考研-課件第12章結(jié)構(gòu)動(dòng)力計(jì)算

多自由度體系自由振動(dòng)的重要特性：1)多自由度自振頻率和主振型的個(gè)數(shù)均與體系自由度的個(gè)數(shù)相等；2)每個(gè)自振頻率有其相應(yīng)的主振型，而這些主振型就是多自由度體系能夠按單自由度體系振動(dòng)時(shí)所具有的特定形式；3)多自由度體系的自振頻率和主振型是體系自身的固有動(dòng)力特性，它們只取決于體系自身的剛度系數(shù)及其質(zhì)量的分布情形，而與外部荷載無(wú)關(guān)?！纠?2-22】圖示框架，其橫梁為無(wú)限剛性。設(shè)質(zhì)量集中在樓層上，試計(jì)算其自振頻率和主振型。解：本例兩層框架為兩個(gè)自由度體系，用剛度法計(jì)算較為方便。(1)求剛度系數(shù)kij(2)求自振頻率wi將m1=2m和m2=m以及已求出的kij代入所以由此得(3)求主振型（振型常數(shù)ri）第一主振型第二主振型(4)作振型曲線，如圖所示。第一主振型

第二主振型

2.柔度法作用下所產(chǎn)生的靜力位移（圖a）對(duì)于圖示體系，在自由振動(dòng)中的任一時(shí)刻t，質(zhì)量m1、m2的位移、應(yīng)當(dāng)?shù)扔隗w系在當(dāng)時(shí)慣性力思路(1)運(yùn)動(dòng)方程的建立dij是體系的柔度系數(shù)也可寫(xiě)為或以上運(yùn)動(dòng)方程，也可利用剛度法所建立的運(yùn)動(dòng)方程間接導(dǎo)出：因所以，有前乘以[d]，得注意：[d]與[K]雖然互為逆陣，但[d]中之dij與[K]中之kij元素一般并不互逆（僅單自由度體系例外）。(2)運(yùn)動(dòng)方程的求解(3)求自振頻率wi設(shè)特解代入運(yùn)動(dòng)方程，并消去公因子表明，主振型的位移幅值(Y1及Y2)，就是體系在此主振型慣性力幅值作用下引起的靜力位移，如圖所示。慣性力為:將式通除以稱(chēng)為振型方程或特征向量方程。為了求得Y1、Y2不全為0的解，應(yīng)使該系數(shù)行列式等于零，即稱(chēng)為頻率方程或特征方程。由它可以求出w1和w2。令l

=，代入式(a)，得關(guān)于l

的二次方程展開(kāi)，得(a)可解出l的兩個(gè)根，即約定l1>l2(從而滿(mǎn)足w1<w2)，于是求得(4)求主振型1)第一主振型：將w=w1代入2)第二主振型：將w=w2代入【例12-23】試求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率及主振型。各桿EI為常數(shù)，彈性支座的剛度系數(shù)。解

(1)計(jì)算柔度系數(shù)dij應(yīng)考慮彈性支座變形對(duì)位移的影響。圖圖圖(1)計(jì)算柔度系數(shù)dij(2)求自振頻率wi將m1=m2=m及已求得的dij代入(3)求主振型ri(4)作振型曲線第一主振型

第二主振型【例12-24】試求圖示等截面梁的自振頻率和主振型。質(zhì)量m1=m2=m＝1000kg。E＝200GPa，I＝2×104cm4，l=4m。圖圖圖圖解:(1)求柔度系數(shù)dij(2)求自振頻率wi(3)求主振型ri第一主振型第二主振型(4)作振型曲線第一主振型（反對(duì)稱(chēng)）第二主振型（對(duì)稱(chēng)）

如果結(jié)構(gòu)和質(zhì)量布置都是對(duì)稱(chēng)的，體系的振型必定是對(duì)稱(chēng)或反對(duì)稱(chēng)的,可以利用對(duì)稱(chēng)性，取半邊結(jié)構(gòu)計(jì)算體系的第一頻率,第二頻率。這樣，就將兩個(gè)自由度體系的計(jì)算問(wèn)題，簡(jiǎn)化為按兩個(gè)單自由度體系分別進(jìn)行計(jì)算。反對(duì)稱(chēng)半邊結(jié)構(gòu)對(duì)稱(chēng)半邊結(jié)構(gòu)第一主振型（反對(duì)稱(chēng))

第二主振型（對(duì)稱(chēng)）【例12-25】試計(jì)算圖示剛架的自振頻率和主振型。解：取集中質(zhì)量m處豎向位移y和剛性桿CD繞C點(diǎn)的轉(zhuǎn)角q作為獨(dú)立的幾何位移。由于本題是由線位移和角位移耦合組成的振動(dòng)，因此，不能簡(jiǎn)單地利用前面按柔度法推出的公式計(jì)算自振頻率和主振型，而應(yīng)從考慮結(jié)構(gòu)整體平衡，建立運(yùn)動(dòng)方程入手。某一瞬時(shí)t，剛架上作用的慣性力如圖所示。由分布質(zhì)量所產(chǎn)生的慣性力對(duì)C點(diǎn)的合力矩為(1)計(jì)算柔度系數(shù)dij圖圖慣性力建立運(yùn)動(dòng)方程:慣性力將及各柔度系數(shù)dij代入式(a)，經(jīng)整理后，得(a)與運(yùn)動(dòng)方程對(duì)比可知：m1=m，(3)求自振頻率wi(4)求主振型ri(5)作振型曲線

第一主振型

第二主振型12.6.2（推廣）n個(gè)自由度體系的自由振動(dòng)1.剛度法(1)運(yùn)動(dòng)方程的建立平衡方程為其中式中，kij是結(jié)構(gòu)的剛度系數(shù)，即使j方向產(chǎn)生單位位移（其他各點(diǎn)的位移保持為零）時(shí)所在點(diǎn)i所需施加之力。即得自由振動(dòng)微分方程組其矩陣形式為或簡(jiǎn)寫(xiě)為(2)運(yùn)動(dòng)方程的求解設(shè)特解(3)求自振頻率將和代入式，得這是關(guān)于位移幅值的齊次線性代數(shù)方程，稱(chēng)為振型方程或特征方程。頻率方程為其展開(kāi)形式為（4）求主振型令表示與頻率wi相應(yīng)的第i個(gè)主振型向量，即將wi和代入振型方程，得令i=1,2,…,n，可得出n個(gè)振型方程，由此可求出n個(gè)主振型：可求出由振型方程可以惟一地確定主振型的形狀，即中各幅值的相對(duì)值，但不能惟一地確定它的幅值(因方程右端項(xiàng)干擾力為零)。（5）標(biāo)準(zhǔn)化主振型(規(guī)一化主振型)一般常用以下兩種作法：1)規(guī)定主振型中的某個(gè)元素為某個(gè)給定值。通常規(guī)定第一個(gè)元素Y1i或最后一個(gè)元素Yni等于1，也可以規(guī)定最大的一個(gè)元素等于1。2)規(guī)定主振型滿(mǎn)足【例12-26】試求圖示三層剛架的自振頻率和主振型（橫梁變形略去不計(jì)）。各層間側(cè)移剛度（亦稱(chēng)抗剪剛度，為該層上下兩端發(fā)生單位水平相對(duì)位移時(shí)該層各柱剪力之和）分別為k1、k2、k3，其單位為MN/m。解：以各樓層的水平位移為幾何坐標(biāo)。（1）求自振頻率wi1)建立剛度矩陣[K]k11=k1+k2=441k21=k12=-k2=-196k31=k13=0k22=k2+k3=294k32=k23=-k3=-98k33=k3=98于是，得到剛度矩陣為N/m2)建立質(zhì)量矩陣[M]kg3)引入符號(hào)，并求自振頻率則頻率方程為其展開(kāi)式為解得上式的三個(gè)根為于是得（2）求主振型設(shè)取各標(biāo)準(zhǔn)化振型的第一個(gè)元素Y1i為1，確定Y(i)的方程為可得為求第一標(biāo)準(zhǔn)化振型，令i=1，并將代入上式，利用其前兩個(gè)方程，得設(shè)Y11=1，解出Y21=2Y31=3將Y11、Y21、Y31三個(gè)元素匯總在一起，得第一振型為依照以上作法，可得第二和第三標(biāo)準(zhǔn)化振型為第一主振型第二主振型第三主振型2.柔度法(推廣到n個(gè)自由度)(1)振型方程剛度法導(dǎo)出的特征向量方程為用[d]左乘上式得上式通除以w2，再令可得柔度法的振型方程其展開(kāi)式為由此得到關(guān)于l的n次代數(shù)方程，可解出n個(gè)根l1，l2，…，ln，進(jìn)而可求n個(gè)頻率w1，w2，…，wn。將所有的頻率從小到大排列，得頻率譜。(3)主振型(2)頻率方程【例12-27】試求圖示剛架的自振頻率和主振型。已知各桿EI＝常數(shù)。解：本剛架具有三個(gè)自由度

(1)求柔度系數(shù)圖圖圖(2)求自振頻率體系的柔度矩陣和質(zhì)量矩陣為頻率方程并解得故自振頻率為(3)求主振型并繪振型圖將li(i=1,2,3)分別代入振型方程并令Y3i＝1，即可求得各階各振型為:1)第一主振型2)第二主振型3)第三主振型主振型圖

第一主振型

第二主振型

第三主振型【例12-28】求圖示剛架的自振頻率和振型。已知m1=m4=100kg，m2=m3=150kg，EI1=6MN·m2，EI2=3EI1。五個(gè)自由度的體系

正對(duì)稱(chēng)自由振動(dòng)反對(duì)稱(chēng)自由振動(dòng)解：此剛架具有五個(gè)自由度。利用對(duì)稱(chēng)性，分解為有兩個(gè)自由度的正對(duì)稱(chēng)自由振動(dòng)和有三個(gè)自由度的反對(duì)稱(chēng)自由振動(dòng)分別進(jìn)行計(jì)算，其結(jié)果列于下面線框內(nèi)。從小到大重新排列正對(duì)稱(chēng)自由振動(dòng)反對(duì)稱(chēng)自由振動(dòng)主振型圖

第一主振型

第二主振型第三主振型

第四主振型第五主振型12.7主振型的正交性●在同一體系中，不同的兩個(gè)固有振型之間，無(wú)論對(duì)于[M]或是[K]，都具有正交的性質(zhì)（分別稱(chēng)為第一正交性和第二正交性。●利用這一特性，一是可以將多自由度體系的強(qiáng)迫振動(dòng)簡(jiǎn)化為單自由度問(wèn)題（主要應(yīng)用在任意干擾力作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)）二是可以檢查主振型的計(jì)算是否正確，并判斷主振型的形狀特點(diǎn)。12.7.1主振型的第一正交性n個(gè)自由度體系的振型方程為設(shè)wi為第i個(gè)自振頻率，其相應(yīng)的振型為；wj為第j個(gè)自振頻率，其相應(yīng)的振型為。將它們分別代入上式，可得(a)(b)對(duì)式(a)兩邊左乘以，對(duì)式(b)兩邊左乘以，則有(c)(d)將式(c)減去式(e)，得當(dāng)時(shí)，得為主振型的第一正交性，它表明，對(duì)于質(zhì)量矩陣[M]，不同頻率的兩個(gè)主振型是彼此正交的。即將式(d)兩邊轉(zhuǎn)置，將有(e)12.7.2主振型的第二正交性將式(12-83a)代入式(c)，可得稱(chēng)為主振型的第二正交性，它表明，對(duì)于剛度矩陣[K]，不同頻率的兩個(gè)主振型也是彼此正交的。12.7.3主振型正交性的物理意義1.第一正交性的物理意義將式分別乘以和，可以得出以下兩式式(a)說(shuō)明第i主振型慣性力在第j主振型上所做的虛功為零；式(b)說(shuō)明第j主振型慣性力在第i主振型上所做的虛功為零。因此，第一正交性的物理意義是：相應(yīng)于某一主振型的慣性力不會(huì)在其他主振型上做功。(a)(b)2.第二正交性的物理意義由可知，第二正交性的物理意義是：相應(yīng)于某一主振型的彈性力不會(huì)在其他主振型上做功。3.小結(jié)主振型的正交性可理解為：相應(yīng)于某一主振型作簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量不會(huì)轉(zhuǎn)移到其他振型上去，也就不會(huì)引起其他振型的振動(dòng)。因此，各主振型可單獨(dú)存在而不互相干擾?？赏茖?dǎo)出【例12-29】試驗(yàn)算例12-26所求得的主振型是否滿(mǎn)足正交關(guān)系。解：由例12-26得知質(zhì)量矩陣和剛度矩陣分別為又三個(gè)主振型分別為(1)驗(yàn)算第一正交性同時(shí)，有(2)驗(yàn)算第二正交性同時(shí)，有經(jīng)以上檢驗(yàn)表明，例12-26所求得的主振型是滿(mǎn)足第一、第二正交關(guān)系的，其計(jì)算是正確無(wú)誤的。12.8多自由度體系在簡(jiǎn)諧荷載作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)(無(wú)阻尼)12.8.1剛度法1.運(yùn)動(dòng)方程的建立以質(zhì)點(diǎn)為隔離體，其振動(dòng)方程為2.運(yùn)動(dòng)方程的求解簡(jiǎn)諧荷載，即(1)設(shè)特解形式(2)求位移幅值代入得由此可解得質(zhì)點(diǎn)位移的幅值。位移幅值Yi為正號(hào)，表示與FPi(t)同方向達(dá)到最大值，負(fù)號(hào)表示與FPi