【走向高考】高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 132坐標(biāo)系與參數(shù)方程課件（北師大）

知識(shí)梳理1．極坐標(biāo)系在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，從O點(diǎn)引一條射線

，叫作極軸，選定一個(gè)單位長度和角的正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就確定了一個(gè)平面極坐標(biāo)系，簡稱為極坐標(biāo)系．對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，用ρ表示線段OM的長，θ表示以

為始邊，OM為終邊的角度，ρ叫作點(diǎn)M的

，θ叫做點(diǎn)M的

，有序?qū)崝?shù)對(duì)(ρ，θ)叫作點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(ρ、θ)．OxOx極徑極角當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí)，它的極徑ρ＝0，極角θ可以取任意值；當(dāng)ρ＜0時(shí)，點(diǎn)M(ρ、θ)的位置可以按下列規(guī)則確定：作射線OP，使∠xOP＝θ，在OP的反向延長線上取一點(diǎn)M，使|OM|＝|ρ|，這樣點(diǎn)M的坐標(biāo)就是(ρ，θ)．平面內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)可以有無數(shù)對(duì)，當(dāng)k∈Z時(shí)，

表示同一個(gè)點(diǎn)．(ρ，θ)，(ρ，θ＋2kπ)，(－ρ，θ＋(2k＋1)π)2．極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化設(shè)M是平面內(nèi)的任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(ρ、θ)，如果限定ρ取正值，θ∈[0,2π)，那么除原點(diǎn)外，平面內(nèi)點(diǎn)的直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)之間就是一一對(duì)應(yīng)的．點(diǎn)M的極坐標(biāo)(ρ，θ)和直角坐標(biāo)(x，y)的關(guān)系式為：

.θ所取值要由(x，y)所在象限確定．3．柱坐標(biāo)在平面極坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，通過極點(diǎn)O，再增加一條與極坐標(biāo)系所在平面垂直的z軸，這樣就建立了柱坐標(biāo)系，設(shè)M(x，y，z)為空間一點(diǎn)并設(shè)點(diǎn)M在xOy平面上的投影點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(r、θ)則這樣的三個(gè)數(shù)r，θ，z構(gòu)成的有序數(shù)組(r，θ，z)就叫做點(diǎn)M的柱坐標(biāo)，這里規(guī)定r，θ，z的變化范圍為0≤r＜＋∞0≤θ＜2π－∞＜z＜＋∞特別地，r＝常數(shù)，表示的是

；θ＝常數(shù)，表示的是

；z＝常數(shù)，表示的是

．顯然點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與柱坐標(biāo)的關(guān)系為

.以z軸為軸的圓柱面過z軸的半平面與xOy平面平行的平面特別地r＝常數(shù)，表示的是

；φ＝常數(shù)，表示的是

；θ＝常數(shù)，表示的是

．點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與球坐標(biāo)的關(guān)系為：

.以原點(diǎn)為球心的球面原點(diǎn)為頂點(diǎn)，z軸為x軸的圓錐面平行于z軸的半平面5．直線的參數(shù)方程經(jīng)過點(diǎn)P(x0，y0)，傾斜角是α的直線的參數(shù)方程為經(jīng)過過兩兩個(gè)個(gè)定定點(diǎn)點(diǎn)Q(x1，y1)P(x2，y2)(其其中中x1≠x2)的的直直線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程為為6．．圓圓的的參參數(shù)數(shù)方方程程7．．圓圓錐錐曲曲線線的的參參數(shù)數(shù)方方程程(1)橢橢圓圓的的參參數(shù)數(shù)方方程程[點(diǎn)點(diǎn)評(píng)評(píng)]注意意轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化時(shí)時(shí)兩兩邊邊同同乘乘以以ρ的技技巧巧．．結(jié)結(jié)合合圓圓的的位位置置關(guān)關(guān)系系及及兩兩圓圓長長度度的的最最大大值值在在何何時(shí)時(shí)取取得得，，即即可可解解得得．．[例例2]O為已已知知圓圓O′外外的的定定點(diǎn)點(diǎn)，，點(diǎn)點(diǎn)M在圓圓O′上上，，以以O(shè)M為邊邊作作正正三三角角形形OMN，當(dāng)當(dāng)點(diǎn)點(diǎn)M在圓圓O′上上移移動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)，，求求點(diǎn)點(diǎn)N的軌軌跡跡方方程程(O，M，N逆時(shí)時(shí)針針排排列列)．．[解解析析]以O(shè)為極極點(diǎn)點(diǎn)，，以以O(shè)和已已知知圓圓圓圓心心O′所所在在射射線線為為極極軸軸，，建建立立極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系，，如如圖圖5所所示示，，設(shè)設(shè)OO′＝＝ρ0，圓圓的的半半徑徑為為r，由余余弦弦定定理理得得圓圓O′的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程為為ρ2－2ρ0ρcosθ＋ρ02－r2＝0.設(shè)N(ρ，θ)，，M(ρ1，θ1)，，∵點(diǎn)M在圓圓上上，，∴ρ12－2ρ0ρ1cosθ1＋ρ02－r2＝0.①因?yàn)闉椤鱋MN為正正三三角角形形．．[點(diǎn)點(diǎn)評(píng)評(píng)]對(duì)于于有有些些幾幾何何圖圖形形，，選選用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系可可以以使使建建立立的的方方程程更更加加簡簡單單．．本本題題涉涉及及角角度度、、長長度度，，選選用用極極坐坐標(biāo)標(biāo)系系則則更更易易將將已已知知的的幾幾何何條條件件轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化化為為數(shù)數(shù)量量關(guān)關(guān)系系．．⊙O1和⊙O2的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程分分別別為為ρ＝4cosθ，ρ＝－－4sinθ.(1)寫寫出出⊙O1和⊙O2的圓圓心心的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)；；(2)求求經(jīng)經(jīng)過過⊙O1和⊙O2交點(diǎn)點(diǎn)的的直直線線的的極極坐坐標(biāo)標(biāo)方方程程．．(2)以以極點(diǎn)為為原點(diǎn)，，極軸為為x軸正半軸軸，建立立平面直直角坐標(biāo)標(biāo)系，兩兩坐標(biāo)系系中取相相同的長長度單位位．x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，由ρ＝4cosθ得ρ2＝4ρcosθ.所以x2＋y2＝4x.即x2＋y2－4x＝0為⊙O1的直角坐坐標(biāo)方程程．同理x2＋y2＋4y＝0為⊙O2的直角坐坐標(biāo)方程程．[例3]已知知直線l經(jīng)過點(diǎn)A(1,2)，傾傾斜角為為(1)求求直線l的參數(shù)方方程；(2)求求直線l和圓x2＋y2＝9的兩兩個(gè)交點(diǎn)點(diǎn)到點(diǎn)A的距離之之積．[分析]根據(jù)直線線參數(shù)方方程中參參數(shù)t的幾何意意義，運(yùn)運(yùn)用一元元二次方方程根與與系數(shù)的的關(guān)系求求解．[例4]在圓圓x2＋y2－4x－2y－20＝＝0上求求兩點(diǎn)A和B，使它們們到直線線4x＋3y＋19＝＝0的距距離分別別最短和和最長．．[分析]利用圓的的參數(shù)方方程求解解．1．關(guān)于于平面直直角坐標(biāo)標(biāo)系中的的伸縮變變換函數(shù)y＝f(ωx)(x∈R)(其中中ω＞0，且且ω≠1)的的圖像，，可以看看作把f(x)圖像上上所有點(diǎn)點(diǎn)的橫坐坐標(biāo)縮短短或伸長長為原來來的(縱坐坐標(biāo)不變變)而得得到的．．函數(shù)y＝Af(x)(x∈R)(其中中A＞0且A≠1)的的圖像，，可以看看作f(x)圖像上上所有點(diǎn)點(diǎn)的縱坐坐標(biāo)伸長長(當(dāng)A＞1時(shí))或縮短短(當(dāng)0＜A＜1時(shí))到原來來的A倍(橫坐坐標(biāo)不變變)而得得到的．．2．關(guān)于于極坐標(biāo)標(biāo)系(1)極極坐標(biāo)系系的四要要素：①極點(diǎn)；②極軸；③長度單位位；④角度單位位和它的的正方向向，四者者缺一不不可．(2)由由極徑的的意義知知ρ≥0，當(dāng)當(dāng)極角θ的取值范范圍是[0,2π)時(shí)時(shí)，平面面上的點(diǎn)點(diǎn)(除去去極點(diǎn))與極坐坐標(biāo)(ρ，θ)(ρ≠0)建建立一一一對(duì)應(yīng)關(guān)關(guān)系，約約定極點(diǎn)點(diǎn)的極坐坐標(biāo)是極極徑ρ＝0，極極角可取取任意角角．(3)極極坐標(biāo)與與直角坐坐標(biāo)的重重要區(qū)別別：多值值性．在在直角坐坐標(biāo)系中中，點(diǎn)與與直角坐坐標(biāo)是““一對(duì)一一”的關(guān)關(guān)系；在在極坐標(biāo)標(biāo)系中，，由于終終邊相同同的角有有無數(shù)個(gè)個(gè)，即點(diǎn)點(diǎn)的極角角不唯一一，因此此點(diǎn)與極極點(diǎn)是““一對(duì)多多”的關(guān)關(guān)系．但但不同的的極坐標(biāo)標(biāo)可以寫寫出統(tǒng)一一的表達(dá)達(dá)式．如如果(ρ，θ)是點(diǎn)M的極坐標(biāo)，那那么(ρ，θ＋2kπ)或(－ρ，θ＋(2k＋1)π)(k∈Z)都可以作為為點(diǎn)M的極坐標(biāo)．3．參數(shù)方程程和普通方程程的互化(1)化參數(shù)數(shù)方程為普通通方程：消去去參數(shù)．常用用的消參方法法有代入消去去法、加減消消去法、恒等等式(三角的的或代數(shù)的)消去法．(2)化普通通方程為參數(shù)數(shù)方程：引入入?yún)?shù)，即選選定合適的參參數(shù)t，先確定一個(gè)個(gè)關(guān)系x＝f(t)〔或y＝φ(t)〕，再代入入普通方程F(x，y)＝0，求得得另一關(guān)系y＝φ(t)〔或x＝f(t)〕．(3)消參后后應(yīng)將原參數(shù)數(shù)的取值范圍圍相應(yīng)地轉(zhuǎn)化化為變量x(或y)的取值范圍圍．4．直線與圓圓錐曲線的參參數(shù)方程的應(yīng)應(yīng)用(1)根據(jù)直直線的參數(shù)方方程的標(biāo)準(zhǔn)式式中t的幾何意義，，有如下常用用結(jié)論：①直線與圓錐曲曲線相交，交交點(diǎn)對(duì)應(yīng)的