函數(shù)的平均變化率2

變化率問一教設(shè)意客觀世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始終都在運(yùn)動(dòng)和變化著，因此，在數(shù)學(xué)中引入變量的概念（函數(shù)）后，就有可能把運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象用數(shù)學(xué)來加以描述.隨著對(duì)函數(shù)的研究的不斷深化產(chǎn)生了微積分它數(shù)學(xué)發(fā)展史上重要的里程碑?dāng)?shù)是微積分的核心概念之一數(shù)究的問題即變化率問題究某個(gè)變量相對(duì)于另一個(gè)變量變化的快慢程度。變化率問題的發(fā)展具有豐富的歷史背景，涉及類比符化等重要的數(shù)學(xué)思想，是典型的數(shù)學(xué)抽象過教材分“變化率問題”是高中導(dǎo)數(shù)教學(xué)的開始，是導(dǎo)數(shù)概念建立的核心，是研究瞬時(shí)變化率及其導(dǎo)數(shù)概念的基礎(chǔ)，在整個(gè)導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)中占有極其重要的地教通過研究學(xué)生熟悉的“氣球膨脹率水這個(gè)活實(shí)例，歸納出它們的共同特征，抽象出一般函數(shù)平均變化率概念使學(xué)生理解平均變化刻畫了函數(shù)在某一區(qū)間上的變化情況掌握求平均變化率的一般步驟在一過程中滲從特殊到一般的化歸思想，數(shù)形結(jié)合思想，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)抽象的過程.學(xué)情分學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容之前，學(xué)生具備了一定的函數(shù)知識(shí)，可以通過表格、圖像、關(guān)系式三種不同的函數(shù)表現(xiàn)形式，求解函數(shù)在某一區(qū)間內(nèi)“因變量的增量與自變量的增量的比值，并能從圖像中看出函數(shù)變化的快與慢同時(shí)學(xué)生已在物理中學(xué)習(xí)平均速度、瞬時(shí)速度、加速度等概念，比較容易理解可以用“平均速度”刻畫物體在一段時(shí)間內(nèi)的速.教學(xué)任教學(xué)目標(biāo)）知識(shí)與技能通過豐富的實(shí)例，讓學(xué)生經(jīng)歷平均變化率概念的形成過程，體會(huì)平均變化率是刻畫變量變化快慢程度的一種數(shù)學(xué)模型.（2過程與方法理解平均變化率的概念了解平均變化率的幾何意義計(jì)算函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上的平均變化率（3情感、態(tài)度與價(jià)值觀感受數(shù)學(xué)模型刻畫客觀世界的作用數(shù)抽象的過程步領(lǐng)會(huì)變量數(shù)學(xué)的思想，提高分析問題、解決問題的能.oooo教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)平均變化率的概.教學(xué)難點(diǎn)：函數(shù)平均變化率的概念形成過程的抽.二教過設(shè)【題境情境：在經(jīng)營某商品中，甲掙到10萬，乙掙到2萬，如何比較和評(píng)價(jià)甲、乙兩人的經(jīng)營成果；在經(jīng)營某商品中，甲用5年間掙到萬元，乙用5個(gè)月時(shí)間掙到元，如何比較和評(píng)價(jià)甲、乙兩人的經(jīng)營成師生活動(dòng)：學(xué)生小組討論后一致認(rèn)為，問題）不能很好的評(píng)價(jià)兩人的經(jīng)營成果，因?yàn)橹挥幸粋€(gè)變量，而問題）兩個(gè)變量，通過計(jì)算、乙兩人的月平均收入，發(fā)現(xiàn)乙的經(jīng)營成果好于甲.設(shè)計(jì)意圖通兩個(gè)實(shí)例分析讓學(xué)生明白僅僅比較一個(gè)變量的變化是不科學(xué)的，引導(dǎo)學(xué)生從平均變化去分析問題情境：現(xiàn)有株洲市某年3月18日4月20日每天氣溫最高溫度統(tǒng)計(jì)圖：（注：月日為第一天）你從圖中獲得了哪些信息？在4月18日20日株市市民普遍感“氣溫驟”而在3月18日4月18日卻沒有這樣的感覺，這是什么原因怎樣從數(shù)學(xué)的角度描氣溫變化的快慢程度呢師生討論，教師板書總結(jié)：分析：這一問題中，存在兩個(gè)變時(shí)和氣，當(dāng)時(shí)間從到32氣溫從3.5C增加到18.6，氣溫平均變化

18.63.532

，oooo當(dāng)時(shí)間從32到氣溫從C增加到氣溫平均變化

33.434

，因?yàn)?.4>0.5,所以，從32日日氣溫變化的更快教師過渡:“

3.532

表示時(shí)間從3月18日4月”時(shí)，氣溫的平均變化率提出問題：先說一說“平均”的含義，再說一說你對(duì)“溫平均變化率”的理解。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生經(jīng)歷討論、計(jì)算后，能從數(shù)學(xué)的角度去分溫增，會(huì)在不同的區(qū)間內(nèi)平均變化率的不同，潛意識(shí)地讓學(xué)生能抽象出平均變化率這一概念?！咀骶刻骄恳唬焊吲_(tái)跳水人們把高臺(tái)跳水稱之中芭蕾水中動(dòng)相對(duì)于水面的高度位：）起跳后的時(shí)間t（位：）存在函數(shù)關(guān)系：t)6.5

（單如果我們用該運(yùn)動(dòng)員在某段時(shí)間內(nèi)的平均速度

v

描述其運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，則：（1該運(yùn)動(dòng)員在

0.5

這段時(shí)間里的平均速度是多少？（2該運(yùn)動(dòng)員在

這段時(shí)間里的平均速度是多少？師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立的計(jì)算出：在

0.5

這段時(shí)間里v

h(0)

4.05(/s)

；在

這段時(shí)間里v

h(1)2

/s)思考：當(dāng)時(shí)間t增加到時(shí)該運(yùn)動(dòng)員的平均速度怎么計(jì)算？師生活動(dòng)：學(xué)生通過問題1解決，討論后自然得出ht)(t)v1t21設(shè)計(jì)意圖學(xué)動(dòng)手計(jì)算平均速在計(jì)算的過程中感受求平均速度的方法一步為平均變化率的的概念的發(fā)生作準(zhǔn)備探究二：曲線割線的斜率已知曲線

f(x)x

3

（1過曲線上兩點(diǎn)

O(0,f

和

f(2))

的割線的斜率是多少？（2過曲線上兩點(diǎn)

Q(1,f(1))

和

f(2)

的割線的斜率是多少？（3過曲線上兩點(diǎn)

f和Pf(2))

的割線的斜率是多少？師生活動(dòng)：學(xué)生利用求直線斜率公式很容易算出：（1

k

OP

f(2)f(0)82

；

kk

MP

f(2)f2ff272思考：過曲線上兩點(diǎn)

P

和

Q(1

作曲線的割線，則割線的斜率是多少？師生活動(dòng)：通過前面的活動(dòng)，結(jié)合求直線斜率的公式，學(xué)生容易得出：k

(1設(shè)計(jì)意圖通問題的解決，能學(xué)生用平均變化率的大小來描述曲線之陡”的變化程度，為闡述平均變化率的幾何意義作準(zhǔn).【構(gòu)識(shí)問題通過上面的問題的解決，你認(rèn)為可用怎樣的數(shù)學(xué)模型刻畫變量變化快慢的程度？學(xué)生回答：用平均變化率來刻畫變量變化快慢的程度。問題：如果上面的問題中的函關(guān)系用可以用什么樣的式子表示？fx)fx)1學(xué)生回答：x1師生一起歸納：．平均變化率的定義：

yf(x

表示，那么，問題中的平均變化率對(duì)于函數(shù)

yf(x

，給定自變量的兩個(gè)值x和x，當(dāng)自變量從變?yōu)閤時(shí)函數(shù)22值從

fx)

變?yōu)?/p>

f(x)

，我們把式子

fx)fx)1x1

稱為函數(shù)

f()

從

x到x

的平均變化率。習(xí)慣上用表示，即x，把作是相對(duì)于x的個(gè)增量”，121可用

代替

；類似地，

fx)f()1

，于是，平均變化率可表示為

。．求平均變化率的步驟：(1)求自變量的增量

x

；(2)求函數(shù)值的增量

(x)fx)1

；(3)計(jì)算平均變化率

f()(x)21

。計(jì)算，時(shí)注意“被減數(shù)”和“減數(shù)”的前后對(duì)應(yīng)關(guān)系，比如：若函數(shù)值的增量為

(xfx00

，則相應(yīng)的自變量的增量為(200

。設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生能從問題情景中抽象出平均變化率的概念，體會(huì)知識(shí)的產(chǎn)生、發(fā)展，并潛移默化的滲透從具體背景中抽象出一般規(guī)律和結(jié)構(gòu)，并用數(shù)學(xué)語言予以表征?！咀R(shí)用例1：已知某物體的運(yùn)動(dòng)方程為

t（的位，的位：s）求（）物體在

t00

這段時(shí)間里的平均速度；（）斷該物體在

0

和

2

這兩段時(shí)間里哪一段的平均速度大。師生活動(dòng)：學(xué)生先獨(dú)立完成，然后小組討論，每組派一名代表匯報(bào)本組成果。解）

v

[(t

2(t)](t0

t)

2(/

；（2在

這段時(shí)間的平均速度是

v5(/)1

，在

這段時(shí)間的平均速度是

v7(m)2

，因此，在

這段時(shí)間的平均速度大例2：已知函數(shù)

f()2x2x

。（）當(dāng)

且

時(shí)，函數(shù)的平均變化率

；（）當(dāng)

且

時(shí)，函數(shù)的平均變化率

；（）設(shè)

x

，分析（1）問中的平均變率的幾何意義。解：函數(shù)的平均變化率

f((x)11x

，xx所以）

21

；（2

設(shè)計(jì)意圖通過練習(xí)讓生從不同的角度再一次認(rèn)識(shí)函數(shù)的平均變化率且化學(xué)生應(yīng)用知識(shí)解決問題.【識(shí)建】問題：結(jié)合前面所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，你認(rèn)為函數(shù)平均變化率的幾何意義是什么？師生活動(dòng)：學(xué)生小組討論，每個(gè)小組派代表發(fā)言。

yy

f

f

f

x

師生歸納：函數(shù)平均變化率的幾何意義：

x設(shè)

(x,f(x

，

(x,x2

是曲線

yf()

上任意不同的兩點(diǎn)，函數(shù)

f()

的平均變化率

f(x)f()f(xf()22

為割線

的斜率。設(shè)計(jì)意圖：體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生不要“得數(shù)忘形【礎(chǔ)測(cè)檢效】在平均變化率中，自變量的增量應(yīng)足（）

C.

0

2設(shè)函數(shù)

yf()

，當(dāng)自變量x由x改到x00

時(shí)，函數(shù)值的改變量）

f(x0

f(x)0

C.

f()0

ff()0一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是

t

，則在時(shí)間段

1,1

內(nèi)相應(yīng)的平均速度為（）

2

C.

2

已函數(shù)

fx)2

2

圖像上一點(diǎn)

及鄰近一點(diǎn)

(1

，則

設(shè)計(jì)意圖：落實(shí)課堂效果.【堂結(jié)從知識(shí)角度分析：．函數(shù)的平均變化率可以表示函數(shù)值在某個(gè)范圍內(nèi)變化的快慢；平均變化率的幾何意義是曲線割線的斜率，是曲線陡峭程度的“數(shù)量化際問題中表示事物變化的快慢．．求函數(shù)fx)的平均變化率的步驟：(1)求函數(shù)值的增Δy＝f)－(x)22121Δyf（）fx）(2)計(jì)算平均變化率＝.Δx－x21從數(shù)學(xué)思想方法角度分析：從實(shí)例出發(fā)，抽象出函數(shù)平均變化率的概念、計(jì)算方法，體現(xiàn)了歸納猜想，數(shù)學(xué)抽象，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想。設(shè)計(jì)意圖：梳理知識(shí)，歸納方法、體會(huì)思【識(shí)探】探究：在高臺(tái)跳水問題中，請(qǐng)完成下列問題（1計(jì)算該運(yùn)動(dòng)員在

0

6549

這段時(shí)間里的平均速度；運(yùn)動(dòng)員在這段時(shí)間里是靜止的嗎？你認(rèn)為用平均速度描述運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有什么問題？師生活動(dòng)：學(xué)生經(jīng)過計(jì)算驚訝的發(fā)現(xiàn)在

0

6549

這段時(shí)間里的平均速度是v

()(0)

。但運(yùn)動(dòng)員又是不可能靜止的，這是為什么呢？師生討論后得出結(jié)論平均速度不能反映出運(yùn)動(dòng)狀態(tài)別是當(dāng)運(yùn)動(dòng)方向改變時(shí)平均速度反映不出物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)。設(shè)計(jì)意圖學(xué)知道均速度只能粗略地描述運(yùn)動(dòng)狀態(tài)能反映物體的瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，要反映每一時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)需學(xué)習(xí)后面的內(nèi)容才能做到學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)起到承前啟后的作用?！緦W(xué)思數(shù)學(xué)概的形成是水到渠成的函數(shù)平均變化率概念的發(fā)現(xiàn)過程是典型的數(shù)學(xué)抽象過程過問題情景合作探究在學(xué)生活動(dòng)思過程中不斷的提供契機(jī)讓學(xué)生再創(chuàng)造函數(shù)平均變化率概念讓學(xué)生積累從具體到抽象的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).數(shù)學(xué)核