【課件】第四章　習題課-數(shù)列求和-人教A版（2019）選擇性必修第二冊課件(共33張PPT)

習題課——數(shù)列求和激趣誘思知識點撥若一個人與你做一筆交易:按一個月30天算,他每天給你5000元,而你只需第1天給我1分錢,第2天給我2分錢,第3天給我4分錢,第4天給我8分錢……由此類推,交易期為一個月.這筆交易你做嗎?請用數(shù)列求和的知識做出決定吧!激趣誘思知識點撥一、裂項相消法求和裂項相消法就是把數(shù)列的各項變?yōu)閮身椫?使得相加求和時一些正負項相互抵消,前n項和變成首尾若干項之和,從而求出數(shù)列的前n項和.名師點析常用的一些裂項技巧:激趣誘思知識點撥微練習

激趣誘思知識點撥二、分組求和法分組求和法:如果一個數(shù)列的各項是由若干個等差數(shù)列和等比數(shù)列的項相加減得到的,那么可以把數(shù)列的每一項分成多個項或把數(shù)列的項重新組合,使其分別構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列,然后利用等差、等比數(shù)列的求和公式求解.激趣誘思知識點撥微練習數(shù)列{n+2n}的前n項和Sn等于

.

激趣誘思知識點撥三、并項轉(zhuǎn)化法求和并項轉(zhuǎn)化法:在求數(shù)列的前n項和時,如果一個數(shù)列的項是正負交錯的,尤其是當各項的絕對值又構(gòu)成等差數(shù)列時,可以依次兩項兩項(或幾項幾項)合并,再利用其他相關(guān)的方法進行求和.微練習(1)對于數(shù)列1,-3,5,-7,9,-11,…,其前100項的和等于

.

答案:-100(2)若數(shù)列{an}的通項公式an=(-1)n·2n,前n項和為Sn,則S10=

,S15=

.

解析:S10=(-2)+4+(-6)+8+…+(-18)+20=2×5=10,S15=(-2)+4+(-6)+8+…+28+(-30)=2×7-30=-16.答案:10

-16探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測裂項相消法求和

探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟裂項相消法求和的關(guān)注點裂項法的實質(zhì)是將數(shù)列中的每項(通項)分解,相加使之能消去一些項,最終達到求和的目的.利用裂項法的關(guān)鍵是分析數(shù)列的通項,考察其是否能分解成兩項的差,且這兩項一定要是同一數(shù)列相鄰(相間)的兩項.在裂項求和的過程中,還要注意以下幾點:(1)在通項裂開后,原各項是否恰好等于相應的兩項之差.(2)在正負項抵消后,是否只剩下了第一項和最后一項,還有可能前面剩下了兩項(或多項),后面也剩下了兩項(或多項).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練1已知等差數(shù)列{an}中,a5=9,a13=25,且bn=,試求數(shù)列{bn}的前n項和.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測分組求和法求和例2已知數(shù)列{cn}的首項c1=3,cn=2np+nq(n∈N*,p,q為常數(shù)),且c1,c4,c5成等差數(shù)列,求:(1)p,q的值;(2)數(shù)列{cn}的前n項和Sn.分析:先將c1,c4,c5用p,q表示,根據(jù)c1,c4,c5成等差數(shù)列建立關(guān)于p,q的方程組,即可求得p,q的值,從而得到數(shù)列的通項公式.這時每一項都是由一個等比數(shù)列和一個等差數(shù)列中的項的和構(gòu)成,可分別求和后再相加.解:(1)由c1=3,得2p+q=3.因為c4=24p+4q,c5=25p+5q,且c1+c5=2c4,所以3+25p+5q=25p+8q,解得p=1,q=1.(2)由(1)知cn=2n+n,所以Sn=(2+22+…+2n)+(1+2+…+n)探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟分組求和法的解題策略當一個數(shù)列本身不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列,但如果它的通項公式可以拆分為幾項的和,而這些項又構(gòu)成等差數(shù)列或等比數(shù)列時,就可以用分組求和法,即原數(shù)列的前n項和等于拆分成的每個數(shù)列前n項和的和.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練2在等差數(shù)列{an}中,已知a2=4,a4+a7=15.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測并項轉(zhuǎn)化法求和例3已知數(shù)列-1,4,-7,10,…,(-1)n·(3n-2),…,求其前n項和Sn.分析:該數(shù)列中正負項交替出現(xiàn),且各項的絕對值構(gòu)成等差數(shù)列,故可用并項轉(zhuǎn)化法求和.解:當n為偶數(shù)時,令n=2k(k∈N*),Sn=S2k=-1+4-7+10+…+(-1)n(3n-2)=(-1+4)+(-7+10)+…+[(-6k+5)+(6k-2)]探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟并項轉(zhuǎn)化法求和的解題策略1.一般地,當數(shù)列中的各項正負交替,且各項的絕對值成等差數(shù)列時,可以采用并項轉(zhuǎn)化法求和.2.在利用并項轉(zhuǎn)化法求和時,因為數(shù)列的各項是正負交替的,所以一般需要對項數(shù)n進行分類討論,但最終的結(jié)果卻往往可以用一個公式來表示.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測延伸探究本例中,將條件改為“已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=1-5+9-13+…+(-1)n-1(4n-3)”,求S15+S22-S31的值.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測錯位相減法求和例4已知正項等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn,S3=12,且2a1,a2,a3+1成等比數(shù)列.(1)求{an}的通項公式及Sn;分析:(1)列方程組求出等差數(shù)列{an}的首項和公差;(2)利用錯位相減法求Tn.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測反思感悟錯位相減法求和的關(guān)注點(1)要善于識別題目類型,特別是等比數(shù)列的公比為負數(shù)的情形.(2)在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時,應將兩式“錯項對齊”,以便下一步準確寫出Sn-qSn的表達式.若公比是字母參數(shù),則應先對參數(shù)加以討論(一般情況下,分公比等于1和不等于1兩種情況分別求和).探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測變式訓練3已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn,a1=1,an+1=2Sn(n∈N*).(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)求數(shù)列{nan}的前n項和Tn.解:(1)∵an+1=2Sn,∴Sn+1-Sn=an+1=2Sn,∴數(shù)列{Sn}是首項為1,公比為3的等比數(shù)列.∴Sn=3n-1(n∈N*).當n≥2時,an=2Sn-1=2·3n-2,且a1=1,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測(2)∵Tn=a1+2a2+3a3+…+nan,∴當n=1時,T1=1;當n≥2時,Tn=1+4×30+6×31+…+2n·3n-2,①3Tn=3+4×31+6×32+…+2n·3n-1,②①-②,得-2Tn=-2+4+2(31+32+…+3n-2)-2n·3n-1探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測數(shù)列的通項與求和的綜合問題典例已知數(shù)列{an}的前n項和Sn=3n2+8n,{bn}是等差數(shù)列,且an=bn+bn+1.(1)求數(shù)列{bn}的通項公式;分析:(1)先求出數(shù)列{an}的通項公式,再求數(shù)列{bn}的通項公式;(2)先求出數(shù)列{cn}的通項公式,再利用錯位相減法求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測解:(1)由題意知當n≥2時,an=Sn-Sn-1=6n+5,當n=1時,a1=S1=11,所以an=6n+5.設數(shù)列{bn}的公差為d.又Tn=c1+c2+…+cn,得Tn=3×[2×22+3×23+…+(n+1)×2n+1],2Tn=3×[2×23+3×24+…+(n+1)×2n+2],兩式作差,得-Tn=3×[2×22+23+24+…+2n+1-(n+1)×2n+2]探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測【答題模版】第1步:由數(shù)列{an}中an與Sn滿足的關(guān)系式求其通項an;

↓第2步:由數(shù)列{bn}滿足的關(guān)系式求其通項bn;

↓第3步:求出數(shù)列{cn}的通項cn;

↓第4步:用錯位相減法求出數(shù)列{cn}的前n項和Tn.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測【失誤警示】通過閱卷統(tǒng)計分析,造成失分的原因如下:(1)由數(shù)列{an}中an與Sn滿足的關(guān)系式求其通項an時,漏掉n=1時的情況而導致丟分.(2)不會利用an=bn+bn+1求出等差數(shù)列{bn}的公差和首項.(3)用錯位相減法求數(shù)列{cn}的前n項和Tn時,不知道錯位對齊相減,弄錯正負號而失分.探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測S30=(

)A.120 B.180C.240 D.360解析:由題意得S30=(a1+a3+…+a29)+(a2+a4+…+a30)=(1+2+…+15)+(1+2+…+15)答案:C探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測2.若數(shù)列{an}的通項公式是an=8n,其前n項和為Sn,且Snbn=1,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,則T10等于(

)答案:B探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測3.已知數(shù)列{an}的通項公式是an=2n+3n+1,則數(shù)列{an}的前n項和Sn=

.

解析:∵an=2n+3n+1,探究一探究二探究三探究四素養(yǎng)形成當堂檢測4.已知數(shù)列{an}的通項公式為an=(-1)n(5n-4),則其前20項的和等