【講座】新高考下的數(shù)學(xué)教學(xué)變革第一部分

新高考下的數(shù)學(xué)教學(xué)變革新高考提出的背景

2013年，《中共中央關(guān)于全面深化改革若干重大問題的決定》指出高考改革的方向：“探索全國統(tǒng)考減少科目、不分文理科、外語等科目社會(huì)化考試一年多考。”

新高考改革后，統(tǒng)考科目只有語文、數(shù)學(xué)、外語三門。這些學(xué)科作為基礎(chǔ)學(xué)科，在自然科學(xué)、社會(huì)科學(xué)、人文科學(xué)等領(lǐng)域的發(fā)展中發(fā)揮著重要的作用，對于學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)至關(guān)重要。因此，在新高考中對三個(gè)統(tǒng)考科目提出了新的功能定位和更高的區(qū)分選拔要求。新高考提出的背景

2016年，教育部考試中心開始高考評(píng)價(jià)體系的研制工作，明確了明確了考查目標(biāo)：

確定數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)內(nèi)涵，研究核心素養(yǎng)的考查方式，精選考試內(nèi)容，優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)，創(chuàng)新題型設(shè)計(jì)，確定面向全體考生的難度調(diào)控體系，構(gòu)建新高考數(shù)學(xué)學(xué)科化、具體化的基本框架，貫徹落實(shí)新一輪高考改革中提出的新理念，實(shí)現(xiàn)學(xué)科考試新的突破。

明確了考查要求：

新高考數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容改革的目標(biāo)是建立文理不分科的數(shù)學(xué)科統(tǒng)一考試體系，滿足高校各專業(yè)對考生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本能力的共同要求；突出數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)性，綜合性、應(yīng)用性和創(chuàng)新性；數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與數(shù)學(xué)教學(xué)Key

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NortheastNormalUniversity二、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)表述與內(nèi)涵數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)：經(jīng)過數(shù)學(xué)教育，對于培養(yǎng)什么樣的人的描述數(shù)學(xué)教育的終極目標(biāo)（與人的行為有關(guān)）：

會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界

會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考世界

會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界數(shù)學(xué)眼光：數(shù)學(xué)抽象、直觀想象；數(shù)學(xué)特征：數(shù)學(xué)的一般性數(shù)學(xué)思維：邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算；數(shù)學(xué)特征：數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性數(shù)學(xué)語言：數(shù)學(xué)模型、數(shù)據(jù)分析；數(shù)學(xué)特征：應(yīng)用的廣泛性因此，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)是“三維目標(biāo)”“四基”的繼承和發(fā)展新高考的變化給高中數(shù)學(xué)教學(xué)帶來的變化教思維01教方法0203教觀點(diǎn)課例1：《正弦函數(shù)y=sinx的圖象與性質(zhì)》

本節(jié)課授課教師的教學(xué)邏輯是先從正弦函數(shù)y=sinx的圖象中去觀察性質(zhì)，再利用函數(shù)解析式也就是利用正弦函數(shù)的誘導(dǎo)公式去證明所發(fā)現(xiàn)的性質(zhì).課堂教學(xué)中所呈現(xiàn)的思維方法是：你怎么評(píng)價(jià)這節(jié)課呢？

這節(jié)課的教學(xué)邏輯主線是用正弦函數(shù)的解析式和圖象研究其性質(zhì).但是正弦函數(shù)y=sinx的圖象與其解析式的邏輯關(guān)系教師要清楚.

圖象的確是能夠幫助我們直觀地得到函數(shù)的一些性質(zhì)，但是在教學(xué)中，為了培養(yǎng)學(xué)生能夠通過研究函數(shù)解析式來研究函數(shù)性質(zhì)的能力，函數(shù)圖象的地位就要讓位于函數(shù)解析式.

盡管正弦函數(shù)y=sinx的解析式很特殊，是一種符號(hào)化的解析式，但是根據(jù)正弦函數(shù)的定義并借助單位圓，我們還是可以讓學(xué)生去感受自變量x的變化是如何影響到因變量y的變化的，正弦函數(shù)y=sinx的性質(zhì)通過誘導(dǎo)公式也是可以體現(xiàn)的.

因此運(yùn)用正弦函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式研究其性質(zhì)，就是在利用正弦函數(shù)的解析式研究其性質(zhì)的，這一點(diǎn)要讓學(xué)生能夠通過教師的教學(xué)感受到.

如在教學(xué)的最初的引入階段，就引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合函數(shù)的圖象得到了函數(shù)的值域y∈[-1,1]，這個(gè)結(jié)果的得出看似簡單，輕而易舉，但實(shí)際上是有邏輯缺失的.因?yàn)樵陔S后的函數(shù)最值的研究就顯得不合時(shí)宜.

在最值研究之后再去研究正弦函數(shù)的單調(diào)性，知識(shí)之間的邏輯關(guān)系基本支離破碎了.

教學(xué)中呈現(xiàn)出來的知識(shí)邏輯混亂，直接導(dǎo)致課堂教學(xué)中的思維邏輯也就沒有了章法.

類似的問題還出現(xiàn)在對正弦函數(shù)對稱性的研究上.對正弦函數(shù)是奇函數(shù)研究完之后，就轉(zhuǎn)而去研究其周期性、最值、單調(diào)性，最后又回到正弦函數(shù)的對稱性的研究上，即關(guān)于點(diǎn)對稱和關(guān)于直線x=a對稱.

如果是學(xué)生在小組討論之后陳述的性質(zhì)沒有邏輯，比較凌亂可以理解，但是作為教師在分析學(xué)生的研究成果的時(shí)候，是不是要能夠把丟失的數(shù)學(xué)知識(shí)之間的邏輯關(guān)系修補(bǔ)好，讓學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中，能夠從老師的指導(dǎo)中，感受到知識(shí)之間的邏輯關(guān)系和在此基礎(chǔ)上的思維邏輯.

這節(jié)課的一開始，就是教師引導(dǎo)學(xué)生利用五點(diǎn)法作圖畫出一個(gè)周期內(nèi)的正弦函數(shù)圖象，之后通過平移得到函數(shù)在定義域R內(nèi)的圖象.

這個(gè)過程本質(zhì)上就是利用了正弦函數(shù)y=sinx的周期性質(zhì).

如果我們引導(dǎo)學(xué)生通過利用周期性質(zhì)做出的正弦函數(shù)y=sinx圖象去研究正弦函數(shù)的周期性，是不是有些滑稽.

由于研究正弦函數(shù)的性質(zhì)的確是需要借助正弦函數(shù)的圖象，因此，正弦函數(shù)y=sinx的周期性質(zhì)是不是就可以提前去研究和討論，畢竟這條性質(zhì)是三角函數(shù)所獨(dú)有的，與其它性質(zhì)沒有必然的聯(lián)系，而不要如上述課堂教學(xué)那樣違背邏輯地進(jìn)行教學(xué)呢.

研究函數(shù)的性質(zhì)是有邏輯的，不是發(fā)現(xiàn)一個(gè)就是一個(gè)，教師要明確研究函數(shù)性質(zhì)的一般邏輯順序是什么，要有意識(shí)地教如何研究函數(shù)的性質(zhì).而缺乏邏輯地把一個(gè)個(gè)所謂的函數(shù)性質(zhì)呈現(xiàn)在學(xué)生的面前，實(shí)際上還是在教給學(xué)生一個(gè)個(gè)的結(jié)論.課例2：橢圓的幾何性質(zhì)

平面解析幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)中獨(dú)具特色的一門學(xué)科.它的基本思想是用代數(shù)方法解決幾何問題.解析幾何課復(fù)習(xí)的根本任務(wù)就是深刻領(lǐng)會(huì)“平面解析幾何”的基本思想，把握“平面解析幾何”這門學(xué)科的思維特點(diǎn)與方法.

點(diǎn)評(píng)：這個(gè)引入，從一開始就把課的方向引偏：從圖形入手，而不是從方程入手.大方向錯(cuò)了！[教師]觀察圖象，你能得到那些幾何的性質(zhì)呢？

點(diǎn)評(píng)：完全違背了解析幾何的基本思想----用代數(shù)方法解決幾何問題,用方程研究橢圓的幾何性質(zhì)，要觀察的不應(yīng)該是圖象，應(yīng)該是方程?。?）對稱性請同學(xué)們觀察這個(gè)圖形在X軸的上方、下方、y軸的左側(cè)、右側(cè)有怎樣的關(guān)系呢？（點(diǎn)評(píng)：這里方程的作用僅僅是個(gè)計(jì)算的工具了）

解析幾何的教學(xué)，就要牢牢抓住用代數(shù)的方法解決幾何問題這一關(guān)鍵！上好本節(jié)課的關(guān)鍵：就是看教師是否在引導(dǎo)學(xué)生從方程的角度，研究橢圓的幾何性質(zhì)！而做不到這一點(diǎn)，即使準(zhǔn)備的再認(rèn)真，學(xué)生的主體性的發(fā)揮再充分，也是一節(jié)沒有質(zhì)量的課.

實(shí)事求是地評(píng)價(jià)教學(xué)中出現(xiàn)的這些現(xiàn)象，不能不說這樣的課堂總是讓人感到缺一點(diǎn)東西，失去了一些味道，看不到能夠貫穿課堂教學(xué)始終的一條主線.

每當(dāng)我看到很多教師很努力地在上課并且希望能夠把課上好，卻在每次上完課后總是有這樣或那樣的遺憾和困惑的時(shí)候，我也為此感到糾結(jié).這些問題的出現(xiàn)到底是什么原因造成的？能不能幫助教師們從更理性的角度進(jìn)行分析？

上述教學(xué)現(xiàn)象的產(chǎn)生，最根本的原因在于課堂教學(xué)邏輯的缺失.

教學(xué)的邏輯是課堂教學(xué)的靈魂（所謂邏輯，通俗點(diǎn)說就是本質(zhì)，就是規(guī)律）.一節(jié)讓授課教師能夠享受到工作樂趣的課堂、讓聽課的學(xué)生們能夠體會(huì)到學(xué)習(xí)的快樂的課堂，一定是把握住了課堂教學(xué)規(guī)律的課堂.

數(shù)學(xué)教學(xué)與邏輯密切相關(guān)，在數(shù)學(xué)教學(xué)中并存著教師的教授知識(shí)的過程，知識(shí)的發(fā)生發(fā)展過程以及學(xué)生的思維過程，這些過程實(shí)際上都是教學(xué)中客觀存在的邏輯過程.

教學(xué)邏輯是指教學(xué)過程中教師與學(xué)生之間教與學(xué)活動(dòng)的思維及其規(guī)律.知識(shí)的邏輯

教學(xué)的邏輯首先是知識(shí)的邏輯.教學(xué)的展開都是以知識(shí)為載體的，而知識(shí)是有邏輯關(guān)系的.

作為教師在進(jìn)行這節(jié)課的知識(shí)的教學(xué)前，就要能夠明確這些邏輯關(guān)系，并依據(jù)對知識(shí)的邏輯的理解和認(rèn)識(shí)，進(jìn)行教學(xué)的設(shè)計(jì).知識(shí)是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的載體通過知識(shí)的復(fù)習(xí)要收獲的是：學(xué)生理解知識(shí)的思維能力研究知識(shí)的解決問題的能力.

教師在課堂上所進(jìn)行的知識(shí)的教學(xué)是否遵循著學(xué)科的觀點(diǎn)和思維的方法；教師的課堂教學(xué)是不是在引導(dǎo)著學(xué)生探尋學(xué)科的本質(zhì).

可以說每一節(jié)課的知識(shí)的教學(xué)就是在明確著這些知識(shí)與學(xué)科知識(shí)的內(nèi)在的邏輯關(guān)系，讓學(xué)生通過知識(shí)的學(xué)習(xí)去體會(huì)、感受所學(xué)知識(shí)與知識(shí)所處的學(xué)科的邏輯.知識(shí)的邏輯

知識(shí)的邏輯具有隱蔽性，它無時(shí)無刻不在，但是如果你不去研究，你又看不到它.如果那樣的話，課堂教學(xué)陷入到單純的知識(shí)的教學(xué)就不可避免，缺乏邏輯的教學(xué)也就“應(yīng)運(yùn)而生”了.

我們常常能夠看到缺乏知識(shí)邏輯的教學(xué)，其教學(xué)目標(biāo)總是定位在讓學(xué)生記住結(jié)論、會(huì)應(yīng)用數(shù)學(xué)公式、并通過大量的練習(xí)讓學(xué)生熟練掌握.

缺乏知識(shí)邏輯的課堂教學(xué)常常表現(xiàn)為對數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的挖掘不夠或根本就沒有，對數(shù)學(xué)思維的闡述不夠到位.

其原因在于教師自己對所教授的知識(shí)邏輯研究不夠，因而也就不可能揭示出知識(shí)所承載的數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)觀點(diǎn)或思想.

我們知道這條主線源于集合概念，其邏輯為通過元素與集合間的關(guān)系來刻畫集合之間的關(guān)系以及集合之間的運(yùn)算.

集合知識(shí)邏輯的主線是什么？

缺乏知識(shí)邏輯的教學(xué)片面強(qiáng)調(diào)知識(shí)的運(yùn)用.這種運(yùn)用實(shí)際上是為了熟練地用數(shù)學(xué)結(jié)論去解題，為了擠出時(shí)間多做題目而不講知識(shí)形成的思維過程，不講知識(shí)之間的聯(lián)系.

有這樣一節(jié)高三第一輪的復(fù)習(xí)課.

課題是“等差數(shù)列”，授課教師首先引導(dǎo)學(xué)生把等差數(shù)列的概念、公式、性質(zhì)一一羅列復(fù)習(xí)并將其相關(guān)的內(nèi)容填寫在學(xué)案的表格上.教師時(shí)時(shí)叮囑要記住這個(gè)結(jié)論，別忘記那個(gè)公式，對如何記憶等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求和公式也做了專門的指導(dǎo).

然后就是講一道例題，做兩道相關(guān)的練習(xí)題.所選例題、練習(xí)題的目的就是要讓學(xué)生記住公式、會(huì)用公式.

這種串講式的高三復(fù)習(xí)課貌似容量很大，但實(shí)際上存在的問題很多.最大的問題就是授課教師沒有明確等差數(shù)列這部分的知識(shí)邏輯是什么,導(dǎo)致教學(xué)中把握不住重點(diǎn)，無法實(shí)現(xiàn)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的目標(biāo).

實(shí)際上,從知識(shí)邏輯看，這節(jié)課由于是等差數(shù)列復(fù)習(xí)課的第一節(jié)，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生把有關(guān)的概念、公式、性質(zhì)復(fù)習(xí)到位就已經(jīng)非常不錯(cuò)了.

講數(shù)列概念，要能夠從函數(shù)的高度去認(rèn)識(shí)和理解；

講等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，要能講出公式的由來，要能夠通過通項(xiàng)公式的推導(dǎo),提煉出“疊加法”是由數(shù)列的遞推關(guān)系式求通項(xiàng)公式的重要方法這樣的思維高度；

要能夠講出等差數(shù)列公差的幾何意義，把等差數(shù)列的公差概念和平面解析幾何的直線斜率概念聯(lián)系起來；

要能講出等差數(shù)列的通項(xiàng)與一次函數(shù)的聯(lián)系；

講等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式不是要教給學(xué)生記憶的技巧，而是要能夠把公式背后思維層面的邏輯充分地挖掘出來.這才是有邏輯的知識(shí)教學(xué).

可以看出，缺乏知識(shí)邏輯的教學(xué)是對知識(shí)教學(xué)的一種誤導(dǎo)，是對教師專業(yè)發(fā)展的阻礙，是對學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的一種傷害.只有用知識(shí)邏輯的力量來征服學(xué)生的教學(xué)，才能真正激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,也才能夠享受到數(shù)學(xué)知識(shí)所帶給他們的快樂.

從公理化思想的角度看待中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容

公理化思想是數(shù)學(xué)中最重要的思想基礎(chǔ)之一，反映了數(shù)學(xué)之不同于其它學(xué)科的本質(zhì)特性.公理化思想是建立在公理化方法之上的，而所謂的公理化方法簡言之就是從盡可能少的基本概念和一組不證自明的公理出發(fā)，利用純邏輯演繹構(gòu)成了一個(gè)公理體系，并在這個(gè)體系的基礎(chǔ)上演繹出數(shù)學(xué)的所有概念和命題，進(jìn)而將一門數(shù)學(xué)建立成為演繹系統(tǒng)的方法.這種構(gòu)造邏輯系統(tǒng)的思想稱之為公理化思想.

回顧中學(xué)階段的數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容，的確有很多的知識(shí)是可以從基本量的角度作為公理化的起點(diǎn)來演繹我們的教學(xué)內(nèi)容的.問題：為什么7+5=12？

要考慮這個(gè)問題就需要回到問題的起點(diǎn)，即7和5是什么？它們之間由什么關(guān)系來看問題.

從分?jǐn)?shù)到分式2014年12月云南大理龍門中學(xué)問題：合并同類項(xiàng)的本質(zhì)是什么呢？

在《平面向量》中學(xué)生要學(xué)習(xí)的兩個(gè)最重要的基本定理，即平行向量基本定理和平面向量基本定理.

這兩個(gè)基本定理告訴我們，在一維的向量空間中，任意一個(gè)向量，都可以用一個(gè)和它共線的非零基向量來表示；

同樣，在平面中的任意一個(gè)向量，也都可以用兩個(gè)不共線的基向量來線性表示.

推廣到三維向量空間，空間向量基本定理告訴我們，空間中任何一個(gè)向量都可以用三個(gè)不共面的基向量來線性表示.這里面的基向量就是我們前面所說的基本單位.

向量的這三個(gè)基本定理將不同維度的向量空間的任意向量都?xì)w結(jié)為基向量的線性表示，從而使得不同維度下的向量都可以代數(shù)化、坐標(biāo)化，讓不同的向量之間的代數(shù)運(yùn)算得以進(jìn)行.

有關(guān)向量的這三個(gè)基本定理讓學(xué)生們進(jìn)一步地體會(huì)到了基本單位（或基本量）在數(shù)學(xué)知識(shí)中的重要作用，從而更本質(zhì)地理解我們學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯主線.

總之，公理化思想有利于數(shù)學(xué)教師的教學(xué)和學(xué)生系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)知識(shí).因?yàn)槭紫裙砘枷肟梢越沂疽粋€(gè)數(shù)學(xué)系統(tǒng)或分支的內(nèi)在規(guī)律，從而使它系統(tǒng)化、條理化、邏輯化，有利于學(xué)生學(xué)習(xí)和掌握；其次，由于公理化系統(tǒng)是一個(gè)邏輯演繹系統(tǒng)，所以對于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力和演繹推理能力都有其重要意義.

作為教師要明確的是：學(xué)生數(shù)學(xué)水平的提高體現(xiàn)在他們會(huì)不會(huì)用最基本的數(shù)學(xué)概念來理解和解釋數(shù)學(xué)問題，用最一般的數(shù)學(xué)方法去研究數(shù)學(xué)問題和解決問題.可以說，公理化思想在學(xué)生的數(shù)學(xué)思維邏輯的培養(yǎng)中具有重要的地位，用公理化思想闡述中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)邏輯有助于促進(jìn)我們對數(shù)學(xué)知識(shí)的真正理解和把握.

用學(xué)科知識(shí)的整體性貫穿中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系

數(shù)學(xué)學(xué)科的系統(tǒng)性和嚴(yán)謹(jǐn)性決定了數(shù)學(xué)知識(shí)之間深刻的內(nèi)在邏輯關(guān)系，包括各部分知識(shí)的縱向聯(lián)系和橫向聯(lián)系，因此要做好數(shù)學(xué)的教學(xué)，就要善于從教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)上抓住這些聯(lián)系，進(jìn)而通過分類、梳理、綜合，構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯框架結(jié)構(gòu).

北師大數(shù)學(xué)系教授、人教A版數(shù)學(xué)教科書主編劉紹學(xué)先生所撰寫的《中學(xué)數(shù)學(xué)概觀》給我們展現(xiàn)了一個(gè)數(shù)學(xué)家眼中的中學(xué)數(shù)學(xué)的知識(shí)邏輯

如果教師在進(jìn)行教學(xué)之前，明確了圓這一章知識(shí)的邏輯，其課堂教學(xué)就會(huì)有一條清晰的邏輯主線，他（她）學(xué)生就能夠從富有邏輯的知識(shí)教學(xué)的過程中，學(xué)到數(shù)學(xué)課上真正要學(xué)習(xí)的東西，體會(huì)到知識(shí)學(xué)習(xí)的樂趣.缺乏邏輯的教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)的設(shè)計(jì)要符合邏輯

學(xué)生是否具備了數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性是其切實(shí)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)本質(zhì)的重要標(biāo)志，可以以此檢驗(yàn)學(xué)生是否形成一個(gè)有序的網(wǎng)絡(luò)化、結(jié)構(gòu)化的知識(shí)邏輯體系，并能從中提取相關(guān)的信息，有效地靈活地理解問題和解決問題.

因此，從學(xué)科知識(shí)的整體性來認(rèn)識(shí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容之間的邏輯關(guān)系，從學(xué)科本質(zhì)上理解知識(shí)就成為數(shù)學(xué)教學(xué)所追求的目標(biāo),這個(gè)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn)與否關(guān)系到數(shù)學(xué)教育價(jià)值是否達(dá)成.思維的邏輯

思維邏輯是指在知識(shí)邏輯的基礎(chǔ)上，在課堂教學(xué)的過程中，教師與學(xué)生所進(jìn)行的思維活動(dòng)的規(guī)律.知識(shí)是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的載體思維的邏輯

學(xué)生在高三數(shù)學(xué)的知識(shí)學(xué)習(xí)中暴露出來的問題很多，表面看是知識(shí)本身的問題造成的：

知識(shí)的形式是多樣的，豐富多彩的，但是如果從思維的角度去理解這些知識(shí)的話，我們不難發(fā)現(xiàn)每個(gè)單元的知識(shí)所承載的思維特征是一致的.

原因在于各個(gè)單元的知識(shí)都是以核心概念為基礎(chǔ)的，概念是思維的載體.知識(shí)與思維之間的關(guān)系是怎樣的呢？

如果在知識(shí)學(xué)習(xí)的過程中，我們能夠從眾多的知識(shí)提煉出本質(zhì)的思維特征，我們就會(huì)看到，隨著學(xué)習(xí)的深入，知識(shí)表