為dn1OA26.n1ur4n1113uuur(2,0,0)(0,1,0)(2,1,0),(2)EBuuur(0,2,1).ACuuuruuur22,所以異面直線BE與AC所成的角arccos2cos<EB,AC>5.555rruuurruuur2xz0;(3)設(shè)平面EAB的法向量為n(x,y,z),則由nAB知:nABruuurruuur2xy0.r(1,2,2).由nEB知:nEB取nur由(1)知平面ABC的法向量為n1(1,1,2).rurrurnn1124776.則cos<n,n>963618nn1結(jié)合圖形可知,二面角EABC的大小為:arccos76.18例5、在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點(diǎn)，滿足AE:EB＝CF:FA＝CP:PB＝1:2（如圖1）。將△AEF沿EF折起到 A1EF的位置，使二面角 A1－EF－B成直二面角，連結(jié) A1B、A1P（如圖2）（Ⅰ）求證： A1E⊥平面BEP；（Ⅱ）求直線 A1E與平面A1BP所成角的大??；（Ⅲ）求二面角 B－A1P－F的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）圖1圖2解法:（1）作AH面BCD于H,連BH、CH、DH,則四邊形BHCD是正方形,且AH1,以D為原點(diǎn),以DB為x軸,DC為y軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖 ,則B(1,0,0),C(0,1,0),A(1,1,1).uuuruuur(1,