數(shù)列通項(xiàng)公式求法集錦_第1頁(yè)
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文檔簡(jiǎn)介

數(shù)列通項(xiàng)公式的求法集形如anan1f

(n=2、3、4…...)f(1f(2f(n1例 在數(shù)列{

a1=anan1n

(n=2、3、4……),求

aa a4a3anan1n

n-ana112(n-1=

n(n1)故an

n(n1)

a1

n2n2

a11an

n2n2

(nN例2.在數(shù)列{ 中,a=, a2n(nN),求a n2時(shí),a2a1 aa 解:n=時(shí)

a4

n-

a ana12

...

1

22,故an

2a1

1且a11na2nn

nN)形如an

f

3.在數(shù)列ana1=an1nananan1

n=、2、3……(nn-a2.a3.

(n1)!故

(na1a2

aa0!=a

(n

(nN 滿足a=2,

naa

n1 an1

n1

n=,2,3,….(n上式得n-個(gè)等式累乘,即a2.a3.a4......an=12 na1a2

1an1,又因?yàn)閍2也滿足該式,所以a21

原數(shù)列

anan1banc或an1banfnn=bacnb、cfnn 滿足a=

=2a

解:構(gòu)造新數(shù)列anpp為常數(shù),使之成為公比是an2an1p2(an

an12anp使之滿足an12an

即a1是首項(xiàng)為a1=2,q=2的等比數(shù)列∴a1=2 a=2n 例6 理2)設(shè)數(shù)列{ 的首項(xiàng)a(0,1),a=3an1,n=2、3、 ()求an解:構(gòu)造新數(shù)列

p,使之成為q12即ap=1 整理得:a=1 3p滿足a=3 2 得3p= ∴p=- 即新數(shù)列a1首項(xiàng)為a1,q1 等比數(shù) 2例7(07理22)已知數(shù)列{ 中,a=2, =2

1)(a

nN()求

222解:構(gòu)造新數(shù)列anp,使之成為q 1的等比數(shù)22222222an1p=22222

1)(an

整理得an1=

1)an+

2)使之滿足已知條件

an1=

1)an+2

1)∴

2)p

1)解得22222p 22222

2是首項(xiàng)為2

q 12an =(22

2)

∴an=

1)n 中,a=, =2a3n,求數(shù)列的通項(xiàng)公式 新數(shù)列{a3n},其中為常數(shù),使之為公比是a n解:構(gòu)造數(shù)列{a3n}0q=2n 即 3n1=2(a3n 整理得: =2a(23n 滿足 =2a

23n3n1

1新數(shù)列{a3n是首項(xiàng)為na31=2,q=2的等比數(shù)列∴a3n=2 ∴a=3nn 例9(07文20)在數(shù)列{

a1=2an14an3n

,求數(shù)列的通項(xiàng)an解:構(gòu)造新數(shù)列{ann}q=4的等比數(shù)列,則an1(n14(an整理得:an1=4an3nan1=4an3n13n3n1n1∴新數(shù)列{ann的首項(xiàng)為a111,q=4nn∴ann

∴a4n122 數(shù)列{an既不等差,也不等比,遞推關(guān)系式形如 ba f(n) n同除以bn1后,想法構(gòu)造一個(gè)等差數(shù)列,從而間接求出an(07 滿足a 2n1(n2)且a81。求(1)a a、 (2)是否存在一個(gè)實(shí)數(shù),使此數(shù)列{an}為等差數(shù)列?若存在求出的值 an解:(1)由a=2a24 得a=33;又∵a=2a231=33得a=3 a2a221=3a (2假設(shè)存在一個(gè)實(shí)數(shù),使此數(shù)列{ana

a

2n1

1即 n1 =n =

=1 {an

a1∴

}為首

2,d=∴an1=2+(n1)1 ∴a=(n1)2n 例、數(shù)列{ 滿足 =2a(2)n1(nN),首項(xiàng)為a2,求數(shù)列{ 的項(xiàng)公式。解:a

兩邊同除以(2)n1

∴數(shù)列

}

=,d=

=+(n1)1nan例2.?dāng)?shù)列{ 中,a=5,且

3n

4……

{an,anan1 整理得a 3nd+3,讓該式滿足a 3n1∴取d a2

1

{an

2

2

a故 23(n1)1n

∴a=(n1)3n 例3(07理2在數(shù)列{

n1(2

(nN 其中>0,(求數(shù)列

an

2n1解 的底數(shù)與an的系數(shù)相同,則兩邊除

n

a

a

a即 n 1∴{n }是首項(xiàng)為 0,公差d=的等差數(shù)a

列 ∴ 0(n1)n1

n1)n2n兩邊同除以anan1后,相鄰兩項(xiàng)的倒數(shù)的關(guān)系容易求得,從而間接求出an。n例4、已知數(shù)列{ ,an

1,

nN,求a 1 解:把原式變形得

a

兩邊同除以a

11

n

n∴1是首項(xiàng)為1,d=111n1)(1na1 n 例5(06江西理22)已知數(shù)列{ 滿足a3,且a

(n2nN(求數(shù)列

n解:把原式變形成2anan1(n1)an 兩邊同除以anan1n1n1

⑴構(gòu)造新數(shù)列n}q=1 3 列

n1n1

n12

滿足⑴式使2

∴數(shù)列n1}

1

1

1

n 1 (a

(

an 3 3(06 滿足:a3,且2an1

a 2a

nnnN求數(shù)列n

解:把原式變形為2an1ananan1(2anan1 兩邊同除以anan1a

2an

a

an12(

an 所以新數(shù)列{aan}是首項(xiàng)為aa133 q=2的等比數(shù)列 故1a1 解關(guān)于a的方程得a1(2n1

22n29)a33 a33n六.利用公式anSnSn1(n2有些數(shù)列給出{

的前nSnan的關(guān)系式Sn

f(an),利用該式寫出Sn1f(an1,兩式做差,再利用an1Sn1Snan1與an的遞推式,從而求出an7.(072題)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列ann項(xiàng)和為SnS1>16Sn(a1)(a2)n∈N求{ 的通項(xiàng)公式 解:由aS1(a1)(a2)解得a=a=2,由已知

S>1,因此a=2

S=1

2)1(a

2)

(an1an)(an1an3) ∵an>0∴an1an從而

的通項(xiàng)為an=2+3(n3n例8.(07陜西理22)已知各項(xiàng)全不為0的數(shù)列{ 的前k項(xiàng)和為S,且S=1a

kN)其中a=,求數(shù)列{

2kk 解:當(dāng)k=時(shí),aS=1aa及a=得a 當(dāng)k≥2時(shí) 21 aS

=1a

1

a

)=2a∵a≠0∴

k

2kk

2k1

k

k

k

k 從而a2m1=+(m- =2+(m-)2=2m(m∈N 故a (k∈ 例9.(07福建文2)數(shù)列{ 的前n項(xiàng)和為S,a=,

(n∈N),求{ 的n

解:由a=a2S=2n≥2aS

=1 a)得an1=3,因此{(lán)

n n首項(xiàng)為a=2,q=3的等比數(shù)列。故a23n2(n≥2),而a= 所以an

(n例20.(06Ⅰ理22)該數(shù)列{ 的前n項(xiàng)和

4a12n1

(n=、2、3……)nan

3

4a12n12(n=、2、3……)…①得aS=4a14 3 3 所以a 再

=4 12n

(n=2、

將①和②相減得:a=S =4(a )1(2n12n 整理得a2n 2n1)(n=23…)因而數(shù)列{a2n是首項(xiàng)為a24 的等比數(shù)列。即a2n44n14n,因而a4n2n。 有時(shí)數(shù)列

an與bn關(guān)于an和bn的方程組,然后解新方程組求得an和bn

2(072題

n滿足a=2,b=

(n2),求數(shù)列

,{

解析:兩式相加得anbnan1bn1

則an

是首項(xiàng)為a1b13,d=2列,故anbn=3+2(n-) (而兩式相減得

b=1

1

=1

則a

是首項(xiàng)為

b=,q=

1

的等比數(shù)列,故anbn

anbn2n聯(lián)立()、(2)

由此得

n11n,

n11nab

1

(( (( (2)

例22.在數(shù)列{ { 中a=2,b=且an12an6bn(n∈N求數(shù)列{ 和{

bn1anan1與bn1做和或做差已無規(guī)律可循。不妨構(gòu)造新數(shù)列{an0

=

7b)=(2

+(7

=(2

76b

令76得=2或=3則ab為首項(xiàng)ab,q=+2 即=2時(shí),a2b4,q=4的等比數(shù)列,故a2b=4×4n14n =3時(shí),{a 是首項(xiàng)為5,q=5的等比數(shù)列,故a

=5×5n1= 聯(lián)立二式

n

解得a34n25nb5n4n

n

22解:構(gòu)造新數(shù)列anbnab=(31

+(13

+(1)=3

13

3

n1令13得=或1即=時(shí),新數(shù)列a

b=

3

∴(anbn)(an1bn1)

新數(shù)列an

是首項(xiàng)為a1b13,d=2anbn32(n1)2n1當(dāng)1時(shí),新數(shù)列a

是首項(xiàng)為ab=,q=1 1

∴anbn=2 anbn2n 聯(lián)立、(2)

得an11 ,bn11abab 2

22 22

例23.在數(shù)列{ 中,ab1,且an15an15bn(n∈N求{

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